专题训练5-1 一次函数的简单应用-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

一次函数的简单应用专项训练 1．（2024•宁波模拟）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】在图中画出慢车距快车出发地甲的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系图象FG，观察图象即可求解． 【解答】解：在图中画出慢车距快车出发地甲的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图FG所示， 则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为5次． 故选：D． 2．（2024秋•鹿城区校级期中）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①由乙比甲晚出发30min及当x＝50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确； ②观察函数图象，可得出当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，利用路程＝速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86+中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误； ④利用路程＝速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m． 【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x＝50时，y＝0， ∴乙出发50﹣30＝20（min）时，两人第一次相遇， 即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600， ∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min， 根据题意得：， 解得：， ∴86+＝86+＝98， ∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误； ④∵200×（86﹣30）＝11200（m）， ∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 3．（2024春•下城区校级月考）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．则小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km的地方的时间间隔为（　　） A．9分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．15分钟 【分析】两次的时间间隔就是：去乙地时距离甲地5.5千米剩下的路程的时间加上返回时到达距离甲地5.5km时用的时间，根据路程和速度算出时间即可． 【解答】解：由图象知：小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3＝15（km/h），小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5＝10（km/h），小明骑车在下坡路的速度为：15+5＝20（km/h）． ∴小明第一次经过距离甲地5.5km的地方时是上坡，其距离乙地还需骑车：（6.5﹣5.5）÷10＝0.1h， 小明第二次经过距离甲地5.5km的地方时是下坡：（6.5﹣5.5）÷20＝0.05h， 则两次的时间间隔是：0.1+0.05＝0.15h，即9分钟； 故选：A． 4．（2024•宁波模拟）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　4.5　分钟． 【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解． 【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分， 设乙的速度为x米/分， 由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3）， 解得x＝100， ∴乙的速度为100米/分， ∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟， 乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟， ∵甲先出发3分钟， ∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟， 故答案为：4.5． 5．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　24cm2　． 【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s＝6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s＝18s，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可． 【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s）， 这段高度为：14﹣11＝3（cm）， 设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3， 解得x＝5， 即匀速注水的水流速度为5cm3/s； “几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5， 解得a＝6， 所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm）， 设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18）， 解得S＝24， 即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2． 故答案为：24cm2． 6．（2024•柯桥区二模）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据： 一拃长d（cm） 16 17 18 19 身高h（cm） 162 172 182 192 （1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式； （2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？ （3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？ 【分析】（1）设h＝kd+b，用待定系数法可得身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2； （2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170，故他的身高是170cm； （3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2，d＝18.3，故他的一拃长d应是18.3cm． 【解答】解：（1）设h＝kd+b， 把（16，162），（17，172）代入得：， 解得， ∴身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2； （2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170， ∴他的身高是170cm； （3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2， 解得d＝18.3， ∴他的一拃长d应是18.3cm． 7．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　25　km/h，乙的速度是　10　km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　10　，b＝　1.5　； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值； （3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （2）由图可得， a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10；1.5； （3）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x＝， 25﹣10x＝7.5，得x＝； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km． 8．（2023秋•鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160﹣x）千克， 由题意可得：5x+9（160﹣x）＝1000， 解得x＝110， ∴160﹣x＝50， 答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进（160﹣m）千克，获得的利润为w元， 由题意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640， ∴w随m的增大而减小， ∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍， ∴160﹣m≤3m， 解得m≥40， ∴当m＝40时，w取得最大值，此时w＝600，160﹣m＝120， 答：安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元． 9．（2024春•玉环市期末）夏日将至，防暑药开始热销，某药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t的关系如图所示，热销期间为了供应充足，进行一次补货，请根据图象回答： （1）补货在第 　3　天，补货 　52　盒． （2）求补货前该药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并写出t的取值范围． （3）补货后比补货前每天平均销售量增加2盒，求补货后药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并求从销售开始第几天后总存量将不足10盒？ 【分析】（1）根据数形结合思想求解； （2）根据“p＝总量﹣销量”列式求解； （3）先求出补货后的函数解析式，再列不等式求解． 【解答】解：（1）由图象得：补货在第3天，补货100﹣48＝52盒， 故答案为：3，52； （2）补货前每天的销量为：（120﹣48）÷3＝24， ∴p＝﹣24t+120（0≤t≤3）； （3）补货后每天的销量为：24+2＝26，从地天开始， ∴p＝﹣26（t﹣3）+100＝﹣26t+178（3≤t）， 当p＜10时，﹣26t+178＜10， 解得：t＞6， ∴t的最小值为7， 答：从销售开始第7天后总存量将不足10盒． 10．（2024秋•鹿城区校级期中）某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解． （2）①根据用4500元全部购进两类图书可求出函数关系式． ②先求w与x的函数关系式，再根据函数性质求最值． 【解答】解：（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得： ， 解：． 答：A类图书36元/本，B类图书45元/本． （2）①∵用4500元全部购进两类图书， ∴36x+45y＝4500， ∴， ②由题意得：w＝（38﹣36）x+（50﹣45）y ＝ ＝﹣2x+500， ∵x≥60，， ∴60≤x≤125． ∵﹣2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝60时，w最大＝﹣2×60+500＝380（元）， （本）． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元． 11．（2024•诸暨市模拟）某水果店购进甲，乙两种苹果，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）（0≤x≤120）之间的关系如图所示． （1）求乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）若不计损耗等因素，甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元，求乙苹果的销售量． 【分析】（1）利用待定系数法求解并写成分段函数的形式即可； （2）利用待定系数法求出甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式；设乙苹果的销售量为m千克，则甲苹果的销售量为（100﹣m）千克，根据“销售总额＝甲种苹果销售额+乙种苹果销售额”分0≤m≤30、30＜m≤100两种情况列方程并求解即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤30时，设y与x之间的函数解析式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）． 将坐标A（30，750）代入y＝k1x， 得30k1＝750， 解得k1＝25， ∴y＝25x； 当30＜x≤120时，设y与x之间的函数解析式为y＝k2x+b（k2、b为常数，且k2≠0）． 将坐标A（30，750）和B（60，1200）分别代入y＝k2x+b， 得， 解得， ∴y＝15x+300； ∴y与x之间的函数解析式为y＝． （2）设甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）． 将坐标（60，1200）代入y＝kx， 得60k＝1200， 解得k＝20， ∴y＝20x（0≤x≤120）． 设乙苹果的销售量为m千克，则甲苹果的销售量为（100﹣m）千克． 当0≤m≤30时，得25m+20（100﹣m）＝2100，解得m＝20； 当30＜m≤100时，得15m+300+20（100﹣m）＝2100，解得m＝40； ∴乙苹果的销售量是20千克或40千克． 12．（2024春•台州期中）如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地，甲、乙两车离C地距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示． （1）甲车的速度为 　60　千米/时，乙车的速度为 　75　千米/时； （2）点M的坐标是 　（1.2，0）　，表示的实际意义是 　乙车行驶1.2小时到达C地　； （3）在图2中补全甲车离C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象； （4）何时两车离C地的距离相等？并指出此时乙车的具体位置． 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”分别计算甲、乙两车的速度即可； （2）根据“时间＝路程÷速度”计算出乙车到达C地的时间，即M的值，由此可知点M的坐标和意义； （3）根据“时间＝路程÷速度”求出甲车从A地到达B地所用的时间，此时甲车距C地90千米，由此补全其函数图象即可； （4）利用待定系数法分别求出当1≤x≤2.5时甲车离C地距离y1与行驶时间x的函数关系式和当0≤x≤1.2时，乙车离C地距离y2与行驶时间x的函数关系式，求出它们的交点坐标，并求出乙车距A地的距离；当x＝2时，两车离C地的距离也相等，此时乙到达A地． 【解答】解：（1）甲车的速度为60÷1＝60（千米/时），乙车的速度为（90+60）÷2＝75（千米/时）． 故答案为：60，75． （2）乙车到达C地所用的时间是90÷75＝1.2（时）， ∴点M的坐标是（1.2，0），表示的意思是乙车行驶1.2小时到达C地． 故答案为：（1.2，0），乙车行驶1.2小时到达C地． （3）甲到达B地所用的时间为（60+90）÷60＝2.5（时）， ∴补全甲车离C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象如图所示： （4）当1≤x≤2.5时，设甲车离C地距离y1与行驶时间x的函数关系式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将坐标（1，0）和（2.5，90）分别代入y1＝k1x+b1， 得， 解得， ∴y1＝60x﹣60； 当0≤x≤1.2时，设乙车离C地距离y2与行驶时间x的函数关系式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）． 将坐标（0，90）和（1.2，0）分别代入y2＝k2x+b2， 得， 解得， ∴y2＝﹣75x+90． 当两车离C地的距离相等时，得y1＝y2，即60x﹣60＝﹣75x+90， 解得x＝，此时乙车距A地的距离为60+90﹣75×＝（千米）， 当x＝2时，y1＝y2＝60，此时乙到达A地， ∴当时时，两车离C地的距离相等，此时乙车距A地的距离为千米；当2时时，两车离C地的距离相等，此时乙车到达A地． 13．（2024•金华一模）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是35﹣38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温． （1）若先接温水26秒，求再接开水的时间． （2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃． ①若y＝50，求x的值． ②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围． 【分析】（1）设接开水的时间为t秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解； （2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解； ②根据物理知识中等量关系，列出y关于x的函数，根据增减性，即可求解． 【解答】解：（1）设接开水的时间的时间为t秒， 根据题意得：20×26+15t＝700， 解得t＝12， 答：接开水的时间为12秒； （2）①由题意知，温水体积20x ml，开水体积为（700﹣20x）ml， 则20x•（50﹣30）＝（700﹣20x）（100﹣50）， 解得x＝25； ②由①得：20x（y﹣30）＝（700﹣20x）（100﹣y）， 化简，得y＝﹣2x+100， ∵35≤y≤38， ∴31≤x≤32.5， ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+100，达到最佳水温时x的取值范围为31≤x≤32.5． 14．（2023秋•义乌市期末）小亮和小明准备一同从学校出发去科技馆参观．小亮先从学校步行前往，过了12分钟后小明骑自行车同路前往，途经科技馆后小明继续向前骑了一段路到快递点先取了快递，随后加速骑行到科技馆与小亮汇合．已知小明从快递点到科技馆骑行的速度比原来增加了50m/min．如图所示，设小亮步行的时间为x（min），线段OD及折线A﹣B﹣C﹣D分别表示小亮和小明离学校的路程y（m）与时间x（min）的关系图象． （1）求小亮步行的速度及科技馆离学校的距离． （2）求小明骑车从学校到快递点所用的时间及此时与小亮的距离． （3）在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，求小亮步行的时间． 【分析】（1）根据函数图象求出小亮步行的速度，再求出科技馆离学校的距离； （2）先求出小明骑车速度，然后求出从学校到快递点所用的时间即可；用小明通过的路程减去小亮步行的路程即可得出答案； （3）设在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，小亮步行的时间为tmin，分两种情况：当小亮在小明前方时，当小明在小亮前方时，分别列出方程，求出结果即可． 【解答】解：（1）根据函数图象可知，小亮步行1200米所用时间为16min， ∴小亮步行的速度为1200÷16＝75（m/min）； 科技馆离学校的距离：75×30＝2250（m）； （2）小明骑车的速度为： 1200÷（16﹣12）＝300（m/min）， 小明骑车从学校到快递点所用的时间为： 3300÷300＝11（min）； 此时与小亮的距离为： 3300﹣75×（12+11）＝1575（m）； （3）设在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，小亮步行的时间为tmin， 当小亮在小明前方时，75t﹣300（t﹣12）＝300， 解得：； 当小明在小亮前方时，300（t﹣12）﹣75t＝300， 解得：； 综上分析可知，小亮步行的时间为或． 15．（2023秋•上城区期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm） 2 6 10 14 a 单层部分长度y（cm） 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 【分析】任务1：直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最大值和最小值；当y＝70时求出a的值即可． 任务2：根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，用含x的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将h表示为x的函数的形式即可； 任务3：当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应x的值即可． 【解答】解：任务1：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系． 设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b， 得，解得， ∴y＝﹣2x+120． 将x＝a和y＝70代入y＝﹣2x+120， 得﹣2a+120＝70，解得a＝25； 当背带都为单层部分时，x＝0； 当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0，解得x＝60， ∴x的取值范围是0≤x≤60． 任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， ∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得＝， ∴h＝﹣x+180（0≤x≤60）． 任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0． ∵背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为53.5cm， ∴手到地面的距离为（+53.5）cm，即83.5cm． 设小明爸爸的身高为h cm． ∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm， ∴小明爸爸一条胳膊的长度为cm， ∴h++83.5＝h，解得h＝172， 根据任务2，得172＝﹣x+180，解得x＝， ∴此时双层部分的长度为cm． 16．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【分析】（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据B档比A档快40米/分、C档比B档快40米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），可得方程80a＝3000+160（a﹣40），求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，A档速度为4000÷50＝80（米/分）， 则B档速度为80+40＝120（米/分）， C档速度为120+40＝160（米/分）， 答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分． （2）小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15（分）， 小丽第二段跑步时间为（3000﹣1800）÷120＝10（分）， 小丽第三段跑步时间为（4600﹣3000）÷160＝10（分）， 则小丽两次休息时间的总和为50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分）， 答：小丽两次休息时间的总和为5分钟． （3）∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分）， ∴80a＝3000+160（a﹣40）， ∴a＝42.5． 17．（2024•富阳区一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【分析】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案； （2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可； （3）根据题意列不等式求解． 【解答】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320， 解得a＝4， ∴a的值是4． （2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝﹣x+（4≤x≤10）． 当x＝7时，y＝﹣×7+＝160， ∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人； （3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]×，解得x≥5， 所以至少需同时开放6个售票窗口． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数的简单应用专项训练 1．（2024•宁波模拟）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024秋•鹿城区校级期中）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（2024春•下城区校级月考）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．则小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km的地方的时间间隔为（　　） A．9分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．15分钟 4．（2024•宁波模拟）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　 　分钟． 5．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 6．（2024•柯桥区二模）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据： 一拃长d（cm） 16 17 18 19 身高h（cm） 162 172 182 192 （1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式； （2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？ （3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？ 7．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 　km/h，乙的速度是　 　km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 　，b＝　 　； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 8．（2023秋•鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 9．（2024春•玉环市期末）夏日将至，防暑药开始热销，某药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t的关系如图所示，热销期间为了供应充足，进行一次补货，请根据图象回答： （1）补货在第 　 　天，补货 　 　盒． （2）求补货前该药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并写出t的取值范围． （3）补货后比补货前每天平均销售量增加2盒，求补货后药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并求从销售开始第几天后总存量将不足10盒？ 10．（2024秋•鹿城区校级期中）某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 11．（2024•诸暨市模拟）某水果店购进甲，乙两种苹果，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）（0≤x≤120）之间的关系如图所示． （1）求乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）若不计损耗等因素，甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元，求乙苹果的销售量． 12．（2024春•台州期中）如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地，甲、乙两车离C地距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示． （1）甲车的速度为 　 　千米/时，乙车的速度为 　 　千米/时； （2）点M的坐标是 　 　，表示的实际意义是 　 　； （3）在图2中补全甲车离C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象； （4）何时两车离C地的距离相等？并指出此时乙车的具体位置． 13．（2024•金华一模）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是35﹣38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温． （1）若先接温水26秒，求再接开水的时间． （2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃． ①若y＝50，求x的值． ②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围． 14．（2023秋•义乌市期末）小亮和小明准备一同从学校出发去科技馆参观．小亮先从学校步行前往，过了12分钟后小明骑自行车同路前往，途经科技馆后小明继续向前骑了一段路到快递点先取了快递，随后加速骑行到科技馆与小亮汇合．已知小明从快递点到科技馆骑行的速度比原来增加了50m/min．如图所示，设小亮步行的时间为x（min），线段OD及折线A﹣B﹣C﹣D分别表示小亮和小明离学校的路程y（m）与时间x（min）的关系图象． （1）求小亮步行的速度及科技馆离学校的距离． （2）求小明骑车从学校到快递点所用的时间及此时与小亮的距离． （3）在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，求小亮步行的时间． 15．（2023秋•上城区期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm） 2 6 10 14 a 单层部分长度y（cm） 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 16．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 17．（2024•富阳区一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$