专题5-2 一元一次方程的应用（考题猜想，易错必刷50题13种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题5-2 一元一次方程的应用（易错必刷50题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 和差倍分问题 · 配套问题 · 行程问题 · 数字问题 · 销售问题 · 水流航行问题 · 工程问题 · 数轴上动点问题 · 分段收费问题 · 比赛积分问题 · 古代问题 · 方案选择问题 · 隧道或过桥问题 · 一．和差倍分问题（共4小题） 1．（21-22七年级下·云南玉溪·期末）某同学出生时父亲26岁，现在父亲的年龄是该同学年龄的3倍，则现在父亲的年龄是（       ） A．30岁 B．36岁 C．39岁 D．48岁 2．（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 3．（24-25七年级上·重庆江北·阶段练习）一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？ 4．（22-23七年级上·宁夏固原·开学考试）小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 二、配套问题（共4小题） 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有45名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程为 ． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 三、行程问题（共4小题） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一条笔直的公路上，有一辆长为10米的公交车，以8米/秒的速度匀速前进，此时，司机发现前方200米的人行道上有个行人，正以1米/秒的速度匀速同向前进，则从发现行人到公交车完全超过行人时，公交车共行驶了 米． 11．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 12．（2024七年级上·全国·专题练习）甲乙两地相距千米，一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，相向而行．已知客车的速度为千米/小时，出租车的速度是千米/小时． (1)多长时间后两车相遇？ (2)若甲乙两地之间有相距的A、B两个加油站，当客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离． 四、数字问题（共3小题） 13．（2024七年级上·全国·专题练习）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ． 14．（24-25七年级上·江西·阶段练习）把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 ． 15．（23-24七年级上·全国·单元测试）把个正整数，，，，…，按如图方式排列成如图所示的数的方阵． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则从小到大依次是 ， ， ； (2)当（1）中被框住的个数之和等于时，的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的个数，使它们的和等于或等于？若能，求出的值；若不能，说明理由． 五、销售问题（共4小题） 16．（2024七年级上·全国·专题练习）某商品月末的进货价比月初的进货价降了，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高，则月初的利润率是（　　） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）某市大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行．某车行销售的一款电动车，每辆的标价是元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利，求这款电动车每辆的进价． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元．裤子的标价为多少元？ 19．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 六、水流航行问题（共4小题） 20．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 21．（21-22七年级上·江苏盐城·阶段练习）一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则可列方程为 ． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 23．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 七、工程问题（共4小题） 24．（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做12天完成，丙队独做15天完成．如果三个队合作，多少天可以完成这项工程的？ 25．（15-16七年级上·甘肃平凉·期末）一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，若两人合做天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天． 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 27．（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 八、数轴上动点问题（共4小题） 28．（24-25七年级上·北京·期中）阅读理解：若A，B，C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点；当点C到点B的距离是点C到点A的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点． 如图所示，数轴上两点A，B，一只蚂蚁从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设蚂蚁所在位置为点P，运动时间为t秒． (1)当时，线段的长是___________，线段的长是___________，此时点P___________（填“是”或“否”）的定位点； (2)在蚂蚁运动过程中，t为何值时，蚂蚁所在位置是的定位点． (3)设一只蜗牛从点A和蚂蚁同时出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设蜗牛所在位置为点Q，点A，B，P，Q所表示的数分别是，，，．若，请直接写出一个满足条件的t值． 29．（24-25七年级上·四川达州·期中）已知、为有理数，且满足，其中、分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示，动点、分别从、同时开始运动，点以每秒个单位向左运动，点以每秒个单位向右运动，当、相遇后，点按照原来的速度继续保持向左运动，点在原地停留秒后向左运动且速度变为原来的倍．设运动时间为秒． (1)求、的值； (2)当运动时间秒时，点在数轴上对应的数为______,此时点和点相距________个单位长度． (3)在整个运动过程中，当、之间的距离为个单位长度时，求出点的运动时间的值 30．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 31．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“二分点”．特别地，当两个点重合时，我们规定：它们之间的距离为0． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以点B是点A，点C的“二分点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为4． ①下列各数，0，2所对应的点分别为，，，则在点为，，中，是点A，点B的“二分点”的是 ； ②若点M为数轴上一动点，且点B是点A，点M的“二分点”，请直接写出点M所表示的数； (2)数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点A出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向右运动，到达点B后立刻返回，速度变为原来的倍．另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以6个单位每秒的速度沿数轴向左运动，与电子蚂蚁P第一次相遇后，速度变为原来的一半．若两只电子蚂蚁同时出发，设运动时间为秒，求当t为何值时， A、P、Q三个点中恰有一个点为其余两点的“二分点”？（写出解题过程） 九、分段收费问题（共4小题） 32．（23-24七年级下·河北保定·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 a b 上海 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 北京 2 9 上海 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 33．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 34．（23-24七年级下·重庆·开学考试）为增强市民节水意识，依据重庆市物价局《关于建立主城区居民用电阶梯价格制度的通知》，自2016年1月1日起，我市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 360以上 例如，某户家庭年使用自来水，应缴纳：元； 某户家庭年使用自来水，应缴纳：元． (1)小刚家2021年使用自来水，应缴纳______元；小刚家2022年共使用自来水，应缴纳______元． (2)小强家2022年使用自来水的平均水费为3.62元/，求小强家2022年共使用了多少自来水？ 35．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 十、比赛积分问题（共4小题） 36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 37．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 38．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？ 39．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 十一、古代问题（共4小题） 40．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 41．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 42．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 43．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 十二、方案选择问题（共3小题） 44．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 45．（22-23七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 46．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）某超市推出周年庆优惠大酬宾活动，关于A、B两种商品，有如下促销方案： A商品 B商品 售价（单位：元） 100 20 方案1 买一件A商品，赠送一件B商品 方案2 A商品和B商品都打九折 （注：方案1、2不能同时参加） (1)购买A商品10件，B商品30件，选用哪种方案更划算？能便宜多少钱？ (2)如果购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品多20件，则购买A商品多少件时，两种方案的花费相同？ 十三、隧道或过桥问题（共4小题） 47．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道需要秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是秒，则这列火车长 米． 48．（24-25七年级上·广东珠海·期中）（1）【知识准备】爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图，他发现将火车在数轴上水平移动，则当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：单位长度）．由此可得移动前点处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写出结果） （2）【问题探究】如果火车正前方个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置匀速出发到完全驶离“隧道”恰好用t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则“隧道”的长为个单位．（用含t的代数式表示） （3）【拓展延伸】他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图，在（）的条件下，数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合．两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上同时移动，已知火车速度个单位秒，火车速度为个单位秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的处与处相距个单位？ 49．（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 50．（23-24七年级上·广东深圳·期末）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案） （2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可） （3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？ $$专题5-2 一元一次方程的应用（易错必刷50题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 和差倍分问题 · 配套问题 · 行程问题 · 数字问题 · 销售问题 · 水流航行问题 · 工程问题 · 数轴上动点问题 · 分段收费问题 · 比赛积分问题 · 古代问题 · 方案选择问题 · 隧道或过桥问题 · 一．和差倍分问题（共4小题） 1．（21-22七年级下·云南玉溪·期末）某同学出生时父亲26岁，现在父亲的年龄是该同学年龄的3倍，则现在父亲的年龄是（       ） A．30岁 B．36岁 C．39岁 D．48岁 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该同学现在的年龄是a岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该同学现在的年龄是a岁， 根据题意，得， 解得，， ∴现在父亲的年龄是39岁， 故选：C． 2．（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人． 根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆江北·阶段练习）一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？ 【答案】原来上层有294本，原来下层有92本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用题，找准题中的数量关系列方程是解题的关键；设原来下层有书x本，则上层有本，然后根据上层书本数101下层书本数101列出方程求解即可． 【详解】解：设原来下层有x本，则原来上层有本， 由题意得，， 解得：， ， 答：原来上层有294本，原来下层有92本． 4．（22-23七年级上·宁夏固原·开学考试）小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 【答案】三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁 【分析】本题考查年龄问题，设小敏现在的年级为岁，根据现在和3年后妈妈与小敏的年龄差不变，得到现在妈妈的年龄为岁，根据小敏和妈妈的年龄和为50，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小敏现在的年级为岁，则现在妈妈的年龄为岁，由题意，得： ， 解得：， 答：三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁． 二、配套问题（共4小题） 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有45名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据生产的螺母数量为螺栓的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 依题意，得：． 故选：D． 6．（24-25七年级上·全国·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识；分配名工人生产螺栓，得生产螺母的工人数为名，再根据题意，得名工人生产的螺母数是名工人生产的螺栓数的2倍，即可列出方程． 【详解】解：若分配名工人生产螺栓，则生产螺母的工人数为名， ∵一个螺栓套两个螺母 ∴名工人生产的螺母数是名工人生产的螺栓数的2倍 ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得： ， 解得， （人． 答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 三、行程问题（共4小题） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，乙追上甲时，乙比甲多走，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为． 当乙第一次追上甲时，， 解得． ∴此时乙行走的路程为 ∵， ∴当乙第一次追上甲时，共走了3圈多90米，即在正方形的点C处乙第一次追上甲， 故选；C． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一条笔直的公路上，有一辆长为10米的公交车，以8米/秒的速度匀速前进，此时，司机发现前方200米的人行道上有个行人，正以1米/秒的速度匀速同向前进，则从发现行人到公交车完全超过行人时，公交车共行驶了 米． 【答案】240 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设从发现行人到公交车完全超过行人所用时间为x秒，根据公交车所走路程等于200米加上车身长度10米再加上行人所走路程列出方程求解即可 ． 【详解】解：设从发现行人到公交车完全超过行人所用时间为x秒，根据题意： 解得：， 则（米） 故答案为：240． 11．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）甲乙两地相距千米，一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，相向而行．已知客车的速度为千米/小时，出租车的速度是千米/小时． (1)多长时间后两车相遇？ (2)若甲乙两地之间有相距的A、B两个加油站，当客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离． 【答案】(1)小时 (2)千米或千米 【分析】本题考查一元一次方程的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）设x小时后两车相遇．根据路程之和为，构建方程即可解决问题； （2）设A加油站到甲地的距离为y千米．构建方程即可解决问题，注意有两种情形； 【详解】（1）解：设x小时后两车相遇． 由题意：， 解得， 答：设小时后两车相遇． （2）解：设A加油站到甲地的距离为y千米． 则有：或 解得：或， 答：A加油站到甲地的距离为千米或千米． 四、数字问题（共3小题） 13．（2024七年级上·全国·专题练习）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设左下角方格中的数是x， ∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 14．（24-25七年级上·江西·阶段练习）把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设第三行、第三列的数字为y，根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，先求出y的值，进而求解x即可． 【详解】解：设第三行、第三列的数字为y， ∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．（23-24七年级上·全国·单元测试）把个正整数，，，，…，按如图方式排列成如图所示的数的方阵． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则从小到大依次是 ， ， ； (2)当（1）中被框住的个数之和等于时，的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的个数，使它们的和等于或等于？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第行第个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于，则 ， 解得 ， 因为它不是整数，不符合题意， 因而不能． 假设能框住这样的个数，它们的和等于，则 ， 解得， 因为是第行最后一个数， 所以，，，不在同一个正方形框内， 所以不符合题意， 因而不能． 五、销售问题（共4小题） 16．（2024七年级上·全国·专题练习）某商品月末的进货价比月初的进货价降了，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高，则月初的利润率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设原进货价为M，则是打折扣的价格，这个公司月初的利润率是，那么根据这批货物的销售价保持不变列出方程，解方程即可． 【详解】解：设月初的利润率是，原进货价为M，则是打折扣的价格， 可得： 约去M得：， 解得：． 月初的利润率是． 故选：B． 17．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）某市大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行．某车行销售的一款电动车，每辆的标价是元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利，求这款电动车每辆的进价． 【答案】元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．设这款电动车每辆的进价为元，根据“利润标价折扣进价”列出方程求解即可． 【详解】解：设这款电动车每辆的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：这款电动车每辆的进价为元． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元．裤子的标价为多少元？ 【答案】120元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 设裤子的标价为元．根据题意可得，解方程即可． 【详解】解：设裤子的标价为元． 依题意，得，解得． 故裤子的标价为120元． 19．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元． （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 六、水流航行问题（共4小题） 20．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时，利用时间、路程、速度并结合从乙地回到甲地用7．5小时，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中计算即可解答． 【详解】解：设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时， 根据题意得：，解得：， ∴， ∴甲、乙两地间的山岭路程有24千米． 故选：A． 21．（21-22七年级上·江苏盐城·阶段练习）一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程；根据所用时间得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意顺流速度=静水船速+水速度；逆流速度=静水船速水速度． 根据所用的总时间可得相应的等量关系为：顺流全程的时间+逆流全程的时间，把相关数值代入即可． 【详解】解：顺流的速度为， ∴顺流的时间为：； 同理可得逆流的时间为：， 可列方程：． 故答案为：． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了； (2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 答：从救生圈落水到被发现用了； （2）解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，依题意有 ， 解得, 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 七、工程问题（共4小题） 24．（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做12天完成，丙队独做15天完成．如果三个队合作，多少天可以完成这项工程的？ 【答案】3天 【分析】根据题意，把总工程量看成“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，设三队合作x天完成了这项工程的，列出方程，解答即可． 本题考查了工程问题的应用，明确工程问题中的工作量，工作效率的表示方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得把总工程量看成“1”， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 设三队合作x天完成了这项工程的， 列方程，得， 解方程，得． 答：三队合作，3可以完成这项工程的． 25．（15-16七年级上·甘肃平凉·期末）一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，若两人合做天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天． 【答案】乙还需做天． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设乙还需做天后，共同完成任务，然后根据“甲、乙合作完成的工程量乙剩下完成的工程量总工程量”，即可得出关于的一元一次方程，即可求解，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设乙还需做天， 由题意得：， 解得：，即乙还需做天， 答：乙还需做天． 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）解：设两人合作a天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 八、数轴上动点问题（共4小题） 28．（24-25七年级上·北京·期中）阅读理解：若A，B，C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点；当点C到点B的距离是点C到点A的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点． 如图所示，数轴上两点A，B，一只蚂蚁从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设蚂蚁所在位置为点P，运动时间为t秒． (1)当时，线段的长是___________，线段的长是___________，此时点P___________（填“是”或“否”）的定位点； (2)在蚂蚁运动过程中，t为何值时，蚂蚁所在位置是的定位点． (3)设一只蜗牛从点A和蚂蚁同时出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设蜗牛所在位置为点Q，点A，B，P，Q所表示的数分别是，，，．若，请直接写出一个满足条件的t值． 【答案】(1)2；6；否 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，新定义，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到，再根据所给的定义判断即可； （2）由题意得，点P表示的数为，则,，根据等腰可得，则，解方程即可得到答案； （3）由题意得，，，，，根据，推出，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，点P即为原点O， ∵点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴， ∵， ∴点P不是的定位点， 故答案为：2；6；否； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵蚂蚁所在位置是的定位点， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解；由题意得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 29．（24-25七年级上·四川达州·期中）已知、为有理数，且满足，其中、分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示，动点、分别从、同时开始运动，点以每秒个单位向左运动，点以每秒个单位向右运动，当、相遇后，点按照原来的速度继续保持向左运动，点在原地停留秒后向左运动且速度变为原来的倍．设运动时间为秒． (1)求、的值； (2)当运动时间秒时，点在数轴上对应的数为______,此时点和点相距________个单位长度． (3)在整个运动过程中，当、之间的距离为个单位长度时，求出点的运动时间的值 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式，将代入即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：，当时， F对应的数为，当时，， 此时 故答案为：，． （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 30．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②存在， 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点A表示的数是1，B表示的数是，C表示的数是，点D表示的数是， ∴A、D间距离是，B、C间距离是， ∵当A、D间距离是B、C间距离的5倍， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或； （3）解：①当运动时间为t秒时， 点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A、B间的距离， 点A、C间的距离， 当点A到点B、点C的距离之和是40时， ， ∴； ②∵，， ∴， ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴， ∴， ∴存在符合条件的k，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，整式的加减，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值． 31．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“二分点”．特别地，当两个点重合时，我们规定：它们之间的距离为0． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以点B是点A，点C的“二分点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为4． ①下列各数，0，2所对应的点分别为，，，则在点为，，中，是点A，点B的“二分点”的是 ； ②若点M为数轴上一动点，且点B是点A，点M的“二分点”，请直接写出点M所表示的数； (2)数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点A出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向右运动，到达点B后立刻返回，速度变为原来的倍．另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以6个单位每秒的速度沿数轴向左运动，与电子蚂蚁P第一次相遇后，速度变为原来的一半．若两只电子蚂蚁同时出发，设运动时间为秒，求当t为何值时， A、P、Q三个点中恰有一个点为其余两点的“二分点”？（写出解题过程） 【答案】(1)①，②或； (2)或或或或或或， 【分析】本题考查的是新定义的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）①先分别计算，，与之间的距离，再结合新定义判断即可；②设点表示的数为，当点B是点A，点M的“二分点”，时，，可得点时的中点，或重合；再建立方程求解即可； （2）分情况画出图形，结合速度分别表示运动过程中对应的数，再结合图形与新定义的含义再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①解：，， ∴， 不是点A，B的“二分点”； ， 是点A，B的“二分点”； 不是点A，B的“二分点”； ∴是点A，B的“二分点”的是， ②设点表示的数为， 当点B是点A，点M的“二分点”，时，， ∴点时的中点，或重合； 当点时的中点， ， 解得：， 当重合；则， ∴对应的数为：或； （2）解：由题意可得：对应的数为：，对应的数为：， 如图， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则为的“二分点”， ∴， 解得：， 如图，两点相遇之后，此时的速度变为原来的一半， 相遇时，对应的数为：， ∴此时对应的数为：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，是的“二分点”， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当与重合时， ∴，解得：， 此时以每秒个单位返回，如图， 此时对应的数为：，对应的数为：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则是的“二分点”， ∴， 解得：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则是的“二分点”， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上：或或或或或或， 九、分段收费问题（共4小题） 32．（23-24七年级下·河北保定·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 a b 上海 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 北京 2 9 上海 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1)，； (2)64元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：的值为7，的值为2． （2）解：由（1）得，，． （元）， 答：小丽需要付64元的快递费． 33．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)60 (2)12.5 (3)该户居民4月份用水，5月份用水 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用． （1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可； （2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可； （3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围． 【详解】（1）解： ， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 34．（23-24七年级下·重庆·开学考试）为增强市民节水意识，依据重庆市物价局《关于建立主城区居民用电阶梯价格制度的通知》，自2016年1月1日起，我市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 360以上 例如，某户家庭年使用自来水，应缴纳：元； 某户家庭年使用自来水，应缴纳：元． (1)小刚家2021年使用自来水，应缴纳______元；小刚家2022年共使用自来水，应缴纳______元． (2)小强家2022年使用自来水的平均水费为3.62元/，求小强家2022年共使用了多少自来水？ 【答案】(1)700，1332 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合阶梯水费收费标列式求解即可； （2）设小强家2022年使用自来水，分别假设和，列出对应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：小刚家2021年使用自来水，应缴纳水费：（元）； 小刚家2022年共使用自来水，应缴纳水费：（元）； 故答案为：700，1332． （2）设小强家2022年使用自来水， 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 综上，小强家2022年使用自来水． 35．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元． (2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【详解】（1）解：A种购票方式：元； B种购票方式：元； C种购票方式：元． （2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择B种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 十、比赛积分问题（共4小题） 36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可． 【详解】设最低分做对的题目数题，则做错题， 由题意得，， 解得， ∴低分做对的题目数10题， ∵每个人的得分都不相同， ∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19， 因此第一名至少得：（分）， 故答案为：． 37．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【答案】这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球？罚中2个球． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个，再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 38．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？ 【答案】3场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出5支球队需要比赛的场数，设共有x场平局列出x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：5支球队需要比赛（场）， 设共有x场平局，根据题意有： ， 解得： 答：共有3场平局． 39．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 十一、古代问题（共4小题） 40．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 41．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 42．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【答案】有人，辆车． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 43．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 十二、方案选择问题（共3小题） 44．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】(1) (2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤． 【详解】（1）解：根据题意得， 故按方案一，购买裤子和T恤共需付款； （2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款， 根据题意得，， 解得， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款 （元）， 共需付款3400元． 45．（22-23七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)1000，960 (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外10盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为元， 在乙店购买球拍和球的总费用为元， 故答案为：1000，960； （2）设学校计划购买乒乓球盒， 由题意得： 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需元， 在乙店购买另外10盒乒乓球需元， 总费用为元， 答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元． 46．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）某超市推出周年庆优惠大酬宾活动，关于A、B两种商品，有如下促销方案： A商品 B商品 售价（单位：元） 100 20 方案1 买一件A商品，赠送一件B商品 方案2 A商品和B商品都打九折 （注：方案1、2不能同时参加） (1)购买A商品10件，B商品30件，选用哪种方案更划算？能便宜多少钱？ (2)如果购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品多20件，则购买A商品多少件时，两种方案的花费相同？ 【答案】(1)选用方案1更划算，能便宜40元； (2)购买A商品5件时，两种方案的花费相同． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，方案设计问题． （1）方案一：买10件A，送10件B，还需买件B，然后求出总费用即可；方案二：总费用即可得出结果； （2）根据题意列出代数式，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， （元） 答：选用方案1更划算，能便宜40元； （2）解：方案1：， 方案2：， 由题意得， 解得， 答：购买A商品5件时，两种方案的花费相同． 十三、隧道或过桥问题（共4小题） 47．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道需要秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是秒，则这列火车长 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出合适的未知数、正确列出一元一次方程是解答本题的关键． 设这列火车长米，然后根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：解：设这列火车长米， 由题意可得：， 解得． 故答案为：． 48．（24-25七年级上·广东珠海·期中）（1）【知识准备】爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图，他发现将火车在数轴上水平移动，则当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：单位长度）．由此可得移动前点处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写出结果） （2）【问题探究】如果火车正前方个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置匀速出发到完全驶离“隧道”恰好用t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则“隧道”的长为个单位．（用含t的代数式表示） （3）【拓展延伸】他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图，在（）的条件下，数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合．两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上同时移动，已知火车速度个单位秒，火车速度为个单位秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的处与处相距个单位？ 【答案】（1）12，6；（2）；（3）或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离． （1）根据题意，画出图形，求出三个玩具火车的长为，即可解答； （2）根据题意可得：，，设的长为m，根据题意得出，即可解答； （3）根据题意得出点C移动后对应的点为，点A所对应的点为，然后进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为， 则一个玩具火车长为． ∴点A处的数字是， 故答案为：12，6； （2）根据题意可得：，， 设的长为m， ∴， 整理得：． 故答案为：； （3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12， ∴点C移动后对应的点为，点A所对应的点为， 由题意可知，或， 解得：或， ∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位． 49．（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 【答案】；； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键在于找到等量关系列出方程． 根据速度=路程时间表示出动车的平均速度，再根据平均速度不变即可列出方程； 【详解】解：设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程x米， ∴动车的平均速度可表示为米/秒． ∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米， ∴动车的平均速度还可以表示为． ∵火车的平均速度不变， ∴可列方程：． 故答案为：；；． 50．（23-24七年级上·广东深圳·期末）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案） （2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可） （3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？ 【答案】（1）12，6；（2）；（3）或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离． （1）根据题意，画出图形，求出三个玩具火车的长为，即可解答； （2）根据题意可得：，，设的长为m，根据题意得出，即可解答； （3）根据题意得出点C移动后对应的点为，点A所对应的点为，然后进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为， 则一个玩具火车长为． ∴点A处的数字是，， 故答案为：12，6； （2）根据题意可得：，， 设的长为m， ∴， 整理得：． 故答案为：； （3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12， ∴点C移动后对应的点为，点A所对应的点为， 由题意可知，或， 解得：或， ∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位． $$