专题02 因式分解70道计算题专项训练（7大题型）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教2024版）

专题02 因式分解70道计算题专项训练（70大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典例题一 提公因式法分解因式】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： 3．（23-24七年级上·四川达州·期中）已知，，求的值 4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解 (1)； (2)． 5．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）先分解因式，再求值： 其中 ， 7．（23-24七年级上·辽宁本溪·期中）（1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 10．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【经典例题二 方差公式分解因式】 11．（23-24七年级上·福建泉州·期中）因式分解：． 12．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； 13．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）把下列各式分解因式： (1) (2) 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）分解因式 (1) (2) (3) 15．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 16．（23-24七年级上·广东清远·期中）先把因式分解，然后计算求值，其中，． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 18．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得； ②，反过来，得______×______； ③，反过来，得____． 利用上面材料中的方法计算：． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）设是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由． （2）若，，且，求的值． 20．（23-24七年级上·辽宁锦州·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是　　　　．（请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)的个位数字是 (3) 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 21．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 22．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 23．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 25．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若，求的值． 26．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）（1）化简再求值：，其中满足； （2）已知．求的值． 27．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）阅读理解： 例：因式分解． 解：设． 原式． 解决问题：请你模仿以上例题分解因式：． 28．（23-24七年级上·广西桂林·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料分析：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 实践探索：上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”，请你结合上述解题思路，自己完成下列题目： 因式分解：； 29．（23-24七年级上·广东·期末）学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 30．（23-24七年级上·浙江杭州·单元测试）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 31．（24-25七年级上·全国·单元测试）分解因式： (1)． (2)． 32．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）因式分解： (1)； (2)． 33．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）计算； （2）分解因式：． 34．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）因式分解 (1)； (2)． 35．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）把下列各式分解因式： (1) ； (2) 36．（23-24七年级上·辽宁辽阳·期中）分解因式． (1)； (2)． 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 38．（23-24七年级上·福建漳州·期末）给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中，． 39．（23-24七年级上·山东济宁·期末）（1）计算：①， ②． （2）上述计算所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？ （3）分解因式： ①；②． 40．（2024七年级上·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【经典例题五 综合运用公式法分解因式】 41．（24-25七年级上·北京·期中）分解因式：． 42．（24-25七年级上·北京·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) 43．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）计算：； （2）因式分解：． 44．（24-25七年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 45．（23-24七年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（23-24七年级上·广东茂名·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 47．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下列各题因式分解： (1)； (2)先因式分解，再计算求值：，其中，． 48．（24-25七年级上·重庆·期中）（1）因式分解：． （2）先化简，再求值：，其中，． 49．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）若定义一种运算：， 如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； 50．（24-25七年级上·全国·单元测试）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 【经典例题六 十字相乘法】 51．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 52．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 53．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1) (2)． 54．（24-25七年级上·全国·课后作业）将下列各式进行因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 55．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； 56．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 57．（23-24七年级上·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 58．（23-24七年级上·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 59．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；②． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． 60．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【经典例题七 分组分解法】 61．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 62．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）分解因式： (1) (2) 63．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 64．（23-24七年级上·江西吉安·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 65．（23-24七年级上·山东淄博·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 66．（23-24七年级上·全国·假期作业）观察下列因式分解的过程： ① （分成两组） （直接提取公因式） ； ② （分成两组） （直接运用公式） ． 请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 67．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）小林和小王碰到了一个难题：将因式分解． 这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 我们可以尝试先将它配上中间项，如，使其前面三项变成一个完全平方式，得到，再尝试用平方差公式因式分解． (1)根据小王说的方法将因式分解． (2)依照上述方法将因式分解． 68．（23-24七年级上·广西来宾·期中）阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ． 请使用分组分解法解决以下问题： (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由． 69．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 70．（23-24七年级上·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 因式分解70道计算题专项训练（70大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典例题一 提公因式法分解因式】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，得，提取公因式，乘方计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，提取公因式，乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据同底数幂乘法的逆运算，得， ∴ ． 3．（23-24七年级上·四川达州·期中）已知，，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，先把所求式子因式分解得到，再根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）直接提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 5．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键； （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）直接利用提公因式法分解因式即可； （4）直接利用提公因式法分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）先分解因式，再求值： 其中 ， 【答案】，250 【分析】本题考查了运用因式分解进行代数式求值的能力，先对该多项式进行因式分解，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴当，，，时， 原式 ． 7．（23-24七年级上·辽宁本溪·期中）（1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 【答案】（1）；（2）； 96． 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）提出公因式，即可求解； （2）先利用提公因式法解答，再把代入，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 当时，原式． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，提公因式法进行因式分解等知识．熟练掌握完全平方公式，提公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据完全平方公式，提公因式法进行因式分解，求解作答即可． 【详解】解：方法一： ． 方法二： ． 10．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 【经典例题二 方差公式分解因式】 11．（23-24七年级上·福建泉州·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握并灵活选择因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提出公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）分解因式 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了因式分解： （1）利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （3）利用平方差公式进行因式分解，即可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解： 15．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式即可解决． 【详解】解：， ∴当n为任意正整数时，能被8整除． 16．（23-24七年级上·广东清远·期中）先把因式分解，然后计算求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，先利用平方差公式分解因式，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【答案】不正确，正确的解题过程见解析． 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解平方差公式的结构是关键． 分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可． 【详解】解：不正确，正确的解题过程如下： 原式 ． 18．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得； ②，反过来，得______×______； ③，反过来，得____． 利用上面材料中的方法计算：． 【答案】②、；③； 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，约分，是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，约分即得出答案． 【详解】解：①，反过来，得； ②，反过来，得； 故答案为：，； ③，反过来，得． 故答案为：； 利用上面材料中的方法计算： 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）设是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由． （2）若，，且，求的值． 【答案】（1）能，；（2）11 【分析】此题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把代入确定出的值即可； （2）原式变形后，将已知等式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式， 当时，， ，即， 解得：； （2）由题知：， ， 同理：， ， 由，知：，， ，即， ， ， 则． 20．（23-24七年级上·辽宁锦州·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是　　　　．（请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)的个位数字是 (3) 【答案】(1)D (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）将2变形为，再逐步利用平方差公式计算得到结果为，找到个位数按照循环的规律，即可得到答案． （3）用进行分解即可得到答案． 【详解】（1）如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2） ∵，，，，，…… ∴个位数按照循环， ∵， ∴与的个位数相同，即为1， 故答案为：1 （3） 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 21．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 22．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 23．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)1000 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）运用完全平方公式计算，即可求解； （2）运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式；先求出，，，再利用完全平方公式对原式进行变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 26．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）（1）化简再求值：，其中满足； （2）已知．求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将整体代入计算即可． （2）先求解，，把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式 ． （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ； 27．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）阅读理解： 例：因式分解． 解：设． 原式． 解决问题：请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，仿照所求的求解方式进行解答即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：设， ． 28．（23-24七年级上·广西桂林·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料分析：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 实践探索：上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”，请你结合上述解题思路，自己完成下列题目： 因式分解：； 【答案】 【分析】本题考查的是整体思想的应用，换元法的理解，利用完全平方公式分解因式，设，则原式可化为，再把代入即可得到答案． 【详解】解：设， ∴ 29．（23-24七年级上·广东·期末）学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】(1)④ (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． （1）根据两数差的完全平方公式进行作答即可； （2）根据题干中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式， 故答案为：④ （2）解：， 设， 原式 ． 30．（23-24七年级上·浙江杭州·单元测试）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【答案】(1)两数和的完全平方公式 (2)不彻底， (3) 【分析】本题主要考查了因式分解及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的前提， （1）根据完全平方公式作答即可； （2）根据因式分解的定义及完全平方公式作答即可； （3）根据换元法及完全平方公式因式分解即可； 【详解】（1）解：第二步到第三步使用的是公式， 即两数和的完全平方公式， 故答案为：两数和的完全平方公式； （2）解：∵， ∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是， 故答案为：不彻底，； （3）解：设， ． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 31．（24-25七年级上·全国·单元测试）分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 32．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 33．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）计算； （2）分解因式：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算、因式分解，熟记乘法公式是解答的关键． （1）利用平方差公式简便计算即可； （2）先利用平方差公式求解，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 34．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法等． （1）先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）把下列各式分解因式： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的因式分解：提公因式法与公式法；一般步骤是：先考虑提公因式法，再考虑公式法；注意因式分解要进行到再也不能分解为止； （1）提取公因式即可； （2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（23-24七年级上·辽宁辽阳·期中）分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 38．（23-24七年级上·福建漳州·期末）给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中，． 【答案】（1）见解析；（2），． 【分析】（1）直接选取两个单项式相减再分解因式即可； （2）直接分解因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解：（1）a2-b2=(a+b) (a-b)；b2-a2=(b+a) (b-a)； a2-2ab=a(a-2b)；2ab-a2=a(2b-a)； b2-2ab=b(b-2a)；2ab-b2=b(2a-b)； （2）， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 39．（23-24七年级上·山东济宁·期末）（1）计算：①， ②． （2）上述计算所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？ （3）分解因式： ①；②． 【答案】（1）①；②；（2）可以；利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式因式分解；（3）①；② 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的计算，因式分解以及规律性问题． （1）首先根据多项式乘以多项式的方法进行计算； （2）利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式因式分解； （3）根据第（2）题的规律进行计算． 【详解】解：（1）； ； （2）可以；利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式因式分解； （3）由（1）得； ②． 40．（2024七年级上·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题五 综合运用公式法分解因式】 41．（24-25七年级上·北京·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ． 42．（24-25七年级上·北京·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． （2）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了平方差公式，提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据平方差公式求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 44．（24-25七年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）提取公因式即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可； （4）先计算整式的乘法运算，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 45．（23-24七年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）用提公因式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 46．（23-24七年级上·广东茂名·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可． 【详解】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 47．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下列各题因式分解： (1)； (2)先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）用完全平方公式，进行因式分解； （2）用平方差公式，进行因式分解，再代入求值． 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，难度一般，仔细运算即可． 【详解】（1）解：； （2）， 当，时， ． 48．（24-25七年级上·重庆·期中）（1）因式分解：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了因式分解和整式的化简求值： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项去中括号，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 49．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）若定义一种运算：， 如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据已知运算法则计算即可； （2）综合提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 50．（24-25七年级上·全国·单元测试）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题． （1）①将后三项分为一组，后三项符合完全平方公式特征，分解后再用平方差公式分解即可； ②将一、二两项分一组，三、四两项分一组，分别用提取公因式法因式分解，再提取整体，即得答案； （2）先用②的方法因式分解得，再将，代入，即得答案． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 【经典例题六 十字相乘法】 51．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再继续利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 52．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 53．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）提取公因式即可求解； （2）利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 54．（24-25七年级上·全国·课后作业）将下列各式进行因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了选用合适的方法进行因式分解即可． （1）用提公因式法分解因式即可． （2）（3）（7）（8）用公式法分解因式即可． （4）（5）综合运用提公因式以及公式法分解因式即可 （6）用十字相乘法分解因式即可， 【详解】解∶（1） （2）； （3） （4） （5） （6） （7） （8） 故答案为：，，，，，，，． 55．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法是解决本题的关键． （1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解． （2）运用公式法进行因式分解． （3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解． （4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ＝ ＝． （2） ＝ ＝ ＝． （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 56．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 57．（23-24七年级上·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键． （1）通过观察分析总结出规律即可； （2）利用（1）总结的规律求解即可． 【详解】（1）解： 答案为：． （2）解：① ； ② ． 58．（23-24七年级上·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 59．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；②． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式. ∴原式. 60．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 【经典例题七 分组分解法】 61．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 62．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）先提公因式，然后再运用完全平方公式继续分解； （2）采用分组分解法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 63．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 64．（23-24七年级上·江西吉安·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 65．（23-24七年级上·山东淄博·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 66．（23-24七年级上·全国·假期作业）观察下列因式分解的过程： ① （分成两组） （直接提取公因式） ； ② （分成两组） （直接运用公式） ． 请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）． （2） ． 67．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）小林和小王碰到了一个难题：将因式分解． 这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 我们可以尝试先将它配上中间项，如，使其前面三项变成一个完全平方式，得到，再尝试用平方差公式因式分解． (1)根据小王说的方法将因式分解． (2)依照上述方法将因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法，公式法分解因式； （1）将写成a，再利用分组分解法以及完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可； （2）将写，再根据分组分解法，完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解: （2） 68．（23-24七年级上·广西来宾·期中）阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ． 请使用分组分解法解决以下问题： (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解分组分解法，理解题意并掌握分组分解法是解题的关键． （1）运用题中所给定的方法即分组分解法因式分解即可； （2）运用分组分解法可得，再根据推导，从而得解． 【详解】（1）解： （2）因为 所以 所以， 所以． 因为，， 所以， 所以 所以． 69．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 70．（23-24七年级上·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【答案】(1)； (2)①；②当，时，代数式有最小的值，最小的值是 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 学科网（北京）股份有限公司 $$