专题2 直线与圆的位置关系（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2 直线与圆的位置关系 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【变式1-2】已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式1-3】已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（　　） A．4 B． C． D．3 【变式2-1】如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【变式2-3】如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【考点3 切线的判定】 【典例3】如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【变式3-1】如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．    【变式3-2】如图，内接于，是的直径，．点E在延长线上，．过点E作，交的延长线于点D．求证：是的切线．    【变式3-3】如图，是的直径，D为上的一点，平分交于点T，过点T作的垂线交的延长线于点C，求证：为的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【典例4】如图，在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【变式4-1】如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 【变式4-2】如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式4-3】如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)求证：是切线； (3)连接交于点F，若，，求的长． 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【典例5】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【变式5-1】如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【变式5-2】如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【变式5-3】以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【变式6-1】如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 【变式6-2】如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于 ． 【变式6-3】如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【变式6-4】如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式6-5】如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 1．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是切线，交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 5．如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弧所对的圆周角相等 7．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 9．如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 11．如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（　　） A． B． C． D．6 12．如图，内接于，切于点B，若，则等于（　　） A． B． C． D． 13．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 14．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为 ． 15．如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为 ． 16．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 17．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 18．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 19．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 20．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证： 是的切线； (2)若，， 求图中阴影部分的面积． 21．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2 直线与圆的位置关系 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． 【变式1-1】已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 【变式1-2】已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：的半径为，，， 即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径， 点在外．点在上， 直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【变式1-3】已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【详解】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：D． 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（　　） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可． 【详解】解：连接OD， ∵MD切⊙O于D， ∴∠ODM＝90°， ∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径， ∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2， 由勾股定理得：MD＝＝＝2， ∵BC⊥AB， ∴BC切⊙O于B， ∵DC切⊙O于D， ∴CD＝BC， 设CD＝CB＝x， 在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2， 即（2+x）2＝62+x2， 解得：x＝2， 即BC＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式2-1】如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得． 【详解】 如图，连接OC， 因为OB=OC， 所以∠OCB=∠OBC=70°， 所以∠BOC=180°-70°-70°=40°， 又因为， 所以∠AOP=∠B=70°， ∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°， 所以在△PAO和△PCO中， ， 所以△PAO≌△PCO（SAS）， 所以∠OCP=∠OAP 因为PA与相切于点A， 所以∠OCP=∠OAP=90°， 所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关键． 【变式2-2】如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，根据是的切线得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：D． 【变式2-3】如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点3 切线的判定】 【典例3】如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． （1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得； （2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵ ∴； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵是半径 ∴为的切线． 【变式3-1】如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．    【答案】见解析 【分析】连接，，由得，根据“”证明，得，即可证明是的切线． 【详解】证明：连接，．    ∵， ∴． ∵是直径， ∴． ∵D是的中点， ∴． 又， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵点C为半径的外端点， ∴是的切线． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】如图，内接于，是的直径，．点E在延长线上，．过点E作，交的延长线于点D．求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定，含直角三角形的性质，过点作于，根据含直角三角形的性质，求得，推出，根据切线的判定定理得到是的切线．正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：过点作于，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则点在上， ∴是的切线． 【变式3-3】如图，是的直径，D为上的一点，平分交于点T，过点T作的垂线交的延长线于点C，求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定，连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可． 【详解】连接， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【典例4】如图，在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）连接，根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明，得到，再根据圆的切线的判定定理即可证明是的切线； （2）设的半径为，则，作于点，则，，可证得四边形是矩形，在中根据勾股定理列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 经过的半径的端点，且， 是的切线． （2）解：如图，设的半径为，则， 作于点，则，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【变式4-1】如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，可得，从而得到，进而得到，即可； （2）连接，作于点G，则，从而得到，，由勾股定理可求出，从而得到，再由，可求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线．    （2）解：连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义结合等边对等角求得，推出，据此即可证明结论成立； （2）作，设的半径为，证明四边形是矩形，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：作，垂足为，    设的半径为，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 【变式4-3】如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)求证：是切线； (3)连接交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （3）根据勾股定理求出，再利用等面积法求出，再证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：以为直径的交于点， ， ； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的斜边的中点， ， ， ， ， 而 ， ， ， 为的切线； （3）解：在中，根据勾股定理得， 为中点，为中点， 为的中位线， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【典例5】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 【变式5-1】如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【详解】解：如图，设与相切于点G，与相切于点H，与相切于点I，与相切于点F， 、、、都和相切， ，，，． ， ． 故答案为：7． 【变式5-2】如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式5-3】以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【变式6-1】如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 【变式6-2】如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 【变式6-4】如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式6-5】如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接，证明是等边三角形，即可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， 点为等边的内心， ， ， 等边三角形的内心与外接圆的圆心重合， 点为的外接圆的圆心， ， 是等边三角形， ， 故选A． 1．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．根据切线的性质得出，由垂径定理可得，然后由勾股定理求得的长，继而可求得的长． 【详解】解：∵弦与小圆相切于点， ∴， ∴， ∵两个同心圆的半径分别为和， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的切线，三角形内角和定理和外角的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟知圆的切线的性质． 连接，根据切线的性质可得，再根据三角形内角和定理求得，最后利用三角形外角的性质求得答案． 【详解】连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，是的直径，是切线，交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．由圆周角定理得出，根据切线的性质得出，由余角的性质可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ， 是切线， ， ， ． 故选：C 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 5．如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理；设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，设，则，根据勾股定理求得的值，即可得出，连接，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D， 设，则， ， 连接， ． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理及切线的性质，熟练掌握圆的各个性质是解题的关键； 因此此题可根据垂径定理、圆周角的性质及切线的性质可进行求解． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故原说法错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误； C、过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故原说法错误； D、等弧所对的圆周角相等，故原说法正确； 故选D． 7．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为， ， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，连接，由可得，由圆周角定理可得，即得，又由切线的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：．    9．如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由切线的性质得到，进一步求出，由得到，得到，则，由得到，即可求出的度数. 【详解】解：连接，，    ∵与相切于点， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键. 10．如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的定义、圆周角定理和平行线的判定与性质，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，由圆周角定理得，所以，所以，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据切线的性质可得， ， ， ， ， ， 故答案为：A 11．如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】连接、、，根据切线的性质，角平分线的判定定理，平行线的性质可得出是直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质得出 ，再勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ，，分别与相切于点E，F，G三点， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，勾股定理等；掌握切线的性质，平行线的性质以及相似三角形的性质和判定方法是解题的关键． 12．如图，内接于，切于点B，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，由切线的性质求得的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：连接， 切于点B， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 13．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 14．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理及内心，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：的周长为21，， ， 设与的三边、、的切点为、、，切为， ，，，， ， 的周长 ， 故答案为9． 15．如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】作交于点，由切线的性质可知，，进而可证得四边形是矩形，于是有，，因而可得，由切线长定理可得，，于是可得，在中，根据勾股定理即可求出关于的函数表达式． 【详解】解：如图，作交于点， ，分别是的两条切线， ，， 又， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 与相切于点， ，， 则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， 即：， 关于的函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 16．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解： ，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， 四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 17．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 18．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 19．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 20．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证： 是的切线； (2)若，， 求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的判定定理得出，由等边对等角得出，从而得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）由勾股定理求出，由余弦定义求出，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：连接OC， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ∴在中，， ． ∵， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$