专题03 因式分解易错必刷题型专训（45题15个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教2024版）

专题03 因式分解易错必刷题型专训（15题个45考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知有一个因式，则的值是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）若，则 ． 3．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【易错必刷三 公因式】 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）写出一个含有公因式的多项式 . 3．（23-24七年级上·广东中山·期中）分解因式： （1）                 （2） 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 1．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，将先化简，再求值． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 1．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 3．（23-24七年级上·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1)； (2)． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 3．（23-24七年级上·全国·期末）因式分解： (1)； (2)． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 3．（23-24七年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）代数式分解因式的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）分解因式： ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【易错必刷十一 十字相乘法】 1．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【易错必刷十二 分组分解法】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式： ， ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十三 因式分解的应用】 1．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）与之积等于的因式为 ． 3．（23-24七年级上·上海·期末）阅读理解： 已知x3－8有一个因式x－2，我们可以用如下方法对x3－8进行因式分解． 解：设x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b） 因为 （x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b 所以 a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8 所以 a＝2，且b＝4 所以 x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4） 这种分解因式的方法叫做待定系数法． (1)已知x3＋27有一个因式x＋3，用待定系数法分解：x3＋27． (2)观察上述因式分解，直接写出答案： 因式分解：a3＋b3＝ ；a3－b3＝ ． 【易错必刷十四 因式分解的新定义计算题】 1．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论： ①； ②； ③若是一个完全平方数（即，是正整数），则； ④若是一个完全立方数（即，是正整数），则． 正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）用“*”定义一种运算：．对于，因式分解的结果是 ． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy． （1）计算x☆（x2﹣1）； （2）将x☆16的结果因式分解． 【易错必刷十五 因式分解的规律计算题】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）观察下列多项式的因式分解过程： ； ； ； ……； 按此规律，把多项式因式分解的结果是 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 因式分解易错必刷题型专训（15题个45考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知有一个因式，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握求解的方法，设该多项式的另一个因式是，再利用多项式的乘法即可求解． 【详解】解：设该多项式的另一个因式是， ∴， ， ， ， ∴，， 解得：， ∴． 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 【易错必刷三 公因式】 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）写出一个含有公因式的多项式 . 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查了公因式．根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·广东中山·期中）分解因式： （1）                 （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先提公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可， （2）先按完全平方公式分组，前两项与对后一项分为一组，1单独一组，分组后利用公式变完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ， =  ， =； （2）， ， ， ． 【点睛】本题考查因式分解问题，关键掌握因式分解的方法和公因式，会根据多项式的特征选取适当的方法，掌握公式，会利用公式分组． 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 1．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键． 【详解】解：， 把分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法．提出公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，将先化简，再求值． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟记公式并能灵活运用是解题关键．利用提取公因式和多项式乘多项式化简得，再把已知数据代入得出答案即可． 【详解】 ， 原式． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 1．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 【详解】令x2−3x−2=0， 则a=1，b=−3，c=−2， ∴x== ∴x2−3x−2=. 故答案为. 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式. 3．（23-24七年级上·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用平方差公式进行因式分解成为解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键． （1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解； （2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2） 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟悉完全平方公式和因式分解的概念，是解题的关键．根据完全平方公式分解因式，即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）综合利用公式法和提公因式法即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，因式分解正确，故不符合题意； B、，因式分解正确，故不符合题意； C、不能进行因式分解， D、，因式分解正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）用提公因式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）代数式分解因式的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了是分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选A 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键． 【详解】解：A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3)40000 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式进行求解，再提取公因数计算即可； （2）提公因数再进行计算； （3）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 【易错必刷十一 十字相乘法】 1．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【答案】D 【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可． 【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴另一个因式是， 即， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是提取公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 【易错必刷十二 分组分解法】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 先将拆成，进而可化为两个多项式相乘的形式即可，对进行两次提取公因式即可． 【详解】解：原式：， ， ； 原式：， ， ． 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【易错必刷十三 因式分解的应用】 1．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用完全平方公式因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．根据四部分的面积和为，即，因此正方形的边长为． 【详解】解：， 大正方形的边长为， 故选：D． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）与之积等于的因式为 ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴与之积等于的因式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 3．（23-24七年级上·上海·期末）阅读理解： 已知x3－8有一个因式x－2，我们可以用如下方法对x3－8进行因式分解． 解：设x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b） 因为 （x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b 所以 a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8 所以 a＝2，且b＝4 所以 x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4） 这种分解因式的方法叫做待定系数法． (1)已知x3＋27有一个因式x＋3，用待定系数法分解：x3＋27． (2)观察上述因式分解，直接写出答案： 因式分解：a3＋b3＝ ；a3－b3＝ ． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）设，根据，可得，且，且，即可求解； （2）令x为a，底数3为b，可得，同理，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴，且，且， ∴， ； （2）由（1）得：， 令x为a，底数3为b， ∴； 同理可得：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，明确题意，理解阅读材料，利用类比思想解答是解题的关键． 【易错必刷十四 因式分解的新定义计算题】 1．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论： ①； ②； ③若是一个完全平方数（即，是正整数），则； ④若是一个完全立方数（即，是正整数），则． 正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据新定义：正整数的最佳分解逐一判断即可. 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故② 错误； 若是一个完全平方数（即，是正整数），且，则，故③正确； 若是一个完全立方数（即，是正整数），且，则，故④正确． 综上，正确的有3个； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的应用，读懂新运算，正确理解正整数的最佳分解是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）用“*”定义一种运算：．对于，因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据新运算的定义可得，再综合利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，理解新运算的定义是解题关键． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy． （1）计算x☆（x2﹣1）； （2）将x☆16的结果因式分解． 【答案】（1）x；（2）x（x＋4）（x﹣4） 【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义化简，分解即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得： 原式＝x3﹣x（x2﹣1） ＝x3﹣x3＋x ＝x； （2）根据题中的新定义得： 原式＝x3﹣16x ＝x（x2﹣16） ＝x（x＋4）（x﹣4）． 【点睛】此题考查了整式的混合运算及提公因式和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【易错必刷十五 因式分解的规律计算题】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）观察下列多项式的因式分解过程： ； ； ； ……； 按此规律，把多项式因式分解的结果是 ． 【答案】/ 【分析】根据所给的因式分解的方式，对所求的式子进行运算即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，根据所给的因式分解的方式，总结出规律是解题关键． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键． （1）通过观察分析总结出规律即可； （2）利用（1）总结的规律求解即可． 【详解】（1）解： 答案为：． （2）解：① ； ② ． 学科网（北京）股份有限公司 $$