专题2 直线和圆的位置关系（6个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题2 直线和圆的位置关系（6个考点） 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 1．已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 3．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 4．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 5．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为 5 ，那么 x轴与的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 6．已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 7．已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 8．如图，与的边相切干点B，将绕点B顺时针方向旋转得到，使得点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 10．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 11．如图，是的切线，B为切点，连接交圆于点D，其延长线交圆于点C，，则的长度是（        ） A．3 B． C．6 D． 12．如图，内接于⊙，，是⊙的两条切线，若，则等于（    ） A． B． C． D． 13．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 14．如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为（    ） A． B． C．3 D． 15．如图，，是的切线，，为切点，为圆上一定点，，时，的大小和的长分别是（    ） A．，8 B．，8 C．， D．， 16．如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 17．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【考点3 切线的判定】 18．如图，已知是外一点，交于点，，弦，，连接． (1)求的长； (2)求证：是的切线． 19．如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 20．如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线． 21．如图，在中，，点O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，．求证：是的切线． 22．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点．求证：是的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 23．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 24．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 25．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 26．如图，在中，，点是边的中点，点在边上，以点为圆心，为半径画，与边相切于点，过点作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 27．如图，为等腰三角形，，过外一点作垂足为点，交于点，以为直径作，恰好经过点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 28．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为     A．60 B．55 C．45 D．50 29．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 30．如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（　　）    A．5 B．10 C．15 D．20 31．如图，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，若周长为，的周长，则长为（　　）    A． B． C． D． 32．如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（    ） A． B． C． D． 33．如图，的内切圆与，,相切，切点为D,，，若，，则周长为 ． 34．如图，四边形是的外切四边形，若::::，且四边形的周长为，则四边形边长为 ．    【考点6 三角形的内切圆与内心】 35．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A．B．C．D． 36．如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（    ） A．4 B． C． D． 37．如图，点是的内心，若，则 ． 38．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 39．已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为 ．    40．如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是 ．（填代码即可） A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点是三条边的垂直平分线的交点 41．如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为 ． 42．如下图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案： 外接圆的半径______； 的内心与外心的距离______． 43．如图，E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D． (1)求证：； (2)若，求的半径． 44．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 直线和圆的位置关系（6个考点） 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 1．已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆的半径和，圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：∵的直径为，则半径为，圆心到直线的距离为， ∵，即：， ∴直线与的位置关系是相离． 故选：C． 2．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 3．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交， 故选：A． 4．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“时直线与圆相交，时直线与圆相切，时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨论即可得解． 【详解】解：由得， ， 解得，， ∴或． ∵圆心O到直线l的距离， ∴当时，，则直线l与相切， 当时，，则直线l与相交， ∴直线l与的位置关系是相交或相切． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为 5 ，那么 x轴与的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．欲求与x轴的位置关系，关键是求出点A到x轴的距离d再与的半径5比较大小即可． 【详解】解：在直角坐标系内，以为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为， ∵， ∴， ∴与x轴的相离． 故选：B． 6．已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 7．已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【解析】略 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 8．如图，与的边相切干点B，将绕点B顺时针方向旋转得到，使得点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆切线的性质定理、等边三角形的性质和判定，旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等．本题中利用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键． 连接，先证为等边三角形，求出，由与的边相切，可求，利用三角形内角和公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵与的边相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理等知识． 连接，由切线的性质得出，设，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为6． 故选：B． 10．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由垂径定理得出的长． 【详解】连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：C． 11．如图，是的切线，B为切点，连接交圆于点D，其延长线交圆于点C，，则的长度是（        ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】连接，，证明为等边三角形，可得，可得． 【详解】解：连接，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，圆的切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．如图，内接于⊙，，是⊙的两条切线，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线性质，圆周角定理，三角形内角和性质，先连接，，由切线性质得，再由，，则，结合等边对等角以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，， ，是的两条切线， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 13．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题意得出，，，再由等角对等边确定，连接，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：和是的两条切线， ，，， ∵， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：A． 14．如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，连接，，，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据解直角三角形即可得到结论． 【详解】连接，，， 则， 又∵、是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 15．如图，，是的切线，，为切点，为圆上一定点，，时，的大小和的长分别是（    ） A．，8 B．，8 C．， D．， 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质得到，利用四边形内角和计算出，再利用圆周角定理得到，根据切线长定理得到平分，所以，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，是的切线，，为切点， ，， ， ， ， ，是的切线， 平分， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，解直角三角形，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 16．如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 【答案】55 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，掌握切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质可得，进而求出的度数，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 17．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 【考点3 切线的判定】 18．如图，已知是外一点，交于点，，弦，，连接． (1)求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了圆有关性质．熟练掌握垂径定理，等边三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，圆切线的判定，是解决问题的关键． （1）根据垂径定理得到，得到是等边三角形，得到； （2）证明，得到．得到，得到， 即得是的切线． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明： ∵，由（1）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点在上， ∴是的切线． 19．如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出，再由等边对等角得到，结合已知条件证明，即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 20．如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，连接，则，由切线的性质可得，再证明可得，根据切线的判定即可求证，掌握切线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵切于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． 21．如图，在中，，点O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，根据圆周角定理和已知条件证明，再由三角形内角和定理证明，则，据此可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 22．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】如图，连接，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得，再由等弧对等圆心角得到，最后再由三角形内角和定理即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 23．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论； 【详解】（1）证明：如图，连接， 则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线； （2）解： ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识， （1）如图，连接，，证明即可； （2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．如图，在中，，点是边的中点，点在边上，以点为圆心，为半径画，与边相切于点，过点作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，进而得出，再利用平行的性质得到，从而得到，推出平分，最后利用角平分线的性质得到，即可证明结论； （2）根据，可设，则，利用勾股定理求出，得到，，设的半径为，则，，根据得到，即可求出的半径．由勾股定理求出长，继而求出长，由勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：连接，过点作交于点， ，点是边的中点， ， ， ， ， ， 平分， 点在边上，，， ， 是的半径， 是的半径， 是的切线； （2）解： ，， ， 设，则， ， 在中， ， ， ，， 设的半径为，则，， ，， ， ， ， ． 如图连接， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键． 27．如图，为等腰三角形，，过外一点作垂足为点，交于点，以为直径作，恰好经过点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由题意得，根据等腰三角形的性质，，即可证得，根据切线的判定即可证得结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，过点作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ，， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 28．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为     A．60 B．55 C．45 D．50 【答案】D 【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：D． 29．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 30．如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（　　）    A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线长定理是解决问题的关键．根据切线长定理得到，，，然后利用三角形周长的定义和等线段代换得到的周长． 【详解】解：，分别切于、，切于点， ，，， 的周长． 故选：B 31．如图，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，若周长为，的周长，则长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得和的长， 根据切线定理得，，，，，然后根据的周长求出和的长，再根据的周长从而求得． 【详解】如图：圆O是的内切圆，    圆O的切线与、相交于点M、N， ，，，，， ， 周长为， ，即， ， 的周长， ，即， ， ， 故选：C 32．如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，延长交于点，由切线长定理及切线性质得，，，，，，，从而得，证明四边形是矩形，得，进而得，，，在中利用勾股定理得，最后利用正切的定义即可得解． 【详解】解：连接，延长交于点， ∵，切于，两点，切于点，交，于，， ∴，，，，，，， ∴的周长， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得，， ∵，，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，矩形的判定及相知，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 33．如图，的内切圆与，,相切，切点为D,，，若，，则周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理即可得解，，从而利用三角形的周长公式即可得解． 【详解】∵的内切圆与，,相切，切点为D，，， ∴，， 设，则，， ∴的周长= 故答案为： 34．如图，四边形是的外切四边形，若::::，且四边形的周长为，则四边形边长为 ．    【答案】20 【分析】本题考查了切线长定理，利用圆的外切四边形的对边之和相等得到，设，，，则，所以，接着利用四边形的周长为得到，然后解方程求出，从而得到的长． 【详解】四边形是的外切四边形，    ∴， ∴， 即， ：：：：， 设，，， ， ， 四边形的周长为， ， 解得， ． 故答案为：． 【考点6 三角形的内切圆与内心】 35．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的内心为三角形的三条角平分线的交点， ∴可以成功找到内心的是： 故选B． 36．如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，连接，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，证明，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出的高，进而求出的面积，再利用的面积等于的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可． 【详解】解：延长交于点，连接，交于点， 则：， ∵I是内心， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， 则：， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵I是内心， ∴， ∴， 如图2：过点作，连接，设，则：， 则：， 即：， 解得：， ∴； ∴ 设的半径为 则： ∴， 即：， 解得：； 故选A． 【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心．熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线，是解题的关键．同时考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及切线长定理．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求较高． 37．如图，点是的内心，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的定义得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 点I是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 38．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 39．已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为 ．    【答案】/ 【分析】连接，，通过证明得到，求得线段，利用三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得的长，再利用三角形的外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，则． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴，分别为，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的关键． 40．如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是 ．（填代码即可） A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点是三条边的垂直平分线的交点 【答案】ACD 【分析】根据三角形内切圆和外接圆的性质逐一判断即可． 【详解】解： A、∵的内切圆圆心为O， ∴点O是三条角平分线的交点， 以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分线，所以射线一定过点O，说法正确，故此选项符合题意； B、∵都在上， ∴是的外接圆， ∴点O是三条边的垂直平分线的交点，故此选项不符合题意； C、当是等边三角形时，则， ∵与相切于点D， ∴， ∴三点共线， ∴点D是的中点， 同理点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，故此选项符合题意； D、∵都在上， ∴是的外接圆， ∴点O是三条边的垂直平分线的交点，故此选项符合题意； 故答案为：ACD． 【点睛】本题考查了三角形内切圆和外接圆的特点和性质，三角形中位线定理，解题的关键是能与其它知识联系起来，加以证明选项的正确． 41．如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到，，，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，从而得到，然后利用为等腰直角三角形得到，，从而得到． 【详解】解：连接与交于P点，则它们的交点为O点， 如图， ∵正方形和等边都内接于圆O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形和正方形的性质． 42．如下图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案： 外接圆的半径______； 的内心与外心的距离______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（）利用三角形内角和定理及等腰三角形的 性质求出，证明平分即可求证； （）利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，进而求出，再利用面积法求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分， ∴点是的内心； （2）解：连接，则，， ∵， ∴点共线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的内切和外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 43．如图，E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合运用，理解三角形内心的含义，掌握垂径定理的运用是解题的关键， （1）连接，根据三角形中点是内心可得，根据三角形外角的性质，等角对等边的性质可得，由此即可求解； （2）连接交于点F，连接，由角平分线的性质可得，垂直平分，在中，，设的半径为r，则，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分平分， ， 又， ， ， ，， ， ； （2）解：连接交于点F，连接， ， ， 垂直平分， ， ，在中，， 设的半径为r，则， ， 解得， 的半径为． 44．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$