专题突破5-2 一次函数与直角三角形、全等三角形、最值的综合问题（3大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破2：一次函数与直角三角形、全等三角形、几何最值的综合 一、一次函数与直角三角形存在性 1、重要思想：点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式 2、“两定一动型”直角三角形——即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成直角三角形； 解决办法：“两垂一圆” “两垂”：求出经过两定点的直线解析式，过两定点作直线的垂线，与目标直线的交点即为所求的坐标 “一圆”：以两定点组成的线段为直径作圆，与目标直线的交点即为所求 ☆：直线垂直多需用到k1·k2=-1 通用方法：直接利用勾股定理分类求解 二、一次函数与全等三角形结合问题做题要点： ①两三角形有没有用≌符号连结，没有，多需要分类讨论 ②有全等就有对应边相等、对应角相等，所以多在动态环境中抓静态因素 ③和长度结合时，多联想勾股定理 ④审题中注意动点所在的运动轨迹，看是线段、射线、还是直线，不同线型会导致分类的个数不同。 三、最值常结合模型——将军饮马； 1、“两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接； 2、“两定两动型”将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接； 题型一 一次函数与直角三角形的结合 【例1】．（2023秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线 CD：y＝﹣x+与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N的坐标． 【分析】（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+b，求出b＝4，即可得得直线AB：y＝2x+4； （2）求出点C、D、E的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情况讨论，当∠MFN＝90°时，求出∠EFC＝135°，得∠EFO＝45°，得EH＝FH＝2，得点F坐标，进而可得点N的坐标；当∠FMN＝90°时，由翻折得EN＝EC，根据勾股定理得EC＝＝2，则MN＝EN﹣EM＝2﹣2，即可得点N的坐标为（﹣1，2﹣2）． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+b得﹣4+b＝0，， ∴b＝4， ∴直线AB：y＝2x+4； （2）∵直线AB：y＝2x+4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∵直线 CD：y＝﹣x+与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E， 当x＝0时，y＝，当y＝0时，0＝﹣x+，解得x＝3， ∴C（3，0）、D（0，）， 联立y＝﹣x+与y＝2x+4得，解得， ∴E（﹣1，2）， ∴BD＝4﹣＝， ∴S△BDE＝BD×1＝××1＝， ∴△BDE的面积为； （3）如图2，当∠MFN＝90°时，过点E作EH⊥x轴于H， 由翻折得∠EFC＝∠EFN＝（360°﹣90°）＝135°， ∴∠EFO＝135°﹣90°＝45°， ∵E（﹣1，2）， ∴EH＝2，OH＝1， ∴EH＝FH＝2， ∴OF＝FH﹣OH＝2﹣1＝1， ∵C（3，0）， ∴CF＝OC﹣OF＝3﹣1＝2， 由翻折得FN＝CF＝2， ∴点N的坐标为（1，﹣2）； 如图3，当∠FMN＝90°时， 由翻折得EN＝EC， ∵E（﹣1，2），C（3，0）， ∴EM＝2，EC＝＝2， ∴MN＝EN﹣EM＝2﹣2， ∴点N的坐标为（﹣1，2﹣2）； 综上，点N的坐标为（1，﹣2）或（﹣1，2﹣2）． 【变式1-1】．（2023秋•婺城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y＝x于点M．动点D以每秒a个单位的速度从点O沿OA的方向运动，设运动时间为t秒，C点在线段AB上，且C坐标为（）． （1）求点A的坐标和AM的长． （2）当t＝5时，线段CD交OM于点P，且PC＝PD，求a的值． （3）利用（2）的结论，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列）．当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值． 【分析】（1）把y＝0代入解析式即可求得点A，联立两个解析式，再利用勾股顶底即可求解； （2）把t＝5代入点C求出C的坐标，再根据中点坐标公式表示出点P，进而可求解； （3）当CD∥OM时，当CE∥OM时，当DE∥OM时，分三种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A，B， ∴把y＝0代入， 即， 解得：x＝20， ∴A（20，0）， ∵， 解得：， ∴， ∴； （2）当t＝5时，点D为（5a，0）， ∵， ∴C（8，9）， ∵PC＝PD，此时P为CD的中点， ∴， ∵点P在OM上， ∴， 解得：； （3）过点C作CK⊥x轴于点K，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OM在直线y＝x上， ∴tan∠MOD＝1； 当CD∥OM时， ∴， ∴， ∴， 当CE∥OM时，如图2，∠CPO＝∠ECD＝90°， ∴∠DCK+∠CDO＝∠DOP+∠CDO＝90°， ∴∠DCK＝∠DOP， ∴， ∵， ∴， ∴t＝25， ∴AC＝3t＝3×25＝75， 当x＝0时，， ∴B（0，15）， ∴， ∴AC＝75＞AB＝25， ∴C点在不在线段AB上， ∴t＝25（舍去）， 当DE∥OM时，过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CG∥x轴交HE的延长线于点G，如图3， ∵∠DCE＝∠GCK＝90°， ∴∠GCE＝∠DCK， ∵∠DKC＝∠CGE，CD＝CE， ∴△CDK≌△CEG（AAS）， ∴， ∴， ， ∵∠EDH＝∠MOA， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，． 【变式1-2】．（2023秋•义乌市期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线AB相交于点C． （1）求点A，C的坐标． （2）现有一动点P沿折线O→C→B→O以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当△OAP为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段OB上运动时，连接CP，CQ．作△CQA关于直线CQ的对称图形△CQA′，作△CPB关于直线CP的对称图形△CPB′，射线CA′交x轴于点M．当B′P∥A′Q时，是否存在t的值，使△MQA′恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用函数关系式，求出点A、C的坐标即可； （2）①根据两点间距离公式求出，，，分四种情况进行讨论：当点P运动到点C时，当点P在BC上运动，AP＝OA＝12时，当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据折叠说明∠MA′Q≠90°，分两种情况进行讨论：当∠QMA′＝90°时，当∠A′QM＝90°时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：（1）把y＝0代入得： ， 解得：x＝12， ∴A（12，0）； 联立， 解得：， ∴C（6，8）． （2）把y＝0代入得：y＝16， ∴B（0，16）， ∴， ， ； ①当点P运动到点C时，如图1.1所示： 此时AP＝OP＝10，△OAP为等腰三角形， ∴t＝10÷2＝5； 当点P在BC上运动，AP＝OA＝12时，如图1.2所示： 此时△OAP为等腰三角形， ∴t＝（10+12﹣10）÷2＝6； 当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，过点O作OD⊥AB于点D，如图1.3所示： 此时△OAP为等腰三角形， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵OD⊥AB，OP＝OA， ∴， ∴AP＝2AD＝14.4 ∴t＝（10+14.4﹣10）÷2＝7.2； 当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，如图1.4所示： 此时△OAP为等腰三角形， t＝（10+10+16﹣12）÷2＝12； 综上分析可知，t＝5或6或7.2或12． ②存在t的值，使△MQA′恰好是直角三角形；理由如下： 当∠QMA′＝90°时，如图2所示： 设QA′交y轴于点N，CB′交y轴于点E， 根据折叠可知，∠CBP＝∠B′，∠CAQ＝∠MA′Q， ∵∠CBP+∠CAQ＝90°，∠MQA′+∠MA′Q＝90°， ∴∠CBP＝∠MQA′， ∴∠B′＝∠MQA′， ∵∠BOA＝∠QMA′＝90°， ∴CA′∥OB， ∴∠MA′Q＝∠BNQ， ∵B′P∥A′Q， ∴∠B′PE＝∠BNQ， ∴∠B′PE＝∠MA′Q， ∵∠MQA′+∠MA′Q＝90°， ∴∠B′PE+∠B′＝90°， ∴∠PEB′＝90°， ∴B′C⊥y轴， ∵C（6，8），B′C＝BC＝10， ∴B′（﹣4，8）， 设BP＝m，则B′P＝m，PE＝8﹣m， 根据勾股定理得：B′P2＝B′E2+PE2， 即m2＝42+（8﹣m）2， 解得：m＝5， ∴t＝（10+10+5）÷2＝12.5； 当∠A′QM＝90°时，如图3所示： ∵∠A′QM＝∠BOA＝90°， ∴A′Q∥y轴， ∵B′P∥A′Q，点P在y轴上， ∴此时点B′在y轴上， ∵△CPB关于直线CP的对称图形△CPB′， ∴此时CP⊥y轴， ∴P（0，8）， ∴t＝（10+10+16﹣8）＝14； 根据折叠可知：∠MA′Q＝∠CAO， ∵∠CAQ≠90°， ∴∠MA′Q≠90°； 综上分析可知，t＝12.5或14． 题型二 一次函数与全等三角形的结合 【例2】．（2023秋•莲都区期末）如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D． （1）求点A，点D的坐标． （2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值． （3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣2x﹣6中，令y＝0，即可得A点的坐标，由待定系数法可求得直线n的解析式，联立y＝﹣2x﹣6即可得点D的坐标； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，则PC+PD＝PD+PE，结合两点之间线段最短可得此时PC+PD最小，PA+PB最小，求出DE、AB即可得答案； （3）证明△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A， 令y＝0，可得0＝﹣2x﹣6，解得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 设直线n的解析式为y＝kx+b， ∵直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1）， ∴，解得， ∴直线n的解析式为y＝x﹣1， 联立y＝﹣2x﹣6得，解得， ∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP， ∴PE＝PC，E（0，1）， ∴PC+PD＝PD+PE，此时PC+PD＝DE最小，PA+PB＝AB最小， ∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），B（2，0）， ∴DE＝＝，AB＝2+3＝5， ∴PA+PB+PC+PD的最小值为5+； （3）∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），点D的坐标为（﹣2，﹣2）； ∴AB＝2+3＝5，AD＝＝，BD＝＝2， 设M（m，﹣2m﹣6），N（n，n﹣1）， 当△MND≌△BAD时，ND＝AD＝，MD＝BD＝2， ∴＝2，＝， 解得m＝0或﹣4，n＝0或﹣4， ∴点M和点N的坐标分别为（﹣4，2）、（0，﹣1）或（0，﹣6）、（0，﹣1）或（﹣4，2）、（﹣4，﹣3）或（0，﹣6）、（﹣4，﹣3）． 【变式2-1】．（2024•宁海县校级自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3交坐标轴于A、B两点，直线l2：y＝kx+b交坐标轴于C、D两点，已知点C（2，0），D（0，6）． （1）设l1与l2交于点E，试判断△ACE的形状，并说明理由； （2）点P、Q在△ACE的边上，且满足△OPC与△OPQ全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求出l2的解析式为y＝﹣3x+6，联立方程组联立l1，l2得，得到点E的坐标为（，），由y＝x+3，求出点A的坐标（﹣4，0），分别求出AC2＝36，AE2＝36，CE2＝，从而可判断出△ACE为等腰三角形； （2）分①P，Q在CE上；②P在CE上，Q在AE上；③P在AE上，Q在AC上；④P在AC上，Q与点E重合四种情况结合图形求解即可 【解答】解：（1）把C（2，0），D（0，6）代入l2：y＝kx+b得， 解得，， ∴直线l2的解析式为y＝﹣3x+6； 联立l1，l2得， 解得， ∴点E的坐标为（，）， 对于直线y＝x+3，当y＝0时，0＝x+3， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0） 又C（2，0）， ∴AC＝2﹣（﹣4）＝6， 即AC2＝36，AE2＝（+4）2+（）2＝36，CE2＝（2﹣）2+（）2＝， ∴AC＝AE， ∴△ACE是等腰三角形； （2）①当P，Q在CE上时，如图1，此时，△OPC≌△OPQ， ∴OQ＝OC＝2， 设Q（m，﹣3m+6）， 又C（2，0）， ∴m2+（﹣3m+6）2＝22， 解得m1＝，m2＝2（舍去）， ∴﹣3m+6＝﹣3×+6＝， ∴Q（，）； ②当P在CE上，Q在AE上时， 如图2，此时，△OPC≌△POQ， ∴∠POC＝∠OPQ，PQ＝OC＝2， ∴PQ∥OC， 设Q（n，n+3），则P（n+2，n+3）， 代入y＝﹣3x+6，得n+3＝﹣3（n+2）+6， 解得n＝﹣， 则n+3＝×（﹣）+3＝， ∴Q（﹣，）； ③P在AE上，Q在AC上时， 如图3，此时，△OPC≌△OPQ， ∴OQ＝OC＝2， ∴Q（﹣2，0）； ④当P在AC上，Q与点E重合时， 如图4，此时，△OPC≌△POQ， 则PQ＝OC＝2， ∠POC＝∠OPQ， ∴∠AOP＝∠APO， AP+PQ＝AO+OC＝AC＝AE， ∴Q与点E重合， ∴Q（，）； 综上，点Q在坐标为（，），（﹣，），（﹣2，0），（，）． 【变式2-2】．（2023秋•柯桥区期末）已知：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若直线AB上有一点P，且S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标； （3）直线BC上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式． （2）先求出A点坐标，再结合S△PBC＝2S△ABC，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P； （3）分情况：当△ABC≌△MBC，则点M即为点A；当△ABC≌△MCB，求得过点A与直线BC平行的直线l的表达式，设点，根据全等得性质和两点之间的距离即可求得a，进一步求得点M． 【解答】解：（1）一次函数y＝2x﹣1的图象与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴B（0，﹣1）， 又C（3，0） 设直线BC的函数表达式为：y＝kx﹣1， 把C（3，0）代入y＝kx﹣1， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为：． （2）一次函数y＝2x﹣1的图象与x轴交于点A， ∴当y＝0时，， ∴， 设AB上有一点P（x，2x﹣1）使得S△PBC＝2S△ABC， 如图， S△PAC＝3S△ABC，得，解得yP＝﹣3，则点P（﹣1，﹣3）； ，得，解得yP＝1，则点P1（1，1）； 综上所述，点P（﹣1，﹣3）或P（1，1）． （3）①当△ABC≌△MBC，则点M即为点A，此时点 ②当△ABC≌△MCB， 设过点A与直线BC平行的直线l：， 代入， 解得l：， 设点， ∵MC＝AB，，， ∴a1＝2，（舍去）， 则点， 故点或． 【变式2-3】．（2021秋•东阳市期末）如图，直线l：y＝kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，＝，OM⊥AB，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）． （1）求直线y＝kx+3的解析式； （2）当点P运动到什么位置时△BOP的面积是6； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）通过＝求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式 （2）先画图，确定△BOP面积可以BO为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y轴距离后，要注意分类讨论． （3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察△OMP，得到∠OMP＝90°即OP为斜边．所以△OPQ也是直角三角形且OP为对应斜边，因此只能∠OQP＝90°，两直角边对应关系不确定，分两类△OMP≌△PQO与△OMP≌△OQP．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正可负，结合图象分析再分类讨论． 【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+3与y轴交于点B ∴B（0，3），OB＝3 ∵＝， ∴OA＝4，即A（4，0） ∵点A在直线l上， ∴4k+3＝0 解得：k＝﹣ ∴直线l的解析式为y＝﹣x+3 （2）过P作PC⊥y轴于C，如图1， ∴S△BOP＝OB•PC＝6 ∴PC＝4 ∴点P的横坐标为4或﹣4 ∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合 ∴横坐标不为4，纵坐标为：﹣×（﹣4）+3＝6 ∴点P坐标为（﹣4，6）时，△BOP的面积是6； （3）存在满足条件的P、Q ∵OM⊥AB，AB＝ ∴∠OMP＝90° OM＝＝ ∴以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等时，斜边OP为对应边，∠OQP＝90°， ①△OMP≌△PQO ∴PQ＝OM＝，即P点横坐标为﹣或，如图2和图3， ﹣×（﹣）+3＝，﹣×+3＝ ∴点P（﹣，）或（， ②△OMP≌△OQP ∴OQ＝OM＝，即点P、点Q纵坐标为﹣或，如图4和图5， ﹣x+3＝﹣ 解得：x＝ ﹣x+3＝ 解得：x＝ ∴点P（，﹣）或（，） 综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣，），（，），（，﹣），（，） 题型三 一次函数与几何最值的结合 【例3】．（2024春•椒江区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段BO上的动点，连接AP，作点O关于线段AP的对称点D，连接AD，DP． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图2，当点D落在直线AB上时，求点P的坐标； （3）如图3，作点A关于y轴的对称点C，连接BC，E为BC的中点，连接DE，求线段DE的最小值． 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征即可求出； （2）设OP为未知数，利用等线段转化，在直角三角形BDP中利用勾股定理建立方程（思路总结：见到矩形、直角三角形中折叠问题优先考虑勾股方程）； （3）求线段最值问题主要是两个思路一个是垂线段最短，一个是利用三角形三边关系，本题涉及到对称问题，已知AD长度，E是定点，所以可构造三角形利用三边关系求最值． 【解答】解：（1）令y＝0得，x+6＝0， 解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， 令x＝0得，y＝6 ∴B（0，6）． （2）设OP＝a，则BP＝6﹣a， ∵A（﹣6，0），B（0，6）， ∴OA＝6，OB＝6， ∴AB＝＝6， ∵对称， ∴AD＝OA＝6，DP＝OP＝a， ∴BD＝AB﹣AD＝6﹣6， 在Rt△BDP中，BD2+DP2＝BP2， 即（6﹣6）2+（6﹣a）2＝a2， 解得a＝12﹣6， ∴P（0，12﹣6）． （3）连接AE， ∵A、C关于y轴对称， ∴C（6，0）， ∵E是BC中点， ∴E（3，3）， ∴AE＝＝3， ∵AD＝AO＝6， ∴根据三角形三边关系得出：DE≥AE﹣AD， ∴DE≥3﹣6， 当A、D、E三点共线是DE最小，此时DE＝3﹣6， ∴线段DE的最小值为3﹣6． 【变式3-1】．（2023秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，0）的直线y＝3x+b与y轴交于点B，直线BC交x轴正半轴于点C，OC＝OB，点P是直线BC上的动点． （1）求直线BC的解析式． （2）若，求点P的坐标． （3）已知点Q在线段AB上，连结OP、OQ、PQ． ①若△PQB与△PQO全等，求线段PQ的长； ②在P、Q的运动过程中，OQ+PQ的最小值为 　　（直接写出答案）． 【分析】（1）把点A代入直线y＝3x+b得B（0，6），设直线BC解析式为y＝kx+6，代入B得k＝﹣1，故直线BC的解析式为y＝﹣x+6． （2）设P（t，﹣t+6），当P在CB延长线上时，S△APC＝S△ABC＝××8×6＝32，再计算即可．当P在线段CB上时，S△APC＝S△ABC＝××8×6＝16，再计算即可． （3）①当△PQB≌△PQO时，得QP为△BAC中位线，故PQ＝AC＝4．当△PQB≌△QPO时，得四边形BPOQ是平行四边形，由平移得直线OP解析式为y＝3x，直线OQ解析式为y＝﹣x，联立得P（，），Q（﹣，），故PQ＝＝3． ②过O作AB的对称点O'，过O'作O'P⊥BC，连OQ，此时OQ+PQ＝O'Q+PQ＝O'P最小．由Rt△OAK∽Rt△OBA，得AK＝，OK＝，再利用Rt△OAK～Rt△OO'M，得OM＝，O'M＝，故O'（﹣，），N（，），由等腰Rt△得O'P＝，再计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0）在直线y＝3x+b上， ∴b＝6， ∴B（0，6）， ∵OC＝OB， ∴C（6，0）， 设直线BC解析式为y＝kx+6， ∴0＝6k+6， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6． （2）设P（t，﹣t+6）， 当P在CB延长线上时， ∵， ∴S△APC＝S△ABC＝××8×6＝32， ∴×8×（﹣t+6）＝32， ∴t＝﹣2， ∴P（﹣2，8）． 当P在线段CB上时， ∵， ∴S△APC＝S△ABC＝××8×6＝16， ∴×8×（﹣t+6）＝16， ∴t＝2， ∴P（2，4）． 答：P坐标为（﹣2，8）或（2，4）． （3）①当△PQB≌△PQO时， ∴QB＝QO， ∴∠QBO＝∠QOB， ∵∠QBO+∠BAO＝90°， ∠QOB+∠QOA＝90°， ∴∠BAO＝∠QOA， ∴QA＝QO， ∴QB＝QO， ∴QP为△BAC中位线， ∴PQ＝AC＝4． ②当△PQB≌△QPO时， ∴QB＝PO，且QB∥PO， ∴四边形BPOQ是平行四边形， ∴AB∥OP，OQ∥BC， ∵直线AB解析式为y＝3x﹣2， ∴向右平移两个长度单位为直线OP解析式：y＝3x， 同理，直线OQ解析式为：y＝﹣x， 联立y＝3x﹣2得P（，）， 同理：Q（﹣，）， ∴PQ＝＝3． 答：线段PQ的长为4或3． ②过O作AB的对称点O'，过O'作O'P⊥BC，连OQ， 此时OQ+PQ＝O'Q+PQ＝O'P最小． 过O'作O'M⊥x轴． ∴Rt△OAK∽Rt△OBA， ∴OA2＝AK•AB， ∴22＝AK•， ∴AK＝， ∴OK＝＝， ∴OO'＝2OK＝， ∵Rt△OAK～Rt△OO'M， ∴， ∴， ∴，O'M＝， ∴O'（﹣，）， ∴R的纵坐标， ∴R（，）， ∵∠PRO'＝∠BCA＝45°， ∴O'P＝＝＝， 故答案为：． 【变式3-2】．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F． （1）求线段OC的长； （2）当DE＝EF时，求点D的坐标； （3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值． 【分析】（1）先求出点A，B坐标，得出S△BOA，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为（0，a），结合y＝﹣x+6，表达出DE的值，再结合（1）求出OC的解析式，表达出点F的坐标，根据DE＝EF建立等式，计算即可作答． （3）在OB上取点H，OH＝AC，连接MH，运用勾股定理求出AC＝＝3.6，然后得到△ACN≌△HOM，根据全等性质，得AN＝HM，OH＝AC＝3.6，点A，M，H三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+6分别交x轴，y轴于点B，A， ∴当x＝0，则 y＝0，故A（0，6）； 当y＝0，则x＝8，故B（8，0）； ∴AB＝＝10， ∵OC⊥AB， ∴S△BOA＝OC×AB， 即OA×OB＝OC×AB， ∴6×8＝10×OC， ∴OC＝4.8； （2）依题意，设点D的坐标为（0，a）， ∵过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．且y＝﹣x+6， ∴当y＝a，则a＝﹣x+6，解得x＝， ∴，即DE＝； 过点C作CH⊥OB， 由（1）知OC＝4.8，OB＝8 ∴BC＝＝6.4 根据等面积法OC×BC， 得CH＝＝3.84， ∴OH＝＝2.88， 则C（2.88，3.84）， 设直线OC的解析式为y＝kx， 把C（2.88，3.84）代入y＝kx， 解得k＝， ∴直线OC的解析式为y＝x， 则点， ∴EF＝， ∵DE＝EF， ∴， 解得a＝， ∴； （3）如图：在OA取OE＝AC，连接EM，作A关于OC的对称点A′，连接EA′，MA′， ∵C（2.88，3.84），A（0，6），OC⊥AB， ∴AC＝＝3.6，A′（5.76，1.68）， ∴E（0，3.6） ∵OM＝CN，∠ACN＝∠MOE，AC＝OE， ∴△ACN≌△EOM（SAS）， ∴EM＝AN， 由对称的性质可知，AM＝A′M ∴AM+AN＝EM+MA′， 则点A′，M，E三点共线时，则有最小值， 此时最小值＝＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破2：一次函数与直角三角形、全等三角形、几何最值的综合 一、一次函数与直角三角形存在性 1、重要思想：点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式 2、“两定一动型”直角三角形——即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成直角三角形； 解决办法：“两垂一圆” “两垂”：求出经过两定点的直线解析式，过两定点作直线的垂线，与目标直线的交点即为所求的坐标 “一圆”：以两定点组成的线段为直径作圆，与目标直线的交点即为所求 ☆：直线垂直多需用到k1·k2=-1 通用方法：直接利用勾股定理分类求解 二、一次函数与全等三角形结合问题做题要点： ①两三角形有没有用≌符号连结，没有，多需要分类讨论 ②有全等就有对应边相等、对应角相等，所以多在动态环境中抓静态因素 ③和长度结合时，多联想勾股定理 ④审题中注意动点所在的运动轨迹，看是线段、射线、还是直线，不同线型会导致分类的个数不同。 三、最值常结合模型——将军饮马； 1、“两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接； 2、“两定两动型”将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接； 题型一 一次函数与直角三角形的结合 【例1】．（2023秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线 CD：y＝﹣x+与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N的坐标． 【变式1-1】．（2023秋•婺城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y＝x于点M．动点D以每秒a个单位的速度从点O沿OA的方向运动，设运动时间为t秒，C点在线段AB上，且C坐标为（）． （1）求点A的坐标和AM的长． （2）当t＝5时，线段CD交OM于点P，且PC＝PD，求a的值． （3）利用（2）的结论，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列）．当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值． 【变式1-2】．（2023秋•义乌市期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线AB相交于点C． （1）求点A，C的坐标． （2）现有一动点P沿折线O→C→B→O以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当△OAP为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段OB上运动时，连接CP，CQ．作△CQA关于直线CQ的对称图形△CQA′，作△CPB关于直线CP的对称图形△CPB′，射线CA′交x轴于点M．当B′P∥A′Q时，是否存在t的值，使△MQA′恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型二 一次函数与全等三角形的结合 【例2】．（2023秋•莲都区期末）如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D． （1）求点A，点D的坐标． （2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值． （3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 【变式2-1】．（2024•宁海县校级自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3交坐标轴于A、B两点，直线l2：y＝kx+b交坐标轴于C、D两点，已知点C（2，0），D（0，6）． （1）设l1与l2交于点E，试判断△ACE的形状，并说明理由； （2）点P、Q在△ACE的边上，且满足△OPC与△OPQ全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标． 【变式2-2】．（2023秋•柯桥区期末）已知：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若直线AB上有一点P，且S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标； （3）直线BC上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】．（2021秋•东阳市期末）如图，直线l：y＝kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，＝，OM⊥AB，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）． （1）求直线y＝kx+3的解析式； （2）当点P运动到什么位置时△BOP的面积是6； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型三 一次函数与几何最值的结合 【例3】．（2024春•椒江区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段BO上的动点，连接AP，作点O关于线段AP的对称点D，连接AD，DP． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图2，当点D落在直线AB上时，求点P的坐标； （3）如图3，作点A关于y轴的对称点C，连接BC，E为BC的中点，连接DE，求线段DE的最小值． 【变式3-1】．（2023秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，0）的直线y＝3x+b与y轴交于点B，直线BC交x轴正半轴于点C，OC＝OB，点P是直线BC上的动点． （1）求直线BC的解析式． （2）若，求点P的坐标． （3）已知点Q在线段AB上，连结OP、OQ、PQ． ①若△PQB与△PQO全等，求线段PQ的长； ②在P、Q的运动过程中，OQ+PQ的最小值为 　 　（直接写出答案）． 【变式3-2】．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F． （1）求线段OC的长； （2）当DE＝EF时，求点D的坐标； （3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$