第十二章全等三角形 找全等（三）一次全等创二次2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形 找全等（三）一次全等创二次 【方法技巧】 通过第一次全等,为第二次全等创造条件,从面解决间题. 【题型剖析】 1.（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，，，，四点在同一条直线上，，，，，求证：． 2.（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，于点，于点，，且求证： ． 3.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，是的角平分线，延长至点，使，连接求证：． 4.（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，分别为，的中点．求证：．  5.（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，，，，的延长线交于点求证：． 6.（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，，，点，为上两点，，求证： ； ． 7.（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，是垂足，，连接交于点，求证：． 8.（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图、、、在同一直线上，，垂足分别是，，求证：． 9.（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、试说明：． 10.（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，于点，于点，且，是上一点． 求证：． 11.（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，的两条高、相交于点，． 求证：； 判断点是否在的平分线上，并说明理由． 12.（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在和中，，，． 求证：； 若，求的长度． 13.（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，的延长线于点． 求证：； 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 14．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，AB＝BC，AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F，AD与CF相交于点E，连接BE．求证：∠ABE＝∠CBE． 15.（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，AB＝CD，AE⊥EC，DF⊥BF，BF＝CE，求证：BE＝CF． 16．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，A，E，F，C四点在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．求证：GF＝GE． 17.（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，角平分线，交于点． 求的度数； 点在上，，试说明：≌； ，，三条线段之间有怎样的数量关系？请直接写出结果． 18.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在四边形中，，点、分别在直线、上，且． 当点、分别在边、上时如图，请说明的理由． 当点、分别在边、延长线上时如图，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．  19.（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）在中，，，点是射线上一点点不与点，重合，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点． 如图，证明：是等边三角形； 当点在如图所示的位置时： 求证：； 直接用等式表示线段，和之间的数量关系； 当点在线段上时点不与点，重合，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形 找全等（三）一次全等创二次 【方法技巧】 通过第一次全等,为第二次全等创造条件,从面解决间题. 【题型剖析】 1.（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，，，，四点在同一条直线上，，，，，求证：． 【答案】证明：，，，四点在同一条直线上，， ， ， ，， ， ， ≌， ， ，， ≌， ． 2.（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，于点，于点，，且求证： ． 【答案】证明： 即， 在与中， 在和中． ． 3.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，是的角平分线，延长至点，使，连接求证：． 【答案】解：在上截取，连， 是的平分线， ． 则在与中， ≌， ， 又，， ，， ， ， ， ≌， ， ， 即．  4.（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，分别为，的中点．求证：． 【答案】证明：连接， 在与中， ， ， ，，分别为，的中点，   ， 在与中，       ， ．  5.（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，，，，的延长线交于点求证：． 【答案】证明：连接． ，，， ≌，   在与中， ≌， ， ．  6.（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，，，点，为上两点，，求证： ； ． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴；  (2)∵， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 又∵， ∴．  7.（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，是垂足，，连接交于点，求证：． 【答案】证明：，， ，，即 在与中， ， 在与中，   8.（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图、、、在同一直线上，，垂足分别是，，求证：． 【答案】证明：，， ， 在与中， ， ． 又， ，即， 在与中， ， ． 9.（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、试说明：． 【答案】证明：平分， ， 在和中， ≌， 全等三角形的对应角相等； ，， ； 又公共边， ≌， 全等三角形的对应边相等．  10.（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，于点，于点，且，是上一点． 求证：． 【答案】于点，于点， ． 在和中， ≌， ． 在与中， ≌， ． 11.（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，的两条高、相交于点，． 求证：； 判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】解：证明：、是的高，且相交于点， ， 在和中，， ≌， ，， ， 即． 点在的平分线上，理由如下： 连接，如图所示： 、是的高，且相交于点， ， 由得， 在和中，， ≌， ， 由得， 在和中，， ≌， ， 点在的平分线上．  12.（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在和中，，，． 求证：； 若，求的长度． 【答案】证明：在和中， ， ≌， ， ， ，， ． 解：由得≌，， ， 在和中， ， ≌， ． ， ， 的长度是．  13.（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，的延长线于点． 求证：； 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】证明：，， ， ， ， ， ； 解：理由如下： 如图，延长交于点， ， 在和中 ， 在和中 14．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，AB＝BC，AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F，AD与CF相交于点E，连接BE．求证：∠ABE＝∠CBE． 证明：∵AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F， ∴∠ADB＝∠CFB＝90°， ∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBF， ∴△ABD≌△CBF（AAS）， ∴BD＝BF， ∵BE＝BE， ∴Rt△BDE≌Rt△BFE（HL）， ∴∠ABE＝∠CBE． 15.（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，AB＝CD，AE⊥EC，DF⊥BF，BF＝CE，求证：BE＝CF． 证明：∵A，B，C，D四点在同一条直线上，AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC， ∴AC＝BD， ∵AE⊥EC，DF⊥BF， ∴∠AEC＝∠DFB＝90°， ∵CE＝BF， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴∠BCE＝∠CBF， ∵BF＝CE，BC＝CB， ∴△FBC≌△ECB（SAS）， ∴BE＝CF． 16．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，A，E，F，C四点在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．求证：GF＝GE． 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEF＝∠BFE＝90°． ∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE． 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴BF＝DE． 在△BFG和△DEG中， ∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴GF＝GE． 17.（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，角平分线，交于点． 求的度数； 点在上，，试说明：≌； ，，三条线段之间有怎样的数量关系？请直接写出结果． 【答案】解：在中，，和分别平分和， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 在和中， 所以≌． 所以． 因为， 所以． 所以． 在和中， 所以≌． ．  18.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在四边形中，，点、分别在直线、上，且． 当点、分别在边、上时如图，请说明的理由． 当点、分别在边、延长线上时如图，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF；  (2)（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD．  19.（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）在中，，，点是射线上一点点不与点，重合，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点． 如图，证明：是等边三角形； 当点在如图所示的位置时： 求证：； 直接用等式表示线段，和之间的数量关系； 当点在线段上时点不与点，重合，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 【答案】证明：，， ， 是等边三角形； 证明：延长至点，使，连接，， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ． 在和中 ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ； 解：在中，，， ， 由得， ； 解：， 如图：延长至点，使，连接，， ， ． ，， 是等边三角形，．   ． 在和中 ≌． ， ， ， ， 在和中 ≌， ， ， 在中，，， ， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$