专题5-1 一元一次方程及解法（考题猜想，易错必刷44题12种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题5-1 一元一次方程及方程的解（易错必刷44题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 方程及一元一次方程定义 · 方程的解 · 列方程 · 等式的性质 · 解一元一次方程 · 方程的同解问题 · 方程的错解问题 · 方程的整数解 · 方程中无关型问题 · 换元法解一元一次方程 · 含绝对值的一元一次方程 · 新定义一元一次方程问题 · 一．方程及一元一次方程定义（共4小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习） 已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值． 二、方程的解（共4小题） 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 三、列方程（共4小题） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 12．（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 四、等式的性质（共4小题） 13．（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的基本性质可变形为，则必符合条件（   ） A． B． C． D．为任意有理数或整式 五、解一元一次方程（共3小题） 17．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程： (1) (2) 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 六、方程同解问题（共4小题） 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 21．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）当k取何值时，关于x的方程和的解相同？ 七、方程错解问题（共4小题） 24．（23-24七年级下·福建泉州·期中）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是 ． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）小娟在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则m的值为 ，原方程的正确解为 ． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 八、方程的整数解（共3小题） 28．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 29．（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 30．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）设k为整数，且关于x的方程的解为自然数，则k的值为 ． 九、方程中无关型问题（共3小题） 31．（24-25七年级上·广东梅州·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 32．（24-25七年级上·广东韶关·期中）规定一种新运算：．如．若的值与的取值无关，则的值为 ． 33．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 十、换元法解一元一次方程（共3小题） 34．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 35．（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程． 36．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 十一、含绝对值的一元一次方程（共4小题） 37．（23-24七年级下·河南周口·期中）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 38．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 39．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 十二、新定义一元一次方程问题（共4小题） 41．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 42．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 43．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 44．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． $$专题5-1 一元一次方程及方程的解（易错必刷44题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 方程及一元一次方程定义 · 方程的解 · 列方程 · 等式的性质 · 解一元一次方程 · 方程的同解问题 · 方程的错解问题 · 方程的整数解 · 方程中无关型问题 · 换元法解一元一次方程 · 含绝对值的一元一次方程 · 新定义一元一次方程问题 · 一．方程及一元一次方程定义（共4小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：是一元一次方程，故①符合题意； 含有两个未知数，不是一元一次方程，故②不符合题意； 是一元一次方程，故③符合题意； 未知数的最高次数为，不是一元一次方程，故④不符合题意； 是一元一次方程，故⑤符合题意； 等号左边是分式，不是一元一次方程，故⑥不符合题意； 故选：A 2．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习） 已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值．熟练掌握一元一次方程的定义，绝对值是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得，， ∴， ∴k的值为． 二、方程的解（共4小题） 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 7．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解， ， ． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：． 三、列方程（共4小题） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式和列方程，正确理解题意列出对应的式子或方程是解题的关键． 【详解】解：A、a与5的和的3倍可以列式为，不能得到方程，不符合题意； B、甲数的3倍与乙数的2倍的和可以列式为（a、b分别代表甲、乙），不能得到方程，不符合题意； C、a与b的差的可以列式为，不能得到方程，不符合题意； D、一个数的5倍是18可以列式为（m代表这个数），能得到方程，符合题意； 故选：D． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据x与6的和的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 12．（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【点睛】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 四、等式的性质（共4小题） 13．（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质判断即可．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A．如果，那么两边同时加得，故本选项不符合题意； B．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； C．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； D．如果，那么两边同时减得，故本选项符合题意． 故选：D． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断． 【详解】A、等式两边同时减去得：，原变形正确，故选项不符合题意； B、等式两边同时加上得：，原变形正确，故选项不符合题意； C、等式两边同时乘以得：，原变形错误，故选项符合题意； D、等式两边同时除以得：，原变形正确，故选项不符合题意； 故选：C． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故正确，不符合题意； 、若，可知，根据等式的性质，有，故正确，不符合题意； 、若，因为，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、如果，那么，当时，，当时，x不一定等于y，故错误，符合题意． 故选：D． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的基本性质可变形为，则必符合条件（   ） A． B． C． D．为任意有理数或整式 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质判断即可． 【详解】解：如果，那么等式两边同时加可得， ∵， ∴，即， 故选：B． 五、解一元一次方程（共3小题） 17．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； （2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； 【详解】（1） 去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （2）． 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 六、方程同解问题（共4小题） 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【详解】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 21．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键．先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得： 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，进而根据题意得到是方程的解，把代入方程中求出，再把代入方程中进行求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∴方程即为方程， 解得． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）当k取何值时，关于x的方程和的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于的方程，解关于的方程即可得答案． 【详解】解：解得， 把代入，得 ， 解得， 故当时，关于的方程和的解相同． 七、方程错解问题（共4小题） 24．（23-24七年级下·福建泉州·期中）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的错解问题．把代入，可得，再把把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ，解得：， 把代入，得： ， 解得：． 故选：C 25．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值． 【详解】解：设☆代表一个有理数为a， 根据题意，， 解得，即☆代表10， ∴； 故答案为：． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）小娟在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则m的值为 ，原方程的正确解为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入方程，整理即可求出m的值；将m的值代入方程即可求出正确的解． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：； 把代入方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则方程的正确解为， 故答案为：1，2． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 方程右边的项没有乘，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，求得的值，然后把的值代入中，最后解方程即可． 【详解】解：方程右边的项没有乘，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：， 方程为， 去分母，得， 解得：， 故答案为：，． 八、方程的整数解（共3小题） 28．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【详解】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 29．（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 30．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）设k为整数，且关于x的方程的解为自然数，则k的值为 ． 【答案】或0或2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知方程的解的定义是解题的关键． 先求出一元一次方程的解，再根据其解为自然数即可求出整数k的值． 【详解】解：， ， ， ∵k为整数，且关于x的方程的解为自然数， ∴或或， 解得或0或2， 故答案为：或0或2． 九、方程中无关型问题（共3小题） 31．（24-25七年级上·广东梅州·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先把，代入化简，可得，再根据无论取何值时，恒成立，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵无论取何值时，恒成立， ∴， 解得：． 故选：D． 32．（24-25七年级上·广东韶关·期中）规定一种新运算：．如．若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新运算，解决本题的关键是根据新运算规定的形式，把新运算转化为我们的常规运算，得到，根据新运算的值与无关可知，解关于的方程求出的值，再把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 又的值与的值无关， ， 解得：， ． 故答案为： ． 33．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．首先把根代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件求出a、b的值，最后求出结果即可． 【详解】解：把代入原方程并整理得， 整理得：， 要使等式不论k取什么数均成立，只有， 解得：，， ∴． 故答案为：． 十、换元法解一元一次方程（共3小题） 34．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【答案】(1)， (2)换元思想（整体思想） (3) 【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键． （1）解出方程得到的值，进而得到的值即可； （2）解题方法用到了换元思想； （3）设，将原方程换成的方程，解出方程得到的值，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，解得， 故答案为：，． （2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想． 故答案为：换元思想（整体思想）． （3）设，原方程变形为：， ， ， ， ， ∴， ∴． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 36．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 十一、含绝对值的一元一次方程（共4小题） 37．（23-24七年级下·河南周口·期中）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，得到或，分别解一元一次方程，即可求解， 本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 38．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 39．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用解方程的步骤和方法正确解答． 按照根据绝对值意义先去括号，再解一元一次方程的步骤和方法解方程即可． 【详解】解：， ∴或， 解得或． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 十二、新定义一元一次方程问题（共4小题） 41．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解． 【详解】解： ， ， 又 为奇异方程， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 42．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）∵是“差解方程”， ， ； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 43．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 44．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． $$