精品解析：天津市河西区2024-2025学年高三上学期期中质量调查数学试卷

河西区2024－2025学年度第一学期高三年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷5至8页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 6. 函数，则，（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递减 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 7. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数有下列结论： ①最小正周期为； ②点为图象的一个对称中心； ③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是； ④若的导函数为，则函数的最大值为. 则上述结论正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 第Ⅱ卷 注意事项 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知角的终边上有一点，则________. 11. 已知数列满足，点在函数的图象上，其中k为常数，且，，成等比数列，则________. 12. 化简：________. 13. 记的内角的对边分别为，若，，，则________. 14. 在平面四边形中，，，，若，则________；若为线段上一动点，当取得最小值时，则________. 15. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 17. 如图，中，，，，是的中点，延长交于点. （1）用，表示； （2）设，求的值； （3）若，，求面积的最大值. 18. 在中，内角所对的边分别为，. （1）求的大小； （2）若，边上的高为. （i）求的值； （ii）求的值. 19. 设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的值； （3）设其中，求. 20. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）当时，讨论的单调性； （3）若集合有且只有一个元素，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2024－2025学年度第一学期高三年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷5至8页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得， 而全集，所以. 故选：D 2. 设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值. 【详解】由，，可得， 且，得， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为. 故选：C. 6. 函数，则，（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递减 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义判断函数奇偶性，再通过求导判断函数的单调性即得. 【详解】的定义域为,且 ，故，即函数是偶函数； 因，当时，，则，即函数在区间上单调递增. 故选：A. 7. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， ， ， 所以或， 又，所以， 所以， 所以， 故选：B. 8. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察得到中的奇数项都是数列中的项，即，其为公比为4的等比数列，求出，得到答案. 【详解】数列中的项为， 观察得到中的奇数项都是数列中的项， 即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列， 故，故. 故选：D 9. 已知函数有下列结论： ①最小正周期为； ②点为图象的一个对称中心； ③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是； ④若的导函数为，则函数的最大值为. 则上述结论正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质判断①，②，③，然后求导，利用辅助角公式判断④即可. 【详解】由题可知最小正周期为,故①正确； 根据正弦型函数的性质可知，的对称中心横坐标满足， 显然，故②不正确； 因为，所以， 由复合函数的单调性可知，当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，有最大值为1 ， 所以要使在区间上有两个实数根 则，故③错误; 由题得， 所以 其中，所以的最大值为，故④正确. 故选：C 第Ⅱ卷 注意事项 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知角的终边上有一点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出已知点到原点的距离，根据三角函数的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知角的终边上有一点， 则,故. 故答案为：. 11. 已知数列满足，点在函数的图象上，其中k为常数，且，，成等比数列，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据递推公式求出，，再根据，，成等比数列，可求的值. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以，所以， 又，所以，，， 因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 12. 化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式对原式化简即可得出结果. 【详解】易知 . 故答案为： 13. 记的内角的对边分别为，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得对应的正弦值，再由正弦定理即可得结果. 【详解】由可得，又，且，解得； 同理由可得， 由正弦定理可得，即. 故答案为： 14. 在平面四边形中，，，，若，则________；若为线段上一动点，当取得最小值时，则________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，可得是边长为的等边三角形，，建立平面坐标系，利用数量积的坐标运算可求，利用取得最小值时求得点的坐标，利用向量的夹角公式的坐标运算求得. 【详解】因为平面四边形中，，，， 所以是边长为2的等边三角形， 在，，所以， 因为，又， 所以，所以在，同理可得在上， 且分别是的四等分点， 如图建立平面坐标系， 则， 所以， 再设，则， ， 显然时，取得最小，此时， 所以. 故答案为：；. 【点睛】方法点晴：利用平面几何知识求得图形的数量关系，通过建立坐标系，利用向量的坐标运算简化求解的运算量. 15. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则，所以时，， 所以在上单调递增； 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则，， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得， 即可得正实数的取值范围. 故答案为：. 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】（1） （2）（i）；1；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由图可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）（i）根据三角函数图象变换规律求出，进而可求；（ii）由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其值域. 【小问1详解】 由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. 【小问2详解】 （i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 17. 如图，中，，，，是的中点，延长交于点. （1）用，表示； （2）设，求的值； （3）若，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，表示向量； （2）根据几何关系，表示向量；设，，，，再利用平面向量基本定理表示，即可求解； （3）结合（2）和，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由点是的中点， 得. 【小问2详解】 设，，，， 则，① 又 ，② 所以对比①②得，得， 所以； 【小问3详解】 由（2）得，即， 因为，， 所以 ， 即，当且仅当，即时等号成立， 此时面积最大，为. 18. 在中，内角所对的边分别为，. （1）求的大小； （2）若，边上的高为. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；（2）（i）利用三角形的面积可求得，结合余弦定理可求得；（ii）求得，利用正弦定理可求得，利用二倍角的正弦余弦公式结合两角和和正弦公式可求得. 【小问1详解】 因为，，为的内角， 所以， 因为， 所以可化为：， 即， 即， 因为，解得：. 【小问2详解】 （i）由三角形面积公式得，所以， 由余弦定理得：， 解得：或舍去，所以； （ii）由（i）可得， 在中，由正弦定理可得，即， 解得，又，所以为锐角， 所以， 所以，， 所以. 19. 设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的值； （3）设其中，求. 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得其通项公式； （2）由（1）中的结论可得，再利用裂项相消求和可得结果； （3）根据的表达式，采用分组求和以及错位相减法计算可得结果. 【小问1详解】 设数列的公比为，，数列的公差为， 因为且，所以， 解得或，又因为，所以， 所以，， 则，， 因为且数列是等差数列， 所以，， 又，所以，， 所以，，， 所以，. 所以数列的通项公式为，，数列的通项公式为，. 【小问2详解】 由（1）可知 因此数列的前n项和为 即可得. 【小问3详解】 由可知 所以， 其中， 记； 则， 两式相减可得， 可得， 即； 所以 20. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）当时，讨论的单调性； （3）若集合有且只有一个元素，求的值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果； （2）对函数求导得到，由函数定义域知，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （3）对函数求导得到，再分和两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果. 【小问1详解】 由，可得， 中， 当时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中， ， 当时，， 因为即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，， 函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数，求导得， 显然，当时，的定义域为， 不等式恒成立，即在上单调递增， 又与已知矛盾，即不合题意； 当时，的定义域为，此时， 则当时，，当时，， 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 因此. 设，则， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增. 所以集合有且只有一个元素时. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $