三角函数的图像与性质专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习18--三角函数的图像与性质专项练习 一、单选题 1．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·广东佛山·一模）函数是（   ） A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2 C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减 3．（2024·浙江·一模）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南通如皋·高三期初统测）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 7．（2024·湖北·模拟预测）函数图像的一条对称轴为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·浙江金华·一模）设函数，则（   ） A．的图象有对称轴 B．是周期函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 10．（2024·辽宁·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．在区间有两个极值点 C． D．直线是曲线的切线 11．（2024·广东肇庆·一模）已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若函数（）在上单调递减，则 C．若，则的最小值为 D．若函数在上存在两个极值点，则 三、填空题 12．（2024·四川绵阳·一模）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________ 13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 14．（2024·陕西西安·二模）已知函数的部分图象如图所示，为图象上的点且满足四边形为平行四边形，若，则 ． 四、解答题 15．（2024·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 16．（2024·辽宁·模拟预测）如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为. (1)求和的值； (2)已知，，，求的值. 17．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 18．（2024·广东肇庆·一模）已知向量，，，函数，且的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移m（）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值. 19．（2024·新疆喀什·三模）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证： 参考答案： 1．【答案】B 【解析】：若，则， 令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意； ：若，则， 令，，则，， 故是一条对称轴，符合题意； ，则，不符合题意； ，则，不符合题意． 故选：B 2．B 【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D. 【详解】定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，又， 令，，， 当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确； 因为，所以为周期函数， 因为在上单调递减，在上单调递减， 当，，令，，，在单调递减，在单调递增， 当，，令，，，在单调递减， 由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增； 故C，D错误， 故选：B. 3．【答案】D 【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键. 4【答案】D 【解析】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D． 5．【答案】C 【解析】由题意可得，得，所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 所以， 所以，或， 所以，或， 因为，所以， 故选：C 6．A 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    7．A 【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出. 【详解】由的图象关于对称， 可知：，即，则． 故选：A． 8．B 【分析】根据题意，由点的坐标可得，结合恒等变换公式化简，然后求解三角函数不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，， 则 ， 由可得，即， 解得， 即， 又，则时，. 故选：B 9．ABD 【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可. 【详解】∵， ∴是偶函数，关于轴对称，故A正确； ∵， ∴是函数的一个周期，故B正确； ，∵，， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； ， ∴的图象关于点中心对称. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】化简函数解析式，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题意得 选项A：函数的最大值为，错误； 选项B：当时，，由正弦函数图象可得有2个极值点， 由和解得和为函数的极值点，正确； 选项C， 正确， 选项D， 由得， 所以或，，解得或，， 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为即，正确； 故选：BCD 11．BCD 【分析】根据函数的单调区间以及可知关于点对称且，可得，再由时，取得最小值可得，即A错误，由并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确. 【详解】对于A选项，因为，所以， 可得的图象关于点对称， 又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值. 因为在是单调函数，所以得，所以， 又因为函数在时取得最小值，所以由， 得，.解得，. 又，所以，故A错误； 对于B选项，易知，所以， 当时，，若函数（）在上单调递减， 则，解得，故B正确； 对于C选项，最小正周期为，当时， 则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可. 12．【答案】3 【解析】因为，(，) 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为：3 13． 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】设的中点为，设，由已知可得，进而求得，再由，求得，从而可求得. 【详解】如图，设的中点为， 因为四边形为平行四边形，所以关于点对称， 则可设，由， 得，解得，则， 的最小正周期， 所以，所以， 结合图象可知，解得， 又，则，则， 又由，可得，解得， 所以，所以. 故答案为：. 15．(1) (2)最小值为，最大值为1 【分析】（1）由图象可得，代入求出，由，结合图象可得，求出，求出函数解析式； （2）根据伸缩和平移变换得到，整体法求出函数在上的最值. 【详解】（1）由图象知. 因为的图象过点，所以， 又，所以，所以. 又的图象过点，由“五点作图法”可得， 所以.所以. （2）由题意知， 当时，， 所以， 则， 所以在区间上的最小值为，最大值为1. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解， （2）根据同角关系可得，进而根据和差角公式即可求解. 【详解】（1）由已知，∵，∴，∴， 由已知，，∴，， 由图象可知，∵，∴，∴ （2）由（1）知， ∵，∴，∵，∴； ∵，∴， ∴，即 ∵，∴，∴， ∴. 17．(1)最小正周期为，对称中心的坐标为 (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心； （2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解. 【详解】（1） ，                         则的最小正周期为：，                                         ，， 所以的对称中心的坐标为：； （2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，                            再向下平移1个单位得到，                                   再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到                                    即， ， ，                                     可得 ，                                  令， 在上单调递减， 所以，                                         在上有解，需， ， 的取值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式，利用整体法求出值域； （2）利用伸缩和平移变换得到，结合，得到方程，求出，，当时，实数m取得最小值. 【详解】（1） ， 因为最小正周期为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 则， 所以， 所以当时，的值域为. （2）向下平移个单位长度得， 向左平移m（）个单位长度得， 横坐标变为原来的2倍得. 因为， 所以要使得与的图象重合， 则，，解得， 当时，实数m取得最小值. 19．(1)具有性质 (2)存在，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可； （3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故具有性质． （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质． （3）证明：由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$