专题08 数列与不等式及数学归纳法（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题08 数列与不等式及数学归纳法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、数列与不等式 2 题型二、数学归纳法 10 压轴能力测评（10题） 14 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 【题型一 数列与不等式】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先应用对数运算得出，再应用等比数列求和计算求值即可. 【详解】由题得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以，即，故的最大值为9． 故选：A. 2．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及与之间的关系，利用等差数列的前项和公式，结合一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由整理得，． 又为等差数列，则， 故．对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C． 3．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数列的递推关系构造出常数列，再求通项，然后分离参变量，再利用数列的单调性思想，研究不等式成立的条件. 【详解】因为， 所以，所以， 即， 所以数列是常数列，当时，， 所以，即， 因为，所以， 令， 所以 ， 当时，，即， ，，，，， 为了满足不等式有且仅有4个解，则， 此时有，，，. 故选：. 【点睛】方法点睛：通过数列递推关系构造出常数列，不等式恒成立或有解问题要用分离参变量方法，数列的单调性用作差或作商法来研究. 二、解答题 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列和满足，且数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)令，记数列前n项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）首先将条件相加或相减构造，得到数列和的通项公式，即可求解的通项公式，再利用分组转化法求和； （2）方法一和方法二都是由（1）的结果求数列的通项公式，不同形式放缩后，利用裂项相消法求和，即可证明不等式. 【详解】（1）由条件可联立， 两式相加得，即 则数列是以为首项，为公比的等比数列，且通项为① 两式相减得，即 则数列是以为首项，为公差的等差数列，且通项为② 由得 则 （2）方法一：由（1）可知 当时， 当时， 综上，对任意. 方法二：由（1）知， 可得 则 综上，对任意. 5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，当时，. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：.（参考结论：当时，.） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用累加法求通项公式； （2）分和两种情况结合等比数列的前n项和公式证明不等式. 【详解】（1）当时， . 又，因此的通项公式为. （2）由（1）知，因此. 因为，所以当时，. 因为当时，，所以， 此时. 综上，. 6．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式逐项计算可得出、、的值； （2）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （3）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为知数列满足：，且， 由，可得， 由，可得， 由，可得. （2）解：由可得，且， 所以，数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （3）解：设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以，， ， 且数列的前项和为，则数列单调递增，所以，， 因为， 综上所述，对任意，. 7．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）记正项数列的前项积为，已知. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分当时，，当时，，得出是等比数列，求出的通项公式，需要验证当时； （2）求出，表示出，适当利用放缩法证明，事半功倍. 【详解】（1）因为，为正项数列， 当时，则，解得， 当时，则，即， 所以，则，故， ，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 当时，成立， ； （2）， ， ， 当时，，即成立， 当，，则，故， ， ， 故成立. 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用间的关系及等比数列的通项公式求解； （2）由条件求出，利用错位相减法求出，进而可求的取值范围. 【详解】（1）由，令，得，即， 又，得， ， 又，符合上式，则， 则数列是以1为首项，为公比的等比数列， ． （2）由题意得，， 所以①， ②， ②①得 ， ， 不等式对一切正整数恒成立， 即不等式对一切正整数恒成立，， ，， ． 【题型二 数学归纳法】 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 二、解答题 2．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 4．（22-23高二下·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1)，，； (2)猜想数列的通项公式为，证明见解析 【分析】（1）利用递推公式计算可求得，，； （2）猜想，利用数学归纳法可证结论成立. 【详解】（1），， ； （2）猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 5．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）“等比子列”可能为；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； （2）要使公比最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； （3）要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列， 要使公比最小，则，即， 所以，则，又， 所以，可得. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 一、解答题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以. 3．（23-24高三上·河北·期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，设，记为数列的前项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项； （2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式. 【详解】（1）为数列的前项和，， 则有，所以，等比数列的公比为2， 又，所以； （2）证明：由（1）知，，当时，， 所以，所以， 则， 因此． 4．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见详解. 【分析】（1）记数列的公差为，数列的公比为，根据已知列方程组求解即可； （2）根据错位相减法求和，记，判断其单调性即可得证. 【详解】（1）记数列的公差为，数列的公比为，， 由题知，，解得，所以. 由，解得或（舍去），所以. （2）由（1）可知， 则， ， 两式相减得， 所以， 记，则， 所以单调递减，所以，且， 所以，即. 5．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，记数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）根据等比数列定义，将代入化简即可得证； （2）根据（1）中结论求出的通项，进而可得，利用错位相减法求出，然后代入，分离参数得，然后求的最大值即可得解. 【详解】（1）因为 所以，且， 所以，数列是以2为首项和公比的等比数列. （2）由（1）可得，，所以， 所以， 因为①， 所以②， ①-②得， 整理得. 所以， 因为，所以实数的取值范围为. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【分析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【详解】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 7．（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由递推关系，结合等比数列定义证明结论； （2）利用累加法求数列的通项公式； （3）结合证明，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 所以 又， 所以， 所以数列是首项为12，公比为4的等比数列， （2）由（1）可得： 则有；；…， 累加可得： 所以， 又也满足故选， 所以， （3）因为， 所以对于恒成立， 所以对于，恒成立 当时，，即对于恒成立 所以对于恒成立 所以． 【点睛】关键点点睛：本题第三小问结合条件证明，从而利用放缩法，结合等比数列求和公式证明结论. 8．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前项和； (3)设（），数列前项和为，证明：． 【答案】(1)，，猜想：（），证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入计算得出，，并根据递推公式证明即可. （2）根据题意求出通项，再由错位相减法求和即可. （3）将要证不等式进行代入化简得到，再构造相关函数，求导利用函数单调性证明即可. 【详解】（1）由题意可得，， 猜想：（）， 证明：由得，， 所以，即， 所以，且， 数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，故. （2）设， 设的前项和为， ①， ②， ①－②得， ， 所以的前项和为. （3）， ， 要证， 只需证， 即证， 方法一： 设， 只需证明的最大值小于0， 作差得， 构造函数（）， 则， 在上单调递减，所以， 故， 从而，得证． 方法二： 不等式，左边是数列的前项和， 于是将右边看成另一个数列的前项和的形式， 易得， 记， 只需证明，即证， 构造函数证明即可，过程与方法一相同． 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推公式求解通项，求和问题，以及数列不等式的证明.其中，证明数列不等式的关键点是将要证不等式化简得到，并且构造函数（），根据导函数利用函数单调性证明不等式. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列. (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列. 【答案】(1)不是全覆盖数列，是全覆盖数列 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接使用定义验证即可； （2）利用数列的各项都是正整数及，即可得到结论； （3）结合全覆盖数列定义，使用数学归纳法证明即可得． 【详解】（1）对于，有，但该数列不存在和为的子列，故不是全覆盖数列； 对于，有， 由； ； 可知是全覆盖数列； （2）由题知，．若不成立，则，那么与假设矛盾， ∵，即，① 又， ∴， ∴， 由①②得，， ∴， 当时，， 得，命题成立， 此时，当时，成立， 当时，得， 同理可得，， 归纳可得，当时，， 综上可得，命题成立； （3）下面证明，当时，对于任意的， 存在子列，其中，使得， （i）当时，，∴当时，有， 当时，则， ∴．对于任意，命题成立， 或．对于任意，命题成立， （ii）假设当时，命题成立． 即对于任意的正整数，存在子列， 其中，使得， 则当时，对于任意的正整数； ①当正整数时，由假设成立， 存在子列，其中， 使得； ②当正整数时， ∵，∴．若，则此时成立， 若，则， 由假设，存在子列，其中， 使得， 整理得， 此时，即命题成立； 综上，对于任意的，存在子列， 其中，使． ∴数列为全覆盖数列． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中数学归纳法的使用． 10．（2024·广东·一模）已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为k阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为k阶等比数列. (1)已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式； (2)若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列； (3)已知，令的前n项和为，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由新定义得为公差为2，首项为3的等差数列，由等差数列的通项公式求解； （2）设为k阶等差数列，则（d为常数），则为一次多项式，猜测是关于n的k次多项式，用数学归纳法证明即可； （3）设，化简整理得，由裂项相消求和证明结论. 【详解】（1）由，由， 则为公差为2，首项为3的等差数列， 则，则， 则. （2）因为为k阶等差数列，则（d为常数）， 则为一次多项式， 猜测是关于n的k次多项式，下用数学归纳法证明： 当时，显然成立； 假设当时，是关于n的m次多项式， 当时，则是关于n的m次多项式， 由是次多项式，故是关于n的k次多项式， 又是一阶等比，则，则， 由是关于n的k次多项式，则是关于n的次多项式，则是阶等差数列. 故是常数列，故是阶等比数列. （3）由， 设， 则， 故， 则，则， 则，得证！ 【点睛】方法点睛：对于数列的新定义题型，关键是读懂题目的意思，由新的定义来解决问题，一般地关于数列不等式的证明，可以利用放缩法去证明，或转化为数列的求和问题，利用错位相减法，裂项相消法求和证明即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 数列与不等式及数学归纳法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、数列与不等式 2 题型二、数学归纳法 4 压轴能力测评（10题） 5 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 【题型一 数列与不等式】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列和满足，且数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)令，记数列前n项和为，证明：. 5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，当时，. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：.（参考结论：当时，.） 6．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 7．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）记正项数列的前项积为，已知. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，证明：. 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 【题型二 数学归纳法】 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 3．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 4．（22-23高二下·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 5．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 一、解答题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 3．（23-24高三上·河北·期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，设，记为数列的前项和，证明：． 4．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 5．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，记数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 7．（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 8．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前项和； (3)设（），数列前项和为，证明：． 9．（2024高三·全国·专题练习）已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列. (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列. 10．（2024·广东·一模）已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为k阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为k阶等比数列. (1)已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式； (2)若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列； (3)已知，令的前n项和为，，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$