第一章空间向量与立体几何讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量 空间向量和平面向量类似，小写字母加粗就是向量，手写要箭头 1.加法满足平行四边形法则（起点相同，作平行四边形，对角线为和向量）和 三角形法则（首尾相加，以最初的起点为起点，最后的终点为终点） 2.减法：起点相同，终点相连，方向指向被减向量 运算律: a＋b＝b＋a； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 3.数乘：仍为向量 运算律: λ(a＋b)＝λa＋λb ; (λ+μ)a=λa+μa ; λ(μa)＝(λμ)a ★向量共线⇒有倍数关系，即a=λb。 ★A.B.C三点共线⇒，且有公共点A 或者 另有一点O， ★★或者 起点相同，都为O ★向量共面⇒满足平面向量基本定理， p= xa+ yb ★A.B.C.D四点共面⇒ 或者 另有一点O， ★★或者 起点相同都为O，选择填空可直接用，系数和为1 4.数量积：＝||||cos〈，〉 运算律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；a·b＝b·a；a·(b＋c)＝a·b＋a·c 不满足结合律 · 向量垂直：数量积为0. 即 a⊥b⇔a·b＝0 · 向量的模：先求模的平方再开根号 |a|2 ＝a2 把向量分解到已知夹角的各个向量，用分配律分配后求值 · 向量的夹角：cos θ＝ 夹角要求起点相同，尤其是三角形的两边时要注意 5.基底：不共面的3个向量 判断时先判断是否共面，即a= xb+ yc,求得出x，y就共面，不能作为基底，否则能做基底 6. 正交分解：公共起点的两两垂直的单位向量建立空间直角坐标系，向量用分解到每个坐标轴上的坐标表示 p＝(x，y，z) 7.空间直角坐标系 · 空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝. · 可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点. λa＝(λa1，λa2，λa3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 8. 9.坐标形式下的平行、垂直、模长、夹角和上面第4条类似，在将公式套进去即可 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ ★★★10.法向量：与平面垂直的向量，长度不定 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (2) 设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．一般令其中一个量为1，根据等式求另外两个量，千万不要令为0 ★★11.位置关系 建立空间直角坐标系，求出会用到的点的坐标，根据点的坐标求出向量的坐标，求直线的方向向量与平面的法向量判断平行、垂直 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R) l⊥m⇔a·b＝0 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)． α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R) α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0 12.角度问题（向量夹角均带绝对值！！） 1.线线角：设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ 2.线面角：设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ 3．面面角：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 13.距离问题 1.点P到直线AB的距离：连接点和线上一点,则,其中 ， 或,其中, 在AB方向上的投影向量，为直线AB的单位向量。A B P Q 2.点P到平面的距离：连接P和平面上一点，平面的法向量为，则 学科网（北京）股份有限公司 $$