精品解析：辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题

辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合间的包含关系，即可求得实数的取值范围. 【详解】， 由，可得， 又，则. 故选：A 2. 若，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，化简整理为标准型，结合共轭复数与虚部的定义，可得答案. 【详解】，则， 所以复数的共轭复数的虚部是. 故选：B. 3. 由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 B. 若越大，则两组变量的相关性越强 C. 经验回归方程至少经过样本数据中的一个 D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的含义可判断AB；根据回归直线的含义可判断CD； 【详解】对于A，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误； 对于B，若越大，则两组变量的相关性越强，是回归直线的斜率， 它不反应两变量的相关性强弱，B错误； 对于C，经验回归方程不一定经过样本数据中的一个，C错误； 对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时， 若，相应的观测值y约增加个单位；若，相应的观测值y约增加个单位； 故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位，正确， 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式展开后求得，然后求得，再由二倍角公式计算． 【详解】，又，则， 所以， ， 故选：A． 5. 数列中，已知对任意自然数，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， ①-②得，， 又，满足，所以， 所以， 所以. 故选：C. 6. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围. 【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数. 由，得，即， 从而，即 故选：D 【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围. 7. 已知为的外心，，，，则的面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】， 时，，当时，，递减，时，，递增， 时，，时，，是极小值， 时，，在上是增函数， 时，，时，，且， 作出函数的大致图象，如图， 由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解， 方程有四解， 则方程有两解且， 记， 则，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 不共线，且，则. B. 若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 C. 已知，则在上的投影的坐标为 D. 已知点为的垂心，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求得三向量间的关系判断选项A；求得的取值范围判断选项B；求得在上的投影的坐标判断选项C；求得三者间的关系判断选项D. 【详解】选项A：不共线，且， 则，则 即.判断错误； 选项B：向量，且与的夹角为钝角， 则，解之得或或 则的取值范围是.判断正确； 选项C：在上的投影向量为 ， 则在上的投影的坐标为.判断错误； 选项D：点为的垂心，则, 则， 则， 由可得 ， 则， 即， 由，可得 ， 则, 即， 故.判断正确. 故选：BD 10. 为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ） A. 第一次投篮的人是甲的概率为 B. 已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 C. 第二次投篮的人是甲的概率为 D. 设第次投篮的人是甲的概率为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可判断A选项，结合条件概率的公式可判断B选项，根据概率的加法公式及对立事件的概率公式可判断C和D选项. 【详解】掷两枚硬币向上的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有种情况， 记事件：向上的结果一正一反，记事件：向上的结果同正或同反，则，故选项A错误， 对于B选项，设事件：第一次投篮的人是甲，事件：第二次投篮的人是乙， 则,， 则，所以B选项正确， 对于C选项，第二次投篮的人是甲的概率为，所以C选项正确， 对于D选项，由已知，当时，，即，所以D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】已知变形后可设，，即，由确定出的范围，然后分别计算和，结合三角函数知识得最值． 【详解】，因此可设，， 则， ，， ，，即， 所以， ， 由，知， ，所以， 时，取得最大值，A正确，B错误； ， 由知， 因此，时，，D正确，C错误； 故选：AD． 【点睛】方法点睛：求最值的常用方法：一是由函数的性质求解，二是利用基本不等式求解，三是利用导数求解，在由条件求最值时，当已知等式是平方和形式时，可以利用三角换元法把代数式转化为三角式，利用三角恒等变换变形，利用三角函数性质求最值．本题已知条件可以变形为，因此可用三角换元求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用百分位数的定义和计算方法，即可求解. 【详解】将数据从小到大排序得， 因为，所以第75百分位数是. 故答案为：. 13. 已知，且，则_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用换底公式得到，从而得到或，即可求解. 【详解】因为，整理得到， 解得或，所以或， 故答案为：或. 14. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令， ，都过定点 考查函数，令，则 与轴的交点为 时，均有 也过点 解得或（舍去）， 故 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简:； （2）求函数的最小正周期和图象的对称中心; （3）求函数在上的单调递增区间. 【答案】（1）1 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由同角关系化切为弦，然后由两角和的正弦公式、二倍角公式，诱导公式变形求值； （2）由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数的性质求解； （3）由正弦函数的单调性求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 所以的最小正周期； 令，得， 即图象的对称中心为. 【小问3详解】 令，得， 令，得；令，得， 所以函数在上的单调递增区间为. 16. 在中，内角所对的边分别是，已知向量，，满足. （1）求； （2）若，求周长的取值范围; （3）若角的平分线交边于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用共线的坐标表示及正弦定定边转角，得，再利用余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理得，再利用的性质，即可求解； （3）根据条件，利用等面积法及面积公式得到，再利用基本不等式可得，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 由得，， 再由正弦定理角化边得，整理得到， 再由余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理及（1）得， ， 又，得，所以，得到， 因此，周长的取值范围是. 【小问3详解】 由，， 又因为，角的平分线交边BC于点， 所以有，整理得， 由基本不等式得，所以，且时取等号， 即， 即面积的最小值为. 17. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 （1）将列联表补充完整； （2）是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关; （3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 附:，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析 （2）没有 （3）分布列见解析，期望1， 【解析】 【分析】（1）根据已知数据填写列联表； （2）由已知公式计算后比较临界值可得； （3）确定，且，结合二项分布可得分布列，再根据期望公式、方差公式计算出期望和方差． 【小问1详解】 由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 【小问2详解】 由（1）可得， 所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关 【小问3详解】 由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知，且， 所以， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为, 随机变量的方差为. 18. 已知函数，数列满足，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可； （3）结合（2）的条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有； 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以 【小问3详解】 由（2）可知：， 所以由， 因为， 所以由， 设， 由， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有， 因此实数k的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用作差法判断函数的单调性进行求解. 19. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. （1）已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. （2）已知函数有两个零点，记作，若，证明： 【答案】（1）（i）； （ii）证明：要证，即证， 即证， 又， 由拉格朗日中值定理可知，存在， ， . 由题意知，当时，在上单调递增， 则，故， 即，所以命题得证. （2） 函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根. 令， 所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根， 所以，则，则由，得， 所以，则， 要证，即证， 又，令， 令， 又，所以，故在上单调递增， 所以， 所以，故在上单调递减，所以， 即， 即，所以不等式得证. 【解析】 【分析】（1）（i）法一：构造函数，利用函数单调递增，则在上恒成立，然后转化为分离参数求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中值定理知，恒成立 ，使得，将问题转化为恒成立，在对其进行求解即可； （ii）将，再结合拉格朗日中值定理进行证明即可； （2）由函数有两个零点，转化为方程有2个根，构造函数，然后求导借助函数的单调性和最值确定两个零点的范围，即可求解. 【小问1详解】 （i）解：法一：由，且化简得，即， 令，可知在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，显然在上单调递减， 所以，即，故实数的取值范围为. 法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得， 故问题转化为恒成立. 又，则恒成立，即恒成立， 因为， 故令，显然在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围为. （ii）略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛： （1）对于第一问和第二问关键是理解拉格朗日中值定理，借助定义进行求解即可； （2）第三问是函数“隐零点”问题，解决这类题的方法是对零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目中的条件解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 B. 若越大，则两组变量的相关性越强 C. 经验回归方程至少经过样本数据中的一个 D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 数列中，已知对任意自然数，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为的外心，，，，则的面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 不共线，且，则. B. 若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 C. 已知，则在上的投影的坐标为 D. 已知点为的垂心，则 10. 为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ） A. 第一次投篮的人是甲的概率为 B. 已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 C. 第二次投篮的人是甲的概率为 D. 设第次投篮的人是甲的概率为，则 11. 已知，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是______. 13. 已知，且，则_____________. 14. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简:； （2）求函数的最小正周期和图象的对称中心; （3）求函数在上的单调递增区间. 16. 在中，内角所对的边分别是，已知向量，，满足. （1）求； （2）若，求周长的取值范围; （3）若角的平分线交边于点，求面积的最小值. 17. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 （1）将列联表补充完整； （2）是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关; （3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 附:，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数，数列满足，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 19. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. （1）已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. （2）已知函数有两个零点，记作，若，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $