专题9垂线与平行线的应用-2024-2025学年四年级数学上学期期末备考真题分类汇编（江苏专版）

专题09 垂线与平行线的应用 当前教育形式，对于小学数学核心素养能力的培养非常重要，小学生必需具有以下数学核心素养（即教师培养学生的目标和方向）： 数 学 核 心 素 养 会用数学眼光 观察现实世界 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维 思考现实世界 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言 表达现实世界 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 四基：学生通过学习所获得的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这些是数学学习的基础，旨在让学生不仅掌握必要的知识和技能，而且在学习过程中积累经验，形成数学思维和处理问题的方法。 四能：学生通过学习所获得的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这些是数学学习的基础，旨在让学生不仅掌握必要的知识和技能，而且在学习过程中积累经验，形成数学思维和处理问题的方法。 垂线与平行线的应用 1、直线和射线的认识与比较 线段、射线和直线的联系和区别。 名称 图示 端点个数 延伸情况 长度 联系 线段 两个 不能向两端延伸 可以测量 射线 一个 只能向一端无限延伸 无法测量 直线 无 可以向两端无限延伸 无法测量 直线和射线都是无限长的，射线可以一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 直线和射线都是无限长的，无法比较两者的长度。 2、两点间的距离 连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离。两点之间，线段最短。 3、角的认识 （1）认识角。 从一点起引出的两条射线，可以组成一个叫。这个点叫做角的定点，两条射线叫做角的边。如图 角通常用符号“∠”来表示，上图的角记作∠ 1，∠ 1读作角一角的组成：一个顶点、两条边 （2）画角。 从角的组成，画角时要先确定顶点（即在适当的地方画一个点），然后画角的两条边（从这一点向不同方向画出两条射线）。可以画不同方向的角。 4、认识量角器 （1）测量角的大小的工具是量角器，量角器的中心有一个点叫做中心点。量角器上180°的刻度线与90°的刻度线相交的点是量角器的中心，量角器上有两条0刻度线和两圈 刻度。量角器里按顺时针方向表示的刻度叫做外圈刻度，量角器里按逆时针方向表示的刻度叫做内圈刻度。 （2）角的计量单位是和表示符号：把半圆分成180等份，每一份所对的角就是1度的角。“度”是计量角的单位，用符号“°”表示，如1度记作1°，“°”要写在数字的右上角。 量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别是逆时针和顺时针方向排列的。 5、用量角器量角 “三个重合、一个注意”。 （1）点点重合：量角器的中心点与角的顶点重合。 （2）线边重合：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 （3）线边重合：刻度线与另一条边重合，即读出几度。 注意点：内圈刻度线与外圈刻度线不能混合使用。 6、三角尺上的角的度数 三角尺含有不同的度数：30°、45°、60°、90° 用一副三角尺可以拼成的角有15°（45°-30°）、 75°（45°+30°）、105°（45°+60°）、120°（90°+30°） 135°（90°+45°）、150°（90°+60°） 一副三角尺拼成的角的度数都是15的倍数。 8、角的分类 名称 角 类别 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特点 小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360° 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角 1周角=2平角=4直角 9、画指定度数的角 特定度数的角可以利用三角尺上对应的角来画（30°、45°、60°、90°……15的倍数都可以画出） 量角器画角的基本方法： （1）先在纸上画出角的顶点和一条边。 （2）用量角器的0°刻度线与所画的边重合，量角器的中心与所画的顶点重合； （3）如果用内圈的0°刻度线与所画的边重合，就在内圈所对应的刻度处点上一个点。 如果用外圈的0°刻度线与所画的边重合，就在外圈所对应的刻度处点上一个点。 （4）拿走量角器，连接顶点和点出的点，画出角的另一条边。 （5）在所画的角中标出角的符号，并标明度数。 10、给定角的一条边，画指定度数的角 射线方向向右的，如图 ，这时选择量角器的内圈刻度画角。 射线方向向左的，如图 ，这时选择量角器的外圈刻度画角。 11、平行线：同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 12、过一点画已知直线的平行线：重合、平移、紧挨 （1）重合：三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）平移：把三角尺沿着紧贴的直尺平移。 （3）紧挨：三角尺的直角边平移到紧挨着这个点，画出一条直线即可。 13、垂线：两条直线相交成直角是，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 垂足：两条垂线的交点叫做垂足。 14、画垂线的方法： 用三角尺过一点画已知直线的垂线： （1）将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 （2）再将三角尺的另一条直角边与直线上（外）的点重合。 （3）过这个点沿这条直角边画一条直线，即是这条直线的垂线。 15、点到直线的距离：点到直线的垂直线段的长度。 16、平行线间垂直线段的长度就是平行线间的距离。 . 一、作图题 1．（23-24四年级上·江苏常州·期末）如图，点P为货船位置，它要先到补给站转载补给，然后尽快开到a岸，请画出最短路线。 2．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）以下面的射线为一条边，分别画一个85°和110°的角。 3．（23-24四年级上·江苏苏州·期末）如图： （1）过点A画直线的垂线。 （2）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。 4．（22-23四年级上·江苏南通·期末）濠河是南通城汇自然和人文于一体的风景名胜区，泛舟濠河，不亦乐乎。 （1）给游船A设计一条路线，使其航行的路线总是平行于a岸。请在图中画出这条路线。 （2）请给游船B设计一条路线，使其去b岸的线路最近。请在图中画出这条路线。 5．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）如图，小蚂蚁外出觅食时，发现E、F两处有较多的食物，于是它想在家附近的直线a上建一个仓库，将E、F两处的食物储存在该仓库中，为过冬做准备，那么它应该把仓库建在哪里，可使自己的搬运路线最短？画一画。 6．（23-24四年级上·江苏南京·期末）小鸭在岸上走比较费劲，却擅长在水里游泳。它想从自己家出发，到小鸡家玩，怎样走比较省力？画一画。 7．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）如图是某街区的示意图。 （1）量一量，∠1＝（    ）°。 （2）解放路经过城市广场，与人民路平行，请你在图中画出来。 （3）新村需要安装液化气管道，主管道在幸福路上，你认为应怎样安装，液化气管道最短？请你在图中画出来。 8．（23-24四年级上·江苏泰州·期末）如图，华华要从点A游到河对岸，怎样游路线最短？请在图中画出来。 9．（24-25四年级上·江苏·期末）过点A画已知直线的平行线，过点B画已知直线的垂线。 10．（24-25四年级上·江苏·期末）甲、乙两村分别位于公路的两边，现在要从这两村各修一条路与公路连接起来，怎样修路使两村都距公路最近？请画在图上。 11．（24-25四年级上·江苏·期末）先过点A画出直线a的垂线，再过点A画出直线b的平行线。 12．（22-23四年级上·江苏扬州·期末）一只小鸭子要从C点游到河对岸，怎样游路线最短？请画出来。如果要游到B点，怎样游路线最短？请画出来。 13．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。 （2）过点A分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（    ）°。              14．（22-23四年级上·江苏徐州·期末）（1）过点A画已知直线L的垂线和平行线。 （2）量出点A到直线L的距离是（    ）厘米。 15．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过点A画出下面直线的垂线和平行线，并量出画图后平行线之间的距离大约是（    ）毫米。 16．（22-23四年级上·江苏宿迁·期末）过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离（    ）毫米。 17．（22-23四年级上·江苏南通·期末）根据要求在图中量一量，画一画。 （1）用量角器量出∠AOB是（    ）°。 （2）过A点作OB边的垂线。 （3）过B点作OA边的平行线。 18．（22-23四年级上·江苏镇江·期末）画一画，填一填。 ①过A点作已知直线的垂线。 ②量出A点到直线的距离是（    ）毫米。 ③以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成70°的角。 19．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）在直线右边画2个与已知直线的距离都是2厘米的点。 过这两个点能画（    ）条直线，请画一画；画出的直线与已知直线（    ）。 20．（22-23四年级上·江苏常州·期末） （1）上图的平行四边形中，∠B＝（    ）°。 （2）以A为顶点，AD为一条边，画一个60°的角。 （3）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中画出来。 21．（22-23四年级上·江苏淮安·期末）操作题。 （1）过A点作已知直线的平行线。 （2）量出A点到直线的距离是（    ）毫米。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。 22．（22-23四年级上·山东潍坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。 （2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。 23．（23-24四年级上·江苏南京·期末）下图是某街区的示意图。 （1）用量角器量出∠l＝（    ）°。 （2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。 （3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？把它画出来。 24．（23-24四年级上·江苏南京·期末）填一填，画一画。 跳远比赛规定：测量跳远成绩是测量运动员离起跳线最近的落脚点到起跳线的距离。下图是王明跳远的示意图，最近的落脚点是A，从点A到起跳线p的（    ）的长度就是王明的跳远的成绩。在下图中画一画。 25．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）按要求完成： （1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是（    ）毫米。 （2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。 26．（22-23四年级上·江苏泰州·期末）过点A先画出已知直线的垂线，再画出这条垂线的平行线并填空。 你画的垂线的平行线与已知直线互相（    ）。 A．平行      B．垂直       C．无法确定 27．（22-23四年级上·江苏徐州·期末）（1）在下图中，过A点作直线B的平行线。 （2）过点A画直线B的垂线，点A到直线B的距离是（    ）毫米。 （3）以点C为端点画一条射线，使其于直线B相交成70°的角 28．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过A点画已知直线的垂线量一量，A点到已知直线的距离是（    ）厘米。 29．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你画的两条线段互相（    ）。（填：“垂直”或“平行”） （3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。 30．（22-23四年级上·江苏南京·期末）操作。 （1）量出图中角的度数，并在图中标出来。 （2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。 （3）点M到射线OB的距离是（    ）厘米。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 垂线与平行线的应用参考答案和试题解析 当前教育形式，对于小学数学核心素养能力的培养非常重要，小学生必需具有以下数学核心素养（即教师培养学生的目标和方向）： 数 学 核 心 素 养 会用数学眼光 观察现实世界 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维 思考现实世界 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言 表达现实世界 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 四基：学生通过学习所获得的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这些是数学学习的基础，旨在让学生不仅掌握必要的知识和技能，而且在学习过程中积累经验，形成数学思维和处理问题的方法。 四能：学生通过学习所获得的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这些是数学学习的基础，旨在让学生不仅掌握必要的知识和技能，而且在学习过程中积累经验，形成数学思维和处理问题的方法。 垂线与平行线的应用 1、直线和射线的认识与比较 线段、射线和直线的联系和区别。 名称 图示 端点个数 延伸情况 长度 联系 线段 两个 不能向两端延伸 可以测量 射线 一个 只能向一端无限延伸 无法测量 直线 无 可以向两端无限延伸 无法测量 直线和射线都是无限长的，射线可以一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 直线和射线都是无限长的，无法比较两者的长度。 2、两点间的距离 连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离。两点之间，线段最短。 3、角的认识 （1）认识角。 从一点起引出的两条射线，可以组成一个叫。这个点叫做角的定点，两条射线叫做角的边。如图 角通常用符号“∠”来表示，上图的角记作∠ 1，∠ 1读作角一角的组成：一个顶点、两条边 （2）画角。 从角的组成，画角时要先确定顶点（即在适当的地方画一个点），然后画角的两条边（从这一点向不同方向画出两条射线）。可以画不同方向的角。 4、认识量角器 （1）测量角的大小的工具是量角器，量角器的中心有一个点叫做中心点。量角器上180°的刻度线与90°的刻度线相交的点是量角器的中心，量角器上有两条0刻度线和两圈 刻度。量角器里按顺时针方向表示的刻度叫做外圈刻度，量角器里按逆时针方向表示的刻度叫做内圈刻度。 （2）角的计量单位是和表示符号：把半圆分成180等份，每一份所对的角就是1度的角。“度”是计量角的单位，用符号“°”表示，如1度记作1°，“°”要写在数字的右上角。 量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别是逆时针和顺时针方向排列的。 5、用量角器量角 “三个重合、一个注意”。 （1）点点重合：量角器的中心点与角的顶点重合。 （2）线边重合：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 （3）线边重合：刻度线与另一条边重合，即读出几度。 注意点：内圈刻度线与外圈刻度线不能混合使用。 6、三角尺上的角的度数 三角尺含有不同的度数：30°、45°、60°、90° 用一副三角尺可以拼成的角有15°（45°-30°）、 75°（45°+30°）、105°（45°+60°）、120°（90°+30°） 135°（90°+45°）、150°（90°+60°） 一副三角尺拼成的角的度数都是15的倍数。 8、角的分类 名称 角 类别 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特点 小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360° 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角 1周角=2平角=4直角 9、画指定度数的角 特定度数的角可以利用三角尺上对应的角来画（30°、45°、60°、90°……15的倍数都可以画出） 量角器画角的基本方法： （1）先在纸上画出角的顶点和一条边。 （2）用量角器的0°刻度线与所画的边重合，量角器的中心与所画的顶点重合； （3）如果用内圈的0°刻度线与所画的边重合，就在内圈所对应的刻度处点上一个点。 如果用外圈的0°刻度线与所画的边重合，就在外圈所对应的刻度处点上一个点。 （4）拿走量角器，连接顶点和点出的点，画出角的另一条边。 （5）在所画的角中标出角的符号，并标明度数。 10、给定角的一条边，画指定度数的角 射线方向向右的，如图 ，这时选择量角器的内圈刻度画角。 射线方向向左的，如图 ，这时选择量角器的外圈刻度画角。 11、平行线：同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 12、过一点画已知直线的平行线：重合、平移、紧挨 （1）重合：三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）平移：把三角尺沿着紧贴的直尺平移。 （3）紧挨：三角尺的直角边平移到紧挨着这个点，画出一条直线即可。 13、垂线：两条直线相交成直角是，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 垂足：两条垂线的交点叫做垂足。 14、画垂线的方法： 用三角尺过一点画已知直线的垂线： （1）将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 （2）再将三角尺的另一条直角边与直线上（外）的点重合。 （3）过这个点沿这条直角边画一条直线，即是这条直线的垂线。 15、点到直线的距离：点到直线的垂直线段的长度。 16、平行线间垂直线段的长度就是平行线间的距离。 . 一、作图题 1．（23-24四年级上·江苏常州·期末）如图，点P为货船位置，它要先到补给站转载补给，然后尽快开到a岸，请画出最短路线。 【答案】见详解 【分析】先根据同一平面内，两点之间，线段最短可知，P点到补给站最近的路线为两点的连线；再根据直线外一点，到直线的所有线段中垂线最短，做出过补给站的点到a岸的垂线即可。 【详解】 如图： 2．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）以下面的射线为一条边，分别画一个85°和110°的角。 【答案】图见详解 【分析】根据角的画法，先画一射线，再把量角器的圆心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合，在要求所画的度数的刻度上点点，再以原射线的端点为端点过这一点画射线，两射线所成的角就是所画的角。 【详解】画图如下： 3．（23-24四年级上·江苏苏州·期末）如图： （1）过点A画直线的垂线。 （2）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。 【答案】见详解 【分析】（1）过A点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使A点在三角尺的另一条直角边上，再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线，据此画图； （2）使量角器的中心和B点重合，0°刻度线和已知直线重合，在量角器80°刻度线的地方点一个点，以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画出80°的角。 【详解】根据上述分析，作图如下： 4．（22-23四年级上·江苏南通·期末）濠河是南通城汇自然和人文于一体的风景名胜区，泛舟濠河，不亦乐乎。 （1）给游船A设计一条路线，使其航行的路线总是平行于a岸。请在图中画出这条路线。 （2）请给游船B设计一条路线，使其去b岸的线路最近。请在图中画出这条路线。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）把三角尺的一条直角边和已知直线a重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线a重合的直角边和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线即可。 （2）用直角三角尺的一条直角边和直线b重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图： 【点睛】此题考查了学生用三角尺和直尺作垂线和平行线的能力。 5．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）如图，小蚂蚁外出觅食时，发现E、F两处有较多的食物，于是它想在家附近的直线a上建一个仓库，将E、F两处的食物储存在该仓库中，为过冬做准备，那么它应该把仓库建在哪里，可使自己的搬运路线最短？画一画。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，分别过点E和点F向直线a作垂线，这两条垂线就是点E和点F到直线a的最短路线。因为共有两处食物点，所以将两个垂足中间的点作为仓库位置。 【详解】如下图所示，点P就是仓库所在位置。 6．（23-24四年级上·江苏南京·期末）小鸭在岸上走比较费劲，却擅长在水里游泳。它想从自己家出发，到小鸡家玩，怎样走比较省力？画一画。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可；两点之间的距离，线段距离最短。 【详解】画图如下： 7．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）如图是某街区的示意图。 （1）量一量，∠1＝（    ）°。 （2）解放路经过城市广场，与人民路平行，请你在图中画出来。 （3）新村需要安装液化气管道，主管道在幸福路上，你认为应怎样安装，液化气管道最短？请你在图中画出来。 【答案】（1）30 （2）（3）见详解 【分析】（1）根据用量角器量角的方法，把量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边指着的度数，就是这个角的度数；据此量出∠1的度数。 （2）过城市广场这一点，作人民路这条直线的平行线，可以先过城市广场这一点作人民路的垂线，再过这一点作垂线的垂线，即作出解放路。 （3）根据点到直线上任意一点的距离中，垂直线段最短，可知：要使新村的液化气管道最短，则从新村这一点向幸福路这条直线作垂直线段，即是最短的液化气管道。 【详解】（1）根据分析并测量可知： ∠1＝30° （2）（3）如下图： 8．（23-24四年级上·江苏泰州·期末）如图，华华要从点A游到河对岸，怎样游路线最短？请在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以要想从点A游到河对岸，游的路线最短，需要过点A向河对岸所在的直线做垂线。 【详解】 9．（24-25四年级上·江苏·期末）过点A画已知直线的平行线，过点B画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。 这条直线就是已知直线的垂线。 过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3、平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。 这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】 10．（24-25四年级上·江苏·期末）甲、乙两村分别位于公路的两边，现在要从这两村各修一条路与公路连接起来，怎样修路使两村都距公路最近？请画在图上。 【答案】见详解 【分析】直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此画图即可。 【详解】只要分别作出甲村、乙村两点到公路的垂线段，这两条小路就是最短的。 如下图： 11．（24-25四年级上·江苏·期末）先过点A画出直线a的垂线，再过点A画出直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角形的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 【详解】 12．（22-23四年级上·江苏扬州·期末）一只小鸭子要从C点游到河对岸，怎样游路线最短？请画出来。如果要游到B点，怎样游路线最短？请画出来。 【答案】见详解 【分析】要使从C点游到河对岸的路程最短，即所走路线是从点C向河对岸作垂线段，把直角三角尺的一条直角边与点B所在的直线重合，使得点C在直角三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，过点C沿着这条直角边向河对岸画线段即为垂线段，这条垂线段即为最短的路线。若要从C点游到B点的路程最短，连接B点与C点的线段即为最短路线。 【详解】 二、解答题 13．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。 （2）过点A分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（    ）°。              【答案】（1）（2）见详解 （3）105° 【分析】（1）用量角器的圆点和射线的端点O重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°的刻度上点上点，过射线的端点O和刚作的点，画射线即可。 （2）将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线。 （3）根据垂直的定义可知，围成的四边形中有2个直角，因为四边形的内角和是360度，所以另外两个角的度数之和是180度，已知一个角是75度，则另一个角就是105度，据此即可解答。 【详解】（1）（2）根据题干分析画图如下： （3）由分析知，360°－75°－90°－90°＝105° 这个钝角的度数是105°。 14．（22-23四年级上·江苏徐州·期末）（1）过点A画已知直线L的垂线和平行线。 （2）量出点A到直线L的距离是（    ）厘米。 【答案】（1）图见详解；（2）2 【分析】（1）过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离。这个点与垂足之间的线段叫做垂线段。点A到直线L的垂线段的长度即为点A到直线L的距离，测量出这条垂线段的长度即可解答。 【详解】 （1） （2）经测量，点A到直线L的距离是2厘米。 15．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过点A画出下面直线的垂线和平行线，并量出画图后平行线之间的距离大约是（    ）毫米。 【答案】图见详解；30（以实际测量为主） 【分析】用三角板画垂线：将三角板任意放到纸上，沿着三角板的两条直角边画两条线， 这两条线就互相垂直。也可以先用直尺任意画一条直线，然后将三角板的一 条直角边与这条直线重合，沿三角板的另一条直角边画线与这条直线相交，这样画的两条线互相垂直；画平行线的方法：（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合。 （2）用直尺紧靠三角板的另一条边。（3）沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点。（4）沿着这条直角边画一条直线，所画的直线与已知直线平行。再用直尺测量出平行线之间的距离，0刻度线对齐A点。 【详解】根据垂线和平行线的作图方法，作图如下： 用直尺测量出平行线之间的距离为30毫米。（以实际测量为主） 16．（22-23四年级上·江苏宿迁·期末）过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离（    ）毫米。 【答案】见详解 【分析】平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是已知直线的平行线；过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，让三角尺的另一条直角边通过点A，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线，根据长度的测量方法：用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是点A到已知直线的距离。 【详解】 20毫米 过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离20毫米。 17．（22-23四年级上·江苏南通·期末）根据要求在图中量一量，画一画。 （1）用量角器量出∠AOB是（    ）°。 （2）过A点作OB边的垂线。 （3）过B点作OA边的平行线。 【答案】（1）35 （2）（3）图见详解过程 【分析】（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数； （2）过直线外一点画已知直线的垂线的方法：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外的一点，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后再标出直角符合； （3）过直线外一点画已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】（1）用量角器量出∠AOB是35°。 （2）过A点作OB边的垂线。作图如下： （3）过B点作OA边的平行线。作图如下： 18．（22-23四年级上·江苏镇江·期末）画一画，填一填。 ①过A点作已知直线的垂线。 ②量出A点到直线的距离是（    ）毫米。 ③以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成70°的角。 【答案】①见详解 ②25 ③见详解 【分析】①用直角三角尺的一条直角边和直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。 ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离。量出点A到已知直线的垂线段的长度即可。 ③使量角器的中心点和B点重合，0刻度线和已知直线重合，在量角器上找到70°度数的地方点一个点，以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是70°的角，在角内标上角的符号和度数。 【详解】①如图 ②量出A点到直线的距离是（25）毫米。 ③如图 19．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）在直线右边画2个与已知直线的距离都是2厘米的点。 过这两个点能画（    ）条直线，请画一画；画出的直线与已知直线（    ）。 【答案】图见详解；1；平行 【分析】用三角板的一条直线边与已知直线重合，沿另一条直角边向已知直线画直线即可得到已知直线的一条垂线，从垂足开始截取一段2厘米线段，过两个点画一条直线，画的直线与已知直线是平行线。据此解答。 【详解】根据题意画图如下： 过这两个点能画1条直线，画图如上图所见；画出的直线与已知直线平行。 20．（22-23四年级上·江苏常州·期末） （1）上图的平行四边形中，∠B＝（    ）°。 （2）以A为顶点，AD为一条边，画一个60°的角。 （3）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中画出来。 【答案】（1）60° （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点B重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）画角时先使量角器的中心点和A点重合，0刻度线和AD重合，在量角器上找到60°处点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，在角内标上角的符号和度数； （3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，要求一条最近到边线的路线，则从黑点向下面的那条边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】（1）经测量，∠B＝60°。 （2）（3）作图如下： 21．（22-23四年级上·江苏淮安·期末）操作题。 （1）过A点作已知直线的平行线。 （2）量出A点到直线的距离是（    ）毫米。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。 【答案】（1）（3）见详解 （2）14 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此先过A点作直线的垂线，再用直尺量出A点到直线的距离。 （3）使量角器的中心和B点重合，0°刻度线和直线重合。在量角器120°刻度线的地方点一个点。以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出120°的角，并标为∠1。 【详解】（1）（3） （2）量出A点到直线的距离是14毫米。 22．（22-23四年级上·山东潍坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。 （2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。 【答案】（1）画图见详；两点之间，线段距离最短。 （2）见详解 【分析】（1）两点之间，线段距离最短，依此画图并解答即可。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】（1）、（2）画图如下： （1）这样画的理由是：两点之间，线段距离最短。 【点睛】此题考查了两点间线段最短与两点间的距离，以及过直线外一点作垂线，应熟练掌握垂直的特点。 23．（23-24四年级上·江苏南京·期末）下图是某街区的示意图。 （1）用量角器量出∠l＝（    ）°。 （2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。 （3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？把它画出来。 【答案】（1）40 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）用量角器量角的度数方法，把量角器的中心点与角的顶点重合，0度刻度线与所画的边重合，另一条边所在的刻度线，就是这个角的度数。 （2）根据题图可知上方表示的方向是北，则西北面就在左上方；据此用直角三角尺一条直角边与和平路重合，过胜利小学向左上方做和平路的垂线段，使其长度为1厘米，再过垂线段的左上方的端点画和平路的平行线，把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线； （3）点到直线的距离，垂线段最短，过胜利小区的点向华山路做垂线段，此时距离最短，最节省材料。 【详解】（1）经测量，∠l＝40°。 （2）（3）作图如下： 24．（23-24四年级上·江苏南京·期末）填一填，画一画。 跳远比赛规定：测量跳远成绩是测量运动员离起跳线最近的落脚点到起跳线的距离。下图是王明跳远的示意图，最近的落脚点是A，从点A到起跳线p的（    ）的长度就是王明的跳远的成绩。在下图中画一画。 【答案】垂线段；图见详解 【分析】测量跳远成绩是测量运动员离起跳线最近的落脚点到起跳线的距离就是点到直线的距离； 过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此解答。 【详解】跳远比赛规定：测量跳远成绩是测量运动员离起跳线最近的落脚点到起跳线的距离。下图是王明跳远的示意图，最近的落脚点是A，从点A到起跳线p的垂线段的长度就是王明的跳远的成绩。 25．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）按要求完成： （1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是（    ）毫米。 （2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。 【答案】（1）见详解图；20 （2）见详解 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的已知直线的垂线，两直线相交于C点；依此画图并标上垂直符号即可； 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。用直尺的“0”刻度线和端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此测量出线段AC的长度即可。 （2）使量角器的中心与给出的顶点重合，0刻度线与给出的射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画图。 【详解】（1）点A到直线的距离是20毫米。 （1）、（2）如下图 26．（22-23四年级上·江苏泰州·期末）过点A先画出已知直线的垂线，再画出这条垂线的平行线并填空。 你画的垂线的平行线与已知直线互相（    ）。 A．平行      B．垂直       C．无法确定 【答案】作图见详解； B； 【分析】用直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与A点重合，过A点沿直角边做垂线即可； 用直角三角板的一条直角边和这条垂线重合，另一条直角边和已知直线重合，直角三角板沿着已知直线慢慢移动，在任意位置沿着第一条直角边画出的直线就是这条垂线的平行线； 两条平行线中的一条垂直于一条直线，另一条也一定垂直于这条直线，据此即可解答； 【详解】根据题干分析画图如下： 因为两条平行线中的一条垂直于一条直线，另一条也一定垂直于这条直线，故答案为：B。 【点睛】此题考查了学生画平行线和垂线的能力。 27．（22-23四年级上·江苏徐州·期末）（1）在下图中，过A点作直线B的平行线。 （2）过点A画直线B的垂线，点A到直线B的距离是（    ）毫米。 （3）以点C为端点画一条射线，使其于直线B相交成70°的角 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解；19 （3）图见详解 【分析】（1）把三角尺的一条直角边和已知直线B重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线即可。 （2）用直角三角尺的一条直角边和直线B重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可，点A到直线B的垂线段的长度就是点A到直线B的距离。 （3）使量角器的中心点和C点重合，0刻度线和直线B重合，在量角器上找到70°度数的地方点一个点，以画出射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是70°的角，在角内标上角的符号和度数。 【详解】如图： 【点睛】此题主要考查了学生用三角尺和直尺作垂线和平行线的能力。 28．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过A点画已知直线的垂线量一量，A点到已知直线的距离是（    ）厘米。 【答案】图见详解；2 【分析】把直角三角尺一条直角边与已知直线重合，使得点A在另一条直角边上，沿着这条直角边过点A向已知直线画线段即为所求的垂线；再把直尺的零刻度线与点A重合，垂线段与直线的交点指向直尺的哪个刻度，那么这条垂线段的长度就是几厘米。 【详解】 A点到已知直线的距离是2厘米。 29．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你画的两条线段互相（    ）。（填：“垂直”或“平行”） （3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。 【答案】（1）见详解； （2）平行； （3）张阳；因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩（理由答案不唯一） 【分析】（1）从图中2个位置分别画2条到踏跳板的垂线段，过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （2）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况； （3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，再比较两人最好的成绩即可；据此解答。 【详解】根据分析： （1） （2）我画的两条线段互相平行。 （3）张阳：220＞196 李康：215＞210＞205 220＞215 答：我认为张阳会获胜，因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩。（理由答案不唯一） 30．（22-23四年级上·江苏南京·期末）操作。 （1）量出图中角的度数，并在图中标出来。 （2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。 （3）点M到射线OB的距离是（    ）厘米。 【答案】（1）（2）见详解；（3）4 【分析】（1）用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角O的顶点重合，然后使角的一边OB和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边OA，看角的另外一边OA落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少； （2）过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与直线OB重合，让三角尺的另一条直角边通过点M，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线OB的垂线MN。 平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线OA重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点M位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是直线OA的平行线MQ； （3） 用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点M重合，另一个端点在直线OB的N点在直尺上的刻度，就是该线段的长度。 【详解】（1）（2）如图： （3）点M到射线OB的距离是4厘米。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$