专题1-1 有理数（考题猜想，易错必刷46题14种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题1-1 有理数（易错必刷46题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数的概念 · 有理数的分类 · 数轴的画法及应用 · 数轴上的点用来表示数 · 数轴上中点的规律问题 · 相反数的概念 · 相反数的应用 · 绝对值的概念 · 绝对值的化简 · 绝对值的非负性 · 绝对值的几何意义 · 有理数的大小比较 · 数轴上的动点问题 一．正数和负数（共4小题） 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）在，0，，4这些数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数中的负数，正数前带有“”号的是负数；根据负数的含义即可求解． 【详解】解：根据负数的含义知：是负数； 故选：A． 2．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）下列各数中，、、、、、、其中负数有几个？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数和正数的定义，化简多重符号，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先化简多重符号，再根据负数的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是正数，、、、、是负数，共个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）一种食品的质量标识为“”克，则下列食品标识中合格的是（   ） A．150.30 B．150.51 C．149.70 D．149.80 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，用加法计算出这种食品的质量的最大值，用减法计算出这种食品的质量的最小值，最后根据在范围内的质量进行选择． 【详解】解：（克）； （克）； ； 故选：D． 4．（24-25七年级上·四川达州·期中）如果股票指数上涨60点记作，那么股票指数下跌30点记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若股票指数上涨用正数表示，那么股票指数下跌就用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：如果股票指数上涨60点记作，那么股票指数下跌30点记作， 故答案为：． 二、有理数的概念（共4小题） 5．（24-25七年级上·重庆江津·期中）在，，，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类，关键是熟悉有理数是有限小数或无限循环小数．根据整数和分数统称为有理数，分数包含有限小数和无限循环小数即可解答． 【详解】解：在，，，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，， ， 共5个， ，（每两个4之间依次多1个0）不是有理数， 故选：C． 6．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在，3.14，，，π中，有理数的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题考查了有理数．整数和分数统称为有理数，根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，3.14，，，π中，，3.14，，是有理数，共4个， 故选：B． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A．有最小的正有理数 B．有最小的负有理数 C．有最大的负整数 D．有最小的整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数与分数统称为有理数；根据有理数的概念及分类进行判断即可． 【详解】解：A、没有最小的正有理数，故说法错误； B、没有最小的负有理数，故说法错误； C、有最大的负整数，是，故说法正确； D、整数包括正整数、零及负整数，没有最小的整数，故说法错误； 故选：C． 三、有理数的分类（共3小题） 8．（24-25七年级上·重庆江津·期中）有下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．零是最小的有理数 C．一定是负数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握有理数的几种分类方法是解题的关键． 有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，正数大于0，0大于负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、一个有理数不是正数就是负数或者0，原说法错误，不符合题意； B、零不是最小的有理数，例如负数就比0小，原说法错误，不符合题意； C、不一定是负数，例如当时，不是负数，原说法错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：． 正分数集合：______； 整数集合：______； 正有理数集合：______． 【答案】；； 【分析】本题考查有理数的分类，分别根据正分数、整数、正有理数的定义进行分类即可 【详解】解：正分数集合：； 整数集合：； 正有理数集合：． 故答案为：；；． 10．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： ， ，0，，， ，，． 正数集合{___________________...}； 负数集合{___________________...}； 整数集合{___________________...}； 分数集合{___________________...}； 非负有理数集合{________________...}． 【答案】，，；，，，；，0，；，，，；0，，． 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数，绝对值，按照正负数，整数，分数，非负有理数的分类方法分类即可． 【详解】解：化简得：，， 正数集合{，，}； 负数集合{，，，}； 整数集合{，0，}； 分数集合{，，，}； 非负有理数集合{0，，}． 四、数轴的画法及应用（共3小题） 11．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画数轴，熟练掌握数轴有三要素：原点，单位长度和正方向，根据三要素进行判断即可． 【详解】解：A、没有原点，故A不符合题意； B、单位长度不统一，故B不符合题意； C、没有正方向，故C不符合题意； D、所画数轴正确，故D符合题意 故选：D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 13．（23-24七年级上·广西来宾·阶段练习）一条东西走向的大道上，由西向东依次坐落着甲、乙、丙、丁四个村庄，其中甲、乙相距千米，甲、丙相距千米，乙、丁相距千米，若以乙村庄为原点，向东为正方向，千米为单位长度． (1)将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来； (2)比较甲、乙、丙、丁四个点表示的数的大小，并用小于号连接； (3)若改为以丙村为原点，向西为正方向，其他条件不变，试将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意画出数轴，结合各村庄之间的距离在数轴上进行表示即可； （2）结合数轴比较大小即可； （3）根据题意画出数轴，结合各村庄之间的距离在数轴上进行表示，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵甲、乙相距3千米，甲、丙相距5千米，乙、丁相距4千米， ∴乙、丙相距2千米，丙、丁相距2千米， ∴四个村庄所处的位置如图；    （2）由数轴上左边的数小于右边的数得； （3）以丙村为原点，向南为正方向，四个村庄所处的位置如图所示．    【点睛】本题考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握有理数与数轴的关系是解题的关键． ． 五、数轴上的点用来表示数（共4小题） 14．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点到原点的距离为6，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，分点A在原点左边和右边两种情况求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点A到原点的距离是6， ∴当点A在原点左边时，点A表示的数为；当点A在原点右边时，点A表示的数为6； 综上所述，点A表示的数为， 故答案为：． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，在数轴上A点表示的数为，B点表示的数为6，点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，且，则 ．    【答案】4 【分析】本题考查数轴上点表示的数，求出C、D表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上A点表示的数为，点C在点A的右侧，， ∴C表示的数为， ∵B点表示的数为6，点D在点B的左侧，， ∴D表示的数为， ∴， 故答案为：4． 16．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，掌握相关结论即可． （1）由数轴可知：点B所表示的数是；根据，可得点C所表示的数是； （2）由题意得点A所表示的数是，则点B所表示的数是，可求出点C所表示的数是；即可求解； （3）由题意得点C所表示的数是或，分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵点A所表示的数是， 由数轴可知：点B所表示的数是； ∵， ∴点C所表示的数是； 故答案为：，； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴点A所表示的数是，则点B所表示的数是，点C所表示的数是； ， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上点C到原点的距离为4， ∴点C所表示的数是或； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 综上所述，p的值为或． 17．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）数轴上线段的长度可以用线段右端点表示的数减去线段的左端点表示的数得到，如图，线段，线段，线段． (1)数轴上点、表示的数分别为和1，则线段_________． (2)数轴上点表示的数为，线段，那么点表示的数为_________． (3)数轴上的两个点、之间的距离为6，如果点到原点的距离为4，点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据数轴上两点距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点距离公式计算即可； （3）根据点到原点的距离，得到点表示的数，再根据数轴上两点距离公式，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：数轴上点表示的数为，线段，则点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：点到原点的距离为4， 点表示的数为或， 数轴上的两个点、之间的距离为6，点表示的数为， 当点表示的数为时，点表示的数为或； 当点表示的数为时，点表示的数为或； 的值为或或或． 六、数轴上中点的规律问题（共3小题） 18．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数在数轴上表示和计算，熟练掌握中点的性质和实数在数轴上的计算是解题的关键．首先可以求出线段的长度，然后利用中点的性质即可解答． 【详解】解：表示2，的对应点分别为，， ， 点是的中点， ， 点表示的数是， 故选：B． 19．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （） ；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 20．（24-25七年级上·全国·期中）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1)， (2) 或或 【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题； （1）由线段关系可求，，即可求解； （2）分类讨论：当在的左边时，当在、之间时，当在之间右边时，即可求解； 当、在的左边，且在的左边，由线段的中点得，，由线段和差得 ，由，即可求解； 、其它不同位置情况同理可求； 掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ， 点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案：，； （2）解： ，理由如下： 如图，当在的左边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在、之间时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在之间右边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 综上所述：； 第一种情况，如图，当、在的左边，且在的左边， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，，则， ； ； 第二种情况，如图，当、在的左边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ； 第三种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第四种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第五种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，，则， ∴ ； 第六种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 综上所述，或或． 七、相反数的概念（共3小题） 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）如图，数轴的单位长度为请回答问题： （1）如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是 ； （2）如果点，表示的数互为相反数，那么点，表示的数分别是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查用数轴表示有理数，相反数： （1）根据点，表示的数互为相反数，确定原点的位置，进而确定点表示的数即可； （2）根据点，表示的数互为相反数，确定原点的位置，进而确定点，表示的数即可． 【详解】解：（1）∵点，表示的数互为相反数， ∴点，的中点表示原点的位置，如图： ∴点表示的数是； 故答案为：； （2）∵点，表示的数互为相反数， ∴点，的中点表示原点的位置，如图： ∴点，表示的数分别是， 故答案为：，． 八、相反数的应用（共3小题） 24．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）若与互为相反数，则与的和是 ． 【答案】 【分析】互为相反数的两个数和为，直接联立等式，使(，得到与的和 【详解】解：与互为相反数， ， 即， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相反数的概念，务必清楚互为相反数的两个数和为． 25．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则 ． 【答案】0 【分析】a的相反数是最大的负整数，则， b的相反数是最小的正整数，则，代入计算即可． 【详解】∵a的相反数是最大的负整数， ∴， ∵b的相反数是最小的正整数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的性质，最大的负整数是，最小的正整数是1，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 26．（22-23七年级上·四川广元·阶段练习）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】的值为 【分析】分别求出两方程的解，由两个解互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：解方程得， ， ， 解方程得， ， ， ， 两个方程的解互为相反数， ， 解得：， 的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，相反数的应用，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 九、绝对值的概念（共3小题） 27．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得解． 【详解】解：的绝对值是2024， 故选：C． 28．（24-25七年级上·山东青岛·期中）有理数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，这四个有理数中绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据数轴上表示某个数的点与原点的距离的大小确定结论，解题的关键是正确理解绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 【详解】解：由数轴可知：有理数在数轴上的对应点到原点的距离最小， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 29．（24-25七年级上·上海·期中）如果，那么 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，先得到或，解方程得到或，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴或， 故答案为：0或2． 十、绝对值的化简（共3小题） 30．（24-25七年级上·山东济宁·期中）若m满足方程，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值．熟练掌握绝对值意义是解题的关键． 由，根据绝对值意义可得，所以，即可化简求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 31．（23-24七年级上·内蒙古·阶段练习）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，则计算 ．   【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，掌握求绝对值的性质是解题的关键． 根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解． 【详解】解：∵数轴上两点表示的数分别是， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·陕西安康·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握去绝对值的性质，根据数轴，得，，的大小，进行解答，即可． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ， ， ． 十一、绝对值的非负性（共4小题） 33．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 34．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，根据与互为相反数可得，进而得，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 35．（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值． 【详解】∵ ∴，解得： ∴ 故选：A． 36．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【答案】(1)，； (2)6或 【分析】本题主要考查了非负数的性质−绝对值和解一元一次方程等知识点， （1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，； （2）∵， ∴， 由（1）知，， ∴或， 即z的值为6或． 十二、绝对值的几何意义（共3小题） 37．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】105 【分析】利用绝对值的意义判断即可． 【详解】解：表示数轴上一个动点到三个点之间的距离之和， 当时，最小，此时最小值为， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解题的关键． 38．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 39．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【答案】(1)或， (2)这个固定值为5 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质： （1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为， 所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意， 因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以， 故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． 十三、有理数的大小比较（共4小题） 40．（山东省济南市高新区2024—2025学年上学期七年级期中考试数学卷）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．因为，而，所以可得． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 41．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较，绝对值越大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为＞． 42．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：， ∴． 43．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数的点，，，，并用“”排列大小． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查数轴，有理数的大小比较，先根据化简符号的法则，绝对值将各数化简，再画出数轴，然后在数轴上表示各数即可，根据数轴上的点表示的数从左往右越来越大，由此排序即可．解题的关键是掌握：数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【详解】解：，， 在数轴上表示为： 按照大小排序如下： ． 十四、数轴上的动点问题（共3小题） 44．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 45．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或 (2)10 (3)8或12 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，对于（1），分两种情况根据两点间的距离判断即可； 对于（2），先确定点B，再根据两点之间的距离可得点A运动的路程，即可得出运动的时间，进而得出答案； 对于（3），结合（2）分两种情况用两点之间的距离除以速度可得答案． 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为， 所以， 解得或． 故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2， 点A运动了（单位长度）， ∴（秒）， ∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点， 所以A，B之间的距离是； （3）因为， 解得或， ， 所以经过8秒或12秒． 46.（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探索： 若点，在数轴上对应的数分别为，6． (1)，两点之间的距离是________； (2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______； (3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，和数轴上的动点问题． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）先求得秒后点A表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算，然后代入数值即可； （3）先求得t秒后点A和点B表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：，两点之间的距离是， 故答案为：． （2）解：点对应的数为； 2秒后点表示的数为，， ∴2秒后，两点间距离为； 故答案为：；； （3）解：秒后，两点间距离为． $$专题1-1 有理数（易错必刷46题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数的概念 · 有理数的分类 · 数轴的画法及应用 · 数轴上的点用来表示数 · 数轴上中点的规律问题 · 相反数的概念 · 相反数的应用 · 绝对值的概念 · 绝对值的非负性 · 绝对值的化简 · 绝对值的几何意义 · 有理数的大小比较 · 数轴上的动点问题 一．正数和负数（共4小题） 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）在，0，，4这些数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D．4 2．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）下列各数中，、、、、、、其中负数有几个？（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）一种食品的质量标识为“”克，则下列食品标识中合格的是（   ） A．150.30 B．150.51 C．149.70 D．149.80 4．（24-25七年级上·四川达州·期中）如果股票指数上涨60点记作，那么股票指数下跌30点记作 ． 二、有理数的概念（共4小题） 5．（24-25七年级上·重庆江津·期中）在，，，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在，3.14，，，π中，有理数的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A．有最小的正有理数 B．有最小的负有理数 C．有最大的负整数 D．有最小的整数 三、有理数的分类（共3小题） 8．（24-25七年级上·重庆江津·期中）有下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．零是最小的有理数 C．一定是负数 D．整数和分数统称为有理数 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：． 正分数集合：______； 整数集合：______； 正有理数集合：______． 10．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： ， ，0，，， ，，． 正数集合{___________________...}； 负数集合{___________________...}； 整数集合{___________________...}； 分数集合{___________________...}； 非负有理数集合{________________...}． 四、数轴的画法及应用（共3小题） 11．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 13．（23-24七年级上·广西来宾·阶段练习）一条东西走向的大道上，由西向东依次坐落着甲、乙、丙、丁四个村庄，其中甲、乙相距千米，甲、丙相距千米，乙、丁相距千米，若以乙村庄为原点，向东为正方向，千米为单位长度． (1)将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来； (2)比较甲、乙、丙、丁四个点表示的数的大小，并用小于号连接； (3)若改为以丙村为原点，向西为正方向，其他条件不变，试将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来． ． 五、数轴上的点用来表示数（共4小题） 14．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点到原点的距离为6，则点表示的数是 ． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，在数轴上A点表示的数为，B点表示的数为6，点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，且，则 ．    16．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 17．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）数轴上线段的长度可以用线段右端点表示的数减去线段的左端点表示的数得到，如图，线段，线段，线段． (1)数轴上点、表示的数分别为和1，则线段_________． (2)数轴上点表示的数为，线段，那么点表示的数为_________． (3)数轴上的两个点、之间的距离为6，如果点到原点的距离为4，点表示的数为，求的值． 六、数轴上中点的规律问题（共3小题） 18．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 20．（24-25七年级上·全国·期中）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 七、相反数的概念（共3小题） 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 23．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）如图，数轴的单位长度为请回答问题： （1）如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是 ； （2）如果点，表示的数互为相反数，那么点，表示的数分别是 ． 八、相反数的应用（共3小题） 24．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）若与互为相反数，则与的和是 ． 25．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则 ． 26．（22-23七年级上·四川广元·阶段练习）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 九、绝对值的概念（共3小题） 27．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 28．（24-25七年级上·山东青岛·期中）有理数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，这四个有理数中绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·上海·期中）如果，那么 十、绝对值的化简（共3小题） 30．（24-25七年级上·山东济宁·期中）若m满足方程，则等于（　　） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·内蒙古·阶段练习）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，则计算 ．   32．（24-25七年级上·陕西安康·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 十一、绝对值的非负性（共4小题） 33．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 34．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 35．（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 36．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 十二、绝对值的几何意义（共3小题） 37．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 38．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 39．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 十三、有理数的大小比较（共4小题） 40．（山东省济南市高新区2024—2025学年上学期七年级期中考试数学卷）比较大小： （填“”或“”）． 41．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 42．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较与的大小． 43．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数的点，，，，并用“”排列大小． 十四、数轴上的动点问题（共3小题） 44．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 45．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 46.（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探索： 若点，在数轴上对应的数分别为，6． (1)，两点之间的距离是________； (2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______； (3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示） $$