专题09 数列的新定义问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题09 数列的新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、定义新概念 2 题型二、定义新运算 3 题型三、定义新性质 4 压轴能力测评（8题） 5 一、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 二、与数列有关的新定义问题的策略 1.通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 【题型一 定义新概念】 一、解答题 1．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列. (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前n项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差. 2．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 3．（24-25高三上·江西赣州·期中）若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 4．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知数列的前项和为，若，其中，，则称为“数列”. (1)若是“数列”，求满足条件的一个； (2)若是“数列”，且，证明：； (3)是否存在等差数列是“数列”？若存在，求出所有满足条件的，并指出取最小值时的通项；若不存在，请说明理由 5．（24-25高二上·福建·期中）定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列. (1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由； (2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列； (3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列. 【题型二 定义新运算】 一、解答题 1．（24-25高三上·重庆·期中）已知，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)若，，，且是无穷数列，求的取值范围； (2)记. ①若，，，求； ②设，，，证明：，使得时，. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为—跳跃数列，记. (1)若数列为—跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值； (2)已知为正整数，数列为—跳跃数列. ①若，求数列的前60项的和; ②求的所有不同值的和. 3．（24-25高三上·广东湛江·期中）若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”. (1)若，求的值构成的集合； (2)若，使得，证明：为整数； (3)若，求的值构成的集合. 【题型三 定义新性质】 一、解答题 1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明： (1)数列为等比数列； (2)数列具有性质. 2．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. (1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质； (2)证明：，且； (3)证明：当时，，，，，成等差数列. 3．（24-25高三上·北京·期中）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质. (1)若，，求可能的值； (2)数列中不存在具有性质的项，求证：是等差数列； (3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，，表示. 5．（24-25高三上·河北邯郸·期中）对于无穷数列，“若存在（、，且），必有”，则称数列具有性质. (1)若数列满足，判断数列是否具有性质？数列是否具有性质？ (2)对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集 (3)已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由. 一、解答题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为. (1)若，，，求的值； (2)定义数列满足：，，2，3，…，m. （i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列； （ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值. 2．（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列． 3．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）在无穷数列中，若，且，则称数列为“数列”，设为“数列”，记的前项和为． (1)，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：中总有一项为1或2． 4．（2023·全国·模拟预测）已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”. (1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由； (2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由； (3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由. 5．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断数列是否具有性质并证明； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若已知数列，求； (2)求不等式的解集； (3)是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 7．（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 8．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数列的新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、定义新概念 2 题型二、定义新运算 10 题型三、定义新性质 14 压轴能力测评（8题） 21 一、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 二、与数列有关的新定义问题的策略 1.通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. . 【题型一 定义新概念】 一、解答题 1．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列. (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前n项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差. 【答案】(1)12 (2) (3)k的最大值是1999，此时公差为 【分析】（1）根据一阶和数列的定义以及，，，的值可计算出，，的值，再根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而解得，，的值，再由定义可求出的值； （2）根据定义和以及可得的通项公式，进而求得的前n项和公式； （3）由和一阶和数列的定义可得，从而可得公差，结合可得正整数k的最大值. 【详解】（1）由题意，得，，， 所以，， 因为是等比数列，所以公比为，由此得，，， 所以，，， 所以，，. （2）设的二阶和数列的前n项和为， 由题意，得，， 所以. （3）因为， 所以，解得. 设数列的公差为d，则， 得， 又因为， 所以，得， 所以k的最大值是1999，此时公差为. 【点睛】关键点点睛：此题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，逻辑推理能力，解题时充分理解新定义，运用新定义，再结合所学知识是解题的关键. 2．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）“等比子列”可能为；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； （2）要使公比最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； （3）要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列， 要使公比最小，则，即， 所以，则，又， 所以，可得. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 3．（24-25高三上·江西赣州·期中）若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】(1) (2)不是“线性可控数列”，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由“线性可控数列”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先求得数列的通项公式，然后结合“线性可控数列”的定义代入计算，即可判断； （3）根据题意，先由“线性可控数列”的定义列出式子，然后分别假设，以及假设，推导出矛盾结论，从而可得，且，即可证明. 【详解】（1）由“线性可控数列”的定义可知，， 解得.因为，所以，即. （2）数列不是“线性可控数列”，理由如下： 令，得. 当时，也符合）， 所以，所以. 要使为“线性可控数列”，则需， 即恒成立. 因为 ，显然不可能恒小于等于零， 所以不能恒成立， 所以数列不是“线性可控数列”. （3）由题可知，且， 则，即.① 假设，得，所以，所以. 因为，所以，所以由①式可得 ，得， 即.② 同理由，得③ 因为，所以，所以，所以. 因为，所以， 所以②式可得， 即，所以，④ 所以②和④式矛盾，所以假设不成立，所以不能同时大于2. 当时，再假设，则由④式， 因为不能大于2，所以，即. 这与第一次的假设又会相矛盾，所以，且 所以当时， ，所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列新定义知识，难度较大，解答本题的关键在于理解清楚“线性可控数列”的定义，然后结合数列的相关知识代入计算求解. 4．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知数列的前项和为，若，其中，，则称为“数列”. (1)若是“数列”，求满足条件的一个； (2)若是“数列”，且，证明：； (3)是否存在等差数列是“数列”？若存在，求出所有满足条件的，并指出取最小值时的通项；若不存在，请说明理由 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)当，，时，；当，时，； 其余情形不存在；取最小值时，. 【分析】（1）直接验证满足条件即可； （2）法一：使用数学归纳法即可证明结论；法二，分和并结合求根公式即可证明； （3）分和讨论，并结合等差数列求和公式即可. 【详解】（1）当时，有，故. 所以是一个“数列”. （2）法一：由于是“数列”，故. 而，故，从而由知. 下面用数学归纳法证明：. 当时，由知，所以. 这表明结论在时成立； 假设当时结论成立，即. 则由知. 所以，即. 这就得到. 假设，则，矛盾. 所以，故. 所以，这表明结论在时成立. 由数学归纳法知对任意正整数成立. 所以由知，故. 法二：由题得， 当时，，解得，结论成立； 当时，，即， 利用求根公式得． 而，所以． 所以． 综上，． （3）假设存在等差数列是“数列”， 设， 则，     代入得，． 若，则，此时，，，即；     若，则，，即， 比较等式两边的次数可知，，即． 此时， 所以，． 所以，． 此时． 综上，当，，时，；当，时，； 其余情形不存在． 当存在时， ①若，，则的最小值为； ②若，则由得，当且仅当时取等． 而 ， 所以当，即时，取到最小值． 综上，最小值为，此时． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“数列”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 5．（24-25高二上·福建·期中）定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列. (1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由； (2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列； (3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列. 【答案】(1)是和谐数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列求和公式以及和谐数列的定义判断可得出结论； （2）根据和谐数列的定义可得出，即，再利用绝对值三角不等式以及和谐数列的定义可证得结论成立； （3）根据和谐数列的定义可知，存在常数、，使得，，推导出，同理：，然后记，，利用绝对值三角不等式证得，结合和谐数列的定义可知结论成立. 【详解】（1）解：是和谐数列， 理由如下：， 上式， 所以，数列是和谐数列. （2）证明：因为是和谐数列，所以存在常数，对任意的， 有， 即. 则 . 所以数列是和谐数列. （3）解：若数列、是和谐数列，则存在常数、， 对任意的，有， ， ， 即，同理：. 因为，所以， 所以. 记，， 则有 ， 所以 ， 所以，数列也是和谐数列. 【点睛】方法点睛：在解决数列新定义的问题时应充分理解数列的概念，善于观察分析数列新定义的结构特征，灵活运用它的性质，善于把陌生的知识点转化为熟悉的知识点，达到解题的目的. 【题型二 定义新运算】 一、解答题 1．（24-25高三上·重庆·期中）已知，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)若，，，且是无穷数列，求的取值范围； (2)记. ①若，，，求； ②设，，，证明：，使得时，. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）分，和讨论即可； （2）①分析得，则，再计算出，最后代入计算即可； ②分和讨论得，则证明原命题. 【详解】（1）若，则不存在，不符合题意， 若，则，从而，符合题意， 若，设， 则不存在，不符合题意， 综上，. （2）①由题意知，且， 从而，即，则， 所以， 由知为偶数， 所以， 则 . ②若，则， 若，则， 又， 从而，且，使得， 此时，对，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用根据数列单调性得到，进而分析出. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为—跳跃数列，记. (1)若数列为—跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值； (2)已知为正整数，数列为—跳跃数列. ①若，求数列的前60项的和; ②求的所有不同值的和. 【答案】(1)7 (2)①12156；② 【分析】（1）根据跳跃数列的定义，由题意取验证可知与题意矛盾，取时符合题意，求出的最大值即可求解. （2）①由题意得数列是周期为11的周期数列，再结合等比数列的前项和公式即可求解； ②的所有不同的值为:，再结合分组求和及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为数列为—跳跃数列，且， 若， 与对任意矛盾； 若，则， 与对任意矛盾； 若，则， 满足对任意， 此时的最大值为， 所以的最小值为3，且时的最大值为7. （2）①时，， ， 数列是周期为11的周期数列， 所以的前60项和为. ②的所有不同的值为:， 所以的所有不同值的和为 因为 ， 所以. 3．（24-25高三上·广东湛江·期中）若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”. (1)若，求的值构成的集合； (2)若，使得，证明：为整数； (3)若，求的值构成的集合. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“收缩性质”逐步求得. （2）根据“收缩性质”，先判断出，都是3的倍数，然后判断出，都是3的倍数，从而得到为整数. （3）先判断出数列具有周期性，判断出数列有最小值，判断出数列的最小值为或，由此进一步确定的值构成的集合. 【详解】（1）当为奇数时，为偶数；， 当为偶数时，， 因为，则为偶数，则， 若为奇数，则，不符合题意， 所以为偶数，则. 若为奇数，则； 若为偶数，则； 所以的值构成的集合为 （2）依题意，为3的倍数（）， 当为奇数时，； 当为偶数时，则为偶数，， 故是3的倍数， 以此类推，，都是3的倍数； 另一方面，当时，由于 当为3的倍数时，可知也是3的倍数， 以此类推，，都是3的倍数， 综上所述，为整数. （3）因为，故数列具有周期性， 由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3. 当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数； 不妨设，则是偶数，， 假设，则，与是最小值矛盾， 综上，只能是小于5的正奇数，即1或3； 当数列中出现1时，后面的项为循环； 当数列中出现3时，后面的项为循环； 所以数列具有周期性时，只能为中某一个数. 经检验，当时，. 【点睛】方法点睛： 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 【题型三 定义新性质】 一、解答题 1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明： (1)数列为等比数列； (2)数列具有性质. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，求出和，求出和的关系即可证明； （2）由（1）求出，求出，设数列即可证明. 【详解】（1）设，则， . 因此数列是首项为，公比为的等比数列，且； （2）由（1），，所以， 取数列，则是等比数列， 并且，因此集合， 所以数列具有性质. 2．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. (1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质； (2)证明：，且； (3)证明：当时，，，，，成等差数列. 【答案】(1)数列不具有性质，数列具有性质； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用数列新定义直接判断即可. （2）由定义知，，证得，再利用累加法求和即可证得结论. （3）由（2）可证得，利用定义知是数列A中的项，可知，即可证得数列是以0为首项，公差为的等差数列． 【详解】（1）由于，，所以数列不具有性质； ；；；；；， 六组数中，每一组至少有一个数属于，所以数列具有性质． （2）由数列具有性质， 则与中至少有一个属于A， 又，，则，于是，即； 由A具有性质可知，， 因此， 即，，，，， 上边n个式子累加得：， 则，所以. （3）由（2）知，，，则， 而不是数列A中的项，则是数列A中的项， 于是，则有， 因此， 所以数列是以0为首项，公差为的等差数列. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 3．（24-25高三上·北京·期中）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 【答案】(1)①具有，②不具有 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义代入计算可得； （2）先证明充分性，依题意可得，即可得到，从而得到，再证必要性，即数列为常数列，根据定义证明即可； （3）首先证明：，然后利用反证法证明：，即可得到，结合即可得解. 【详解】（1）①，对于，，所以数列具有“性质”； ②，对于，， 故，所以数列不具有“性质”． （2）证明：先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为， 所以， 进而有 结合有， 即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有， 即“数列具有“性质”． （3）首先证明：． 因为具有“性质”， 所以． 当时，有． 又因为，且， 所以有，， 进而有， 所以， 结合可得：． 然后利用反证法证明：． 假设数列中存在相邻的两项之差大于3， 即存在满足：或， 进而有 ． 又因为， 所以 依此类推可得：，矛盾， 所以有． 综上有：， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质. (1)若，，求可能的值； (2)数列中不存在具有性质的项，求证：是等差数列； (3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，，表示. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，逐一求出即可； （2）根据题设条件和等差数列的定义即可得证. （3）去除具有性质P的数列中的前三项后，数列的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求即可． 【详解】（1）数列有100项，， 对任意，存在，， 所以若，，则当时，， 当时，，则，或， 当时，，则，或， 或，或， 所以可能的值： （2），，， 当时，，则满足了性质P，矛盾， 当时，，不矛盾，所以， 以此类推，， 当时，分别等于、、、……、，则满足了性质P，矛盾. 所以只能，即，不矛盾，即数列是等差数列， （3）将数列中具有性质P的三项去掉，得到一个新的数列，， 且中没有满足性质P的项， 由（2）可知，数列是等差数列， 所以， 又因为数列中去掉的三项和为c，所以； 【点睛】方法点睛：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 5．（24-25高三上·河北邯郸·期中）对于无穷数列，“若存在（、，且），必有”，则称数列具有性质. (1)若数列满足，判断数列是否具有性质？数列是否具有性质？ (2)对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集 (3)已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)不具有性质，具有性质 (2)证明见解析 (3)存在，证明见解析 【分析】（1）由题意可得，但，所以数列不具有性质，设（、，且），结合条件可得数列具有性质； （2）由性质的含义可得数列中，从第项开始的各项呈现周期性，进而即可证明必为有限集； （3）因为既具有性质，又具有性质，所以存在正整数、，使得，，其中分别是满足上述关系式是最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论即可. 【详解】（1）因为， ，但， 所以数列不具有性质， 设（、，且）， 因为， 必有， 所以数列具有性质. （2）因为数列具有性质， 所以一定存在一组最小的且（、），满足，即， 由性质的含义可得，，，…，，， 所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性：，，…，为一个周期中的各项， 所以数列中最多有个不同的项， 所以最多有个元素，即为有限集. （3）因为数列具有性质，又具有性质， 所以存在正整数、，使得，， 其中分别是满足上述关系式是最小的正整数， 由性质、的含义可得，，， 若，则取，可得； 若，则取，可得， 记，对于，有，，显然， 由性质、的含义可得，，， 所以， ， 所以， 又满足，的最小的正整数， 所以，，，， 所以，， 所以，， 取，若是偶数，则； 若是奇数，则， 所以， 所以，，，…，，…是公差为1的等差数列. 【点睛】本题的关键是对数列递推式的应用，以及推理与论证能力的综合应用，涉及到的知识点有对新定义的理解，属于难题. 一、解答题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为. (1)若，，，求的值； (2)定义数列满足：，，2，3，…，m. （i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列； （ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题干信息可得，即可得答案； （2）（i）注意到，即可证明结论； （ii）由题可得表达式，后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）依题意，又， 所以，即. （2）（i）依题意，则，因此， 从而，即数列是一个项数为的对数等和数列. （ii）依题意，， 即，即， 则， 又，故，即， 此时，即，， 注意到， 所以. 2．（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义可求出的值； （2）令（周期），结合新定义，即可求证； （3）根据定义分别证明充分性和必要性，d为非负整数，是公差为d的等差数列，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【详解】（1），，，． （2）证明：不妨设的周期为， 记，， 则当时，是常数， 记，使得当时，是常数，结论正确． （3）证明：充分性； 若为公差为的等差数列，则 于是，． 因此，      必要性：因为， ，， ，于是，． 因此． 故数列是公差为的等差数列． 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 3．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）在无穷数列中，若，且，则称数列为“数列”，设为“数列”，记的前项和为． (1)，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：中总有一项为1或2． 【答案】(1) (2)18；38； (3)证明见解析 【分析】（1）根据以及数列的递推关系，分类讨论的值分别求解可得； （2）按照递推关系依次求解各项，得到第6项开始的周期规律，再由等差特点求可得； （3）利用反证法先证明：一定存在某个，使得成立，再验证当时，存在某项为或. 【详解】（1）数列满足， ①若，则, 所以不满足，②若，不是完全平方数， 则，也不是完全平方数， 则，所以，满足题意； ③若，不是完全平方数， 则是完全平方数， 则，所以，满足题意； ④若，是完全平方数， 则，不是完全平方数， 则，所以，满足题意； ⑤若，且， 若不是完全平方数，则， 则，则，若是完全平方数， 则，，， 所以；故都不满足题意； 综上，； （2）当时，由不是完全平方数， 则不是完全平方数， 则不是完全平方数， 则不是完全平方数， 则是完全平方数， 则不是完全平方数，， 由递推关系可得中的各项依次为， 即数列从第6项开始每3项是一个周期， 所以，， 当时，， 故是以为首项，为公差的等差数列， 所以时，， 所以,； （3）首先证明：一定存在某个，使得成立， 用反证法证明，假设对每一个，都有， 若是完全平方数时，必有， 若不是完全平方数时，则必存在，使得为完全平方数， 则存在不小于的最小的完全平方数，满足． 即存在，使得，则， 即每一个完全平方项及其后一项递减，如此进行下去，必出现小于或等于4的项， 这与对每一个，都有矛盾， 所以必定存在某个，使得成立， 经检验，当时，中出现1， 当时，中出现2， 当时，，中出现2， 当时，，中出现2， 综上，中总有一项为1或2． 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于按照递推关系依次求解各项，得到第6项开始的周期规律，（3）关键在于利用反证法先证明：一定存在某个，使得成立. 4．（2023·全国·模拟预测）已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”. (1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由； (2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由； (3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)不是“梦想数列”，理由见解析 (2)是“梦想数列”，理由见解析 (3)“梦想数列”是等差数列，理由见解析 【分析】（1）分析条件，可得，对于数列，取两两不等的正整数､､，验证不满足，则不是“梦想数列”； （2）由数列的通项公式可求，从而验证满足，所以是“梦想数列”； （3）先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，得证. 【详解】（1） ，所以， 当时，，， 所以，不是“梦想数列” （2），，， ， 所以，是“梦想数列” （3）①令，，， 所以，，即：､､成等差数列， ②令，，， ， 化简为：， 两式相减得： 所以，，当时也成立. 综上可得，“梦想数列”是等差数列. 5．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断数列是否具有性质并证明； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】(1)分别为5、11 (2)数列具有性质，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据数列数列具有性质可得为等比数列，根据等比数列性质可求得答案； （2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明； （3）求出，可得，进而推出，分n为奇偶数，求出，综合可得答案. 【详解】（1）由题意数列具有性质，为等比数列，设公比为q， 由，得， 又； （2）数列具有性质； 证明：因为， 所以， 则，即为等比数列， 所以数列具有性质. （3）因为，则，， 故，适合该式， 故， 所以由得， 则， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ， 故. 【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题. 6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若已知数列，求； (2)求不等式的解集； (3)是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由已知，可得第二次“和扩充”后得到数列，即可得到； （2）由已知，数列第次“和扩充”后增加的项数为，可得，可得是首项为4，公比为2的等比数列，可得，则，可解得. （3）由已知，可得，进而可得，从而得到结论. 【详解】（1）第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. （3）因为， ， 依次类推，， 故 ， 若使为等差数列，则， 所以存在不全为0的数列，使得数列为等差数列. 【点睛】关键点点睛：小问（2），推出是首项为4，公比为2的等比数列，进而求解；小问（3），推出，利用累加法求和得到，得到结论. 7．（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)2和5为两个质数“理想数” (2)的值为12或18 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 8．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的性质得出，进一步结合的定义即可得解； （2）结合新定义，分必要性、充分性两方面证明即可； （3）由数列的性质，得出4整除，即或，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】（1）依题意，若，此时； 若，此时； 若，此时. （2）必要性：因为，故数列为等差数列， 所以，公差为-1， 所以； 充分性：由于， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以， 所以， 综上所述，“”是“”的充要条件. （3）令，依题意，， 因为， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数； 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或， 当时，比如或，时，有； 当时，比如或，时，有； 当或时，不能被4整除，. 【点睛】关键点点睛：想要完美的做出此题，关键在于对数列的新性质以及的定义有深刻的理解，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$