专题01 因式分解重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教2024版）

专题01 因式分解重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 3有 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 3有 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 知识点01 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 知识02分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 知识03十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（　　） A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y） C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n） D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2 2．（23-24七年级上·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（2024·上海静安·二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 1．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 3．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【经典例题三 公因式】 【例3】（23-24七年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 3．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（23-24七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）分解因式：= 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 判断能否用公式法分解因式】 【例5】（23-24七年级上·湖南张家界·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 3．（23-24七年级上·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【经典例题六 平方差公式分解因式】 【例6】（23-24七年级上·上海闵行·期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：，将此多项式因式分解的结果是：．再取两个值，如：，那么各个因式的值是：，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式以及，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（    ） A．221820 B．222024 C．222180 D．202422 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（24-25七年级上·全国·期中）下面是小禾同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并解答后面的问题． 解：原式  第一步     第二步     第三步     第四步 (1)在上述过程中，第一步依据的乘法公式是 ； (2)第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ； (3)第 步出现错误，错误的原因是 ； (4)因式分解正确的结果为 ． 【经典例题七 完全平方公式分解因式】 【例7】（23-24七年级·上海·假期作业）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024七年级上·上海·专题练习）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A．x B．-x C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【经典例题八 综合运用公式法分解因式】 【例8】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西·阶段练习）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）在实数范围内分解因式： 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【经典例题九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）分解因式 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) 【经典例题十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例10】（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）计算： ． 3．（23-24七年级上·山东威海·期中）简便计算： (1) (2) 【经典例题十一 十字相乘法】 【例11】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【经典例题十二 分组分解法】 【例12】（23-24七年级上·全国·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【经典例题十三 因式分解的应用】 【例13】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 1．（2024七年级上·重庆长寿·学业考试）若，则称x是以10为底N的对数．记作：． 例如：，则；，则． 对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 2．（23-24七年级上·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期末）若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”， 为的“进步起点”．例如，，则是“进步数”， 为的“进步起点”． (1)是“进步数”，它的“进步起点”为，则 ；是的“进步起点”，则 ． (2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值． (3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：扬、爱、我、州、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　    　） A．我爱美丽 B．扬州美丽 C．我爱扬州 D．美我扬州 5．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 6．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 7．（23-24七年级上·云南文山·期末）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海普陀·期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）（ ）；（ ）； ； 10．（23-24七年级上·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 12．（2024七年级上·上海·专题练习）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 14．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 15．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 因式分解重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 3有 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 3有 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 知识点01 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 知识02分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 知识03十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记定义并正确理解是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，据此作答即可． 【详解】A． 等式右边不是整式积的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C． 分母中含有未知数，不是整式乘积形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D． 是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（　　） A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y） C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n） D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2 【答案】B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、（x+y）2﹣x2＝2xy+y2＝y（2x+y），把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； C、3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n+1），故此选项不符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（2024·上海静安·二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 1．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 3．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 【经典例题三 公因式】 【例3】（23-24七年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 3．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【答案】 【分析】运用平方差公式分解因式即可. 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止. 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（23-24七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义， A选项等式右边不是整式乘积的形式，故A错； B选项属于整式乘法，故B错； C符合因式分解的定义，故C正确； D选项属于因数分解，故D错． 故答案为：C 【点睛】本题考查因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解．注意区分整式乘法和因式分解，这是易混点． 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）分解因式：= 【答案】/ 【分析】提取公因式，同类项合并即可解得． 【详解】 【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）提取公因式即可； （）提取公因式即可； （）提取公因式即可； 本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题五 判断能否用公式法分解因式】 【例5】（23-24七年级上·湖南张家界·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 【详解】令x2−3x−2=0， 则a=1，b=−3，c=−2， ∴x== ∴x2−3x−2=. 故答案为. 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式. 3．（23-24七年级上·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【经典例题六 平方差公式分解因式】 【例6】（23-24七年级上·上海闵行·期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：，将此多项式因式分解的结果是：．再取两个值，如：，那么各个因式的值是：，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式以及，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（    ） A．221820 B．222024 C．222180 D．202422 【答案】C 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式将因式分解，根据题意即可进行解答． 【详解】解：， 当时，， ∴可以产生的密码是：202418，202422，222024，221820，182220，182024； 不能产生的密码是222180， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法和公式法逐一进行因式分解，即可得到答案． 【详解】解：A、，能分解因式，不符合题意，选项错误； B、，不能分解因式，符合题意，选项正确； C、，能分解因式，不符合题意，选项错误； D、，能分解因式，不符合题意，选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解． 连续两次利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为： 3．（24-25七年级上·全国·期中）下面是小禾同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并解答后面的问题． 解：原式  第一步     第二步     第三步     第四步 (1)在上述过程中，第一步依据的乘法公式是 ； (2)第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ； (3)第 步出现错误，错误的原因是 ； (4)因式分解正确的结果为 ． 【答案】(1)平方差公式（或） (2)乘法分配律 (3)二；括号前是图“”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号 (4) 【分析】（）根据平方差公式即可求解； （）根据乘法分配律即可求解； （）根据去括号法则即可判断求解； （）根据平方差公式和去括号法则进行分解即可求解； 本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：在上述过程中，第一步依据的乘法公式是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解：第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：第二步出现错误，错误的原因是括号前是图“”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是图“”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号； （4）解：原式 故答案为：． 【经典例题七 完全平方公式分解因式】 【例7】（23-24七年级·上海·假期作业）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、 ，该选项无法用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、 ，该选项无法用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、 ，该选项无法用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、 ，该选项可用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用，熟记公式法因式分解的常见公式是解决问题的关键． 1．（2024七年级上·上海·专题练习）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A．x B．-x C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式即可一一判定． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题； D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： （1）由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为所以型2块，型4块，型4块的总面积为； （2）把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （3）把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长与面积，所以从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板满足要求，据此求出正方形边长，进而求出其面积即可． 【详解】（1）解：1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： （2）解：从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 【经典例题八 综合运用公式法分解因式】 【例8】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，因式分解正确，故不符合题意； B、，因式分解正确，故不符合题意； C、不能进行因式分解， D、，因式分解正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山西·阶段练习）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把多项式进行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴多项式与的公因式是； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，正确的求出多项式的公因式． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）在实数范围内分解因式： 【答案】 【分析】此题考查分解因式，先配方，然后利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 【经典例题九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：选项A，B中的等式不成立； 选项C中，，正确． D选项中，多项式在实数范围内不能因式分解； 故选C． 1．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 提取公因式后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 原式 ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）分解因式 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因子3，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先提公因子，再利用平方差公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可； （5）先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 【经典例题十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例10】（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解， 本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可． 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，， ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 3．（23-24七年级上·山东威海·期中）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行变形进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题十一 十字相乘法】 【例11】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，利用十字相乘法，即可确定的值，进一步即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数的个数为． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)5或或1或 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 【经典例题十二 分组分解法】 【例12】（23-24七年级上·全国·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． ∵，， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【经典例题十三 因式分解的应用】 【例13】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，把因式分解后判断即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 1．（2024七年级上·重庆长寿·学业考试）若，则称x是以10为底N的对数．记作：． 例如：，则；，则． 对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义运算，因式分解的应用，首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解 【详解】解： 故选：C 2．（23-24七年级上·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，因式分解，先对两个多项式分解因式，根据公因式的定义即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴多项式与的公因式是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期末）若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”， 为的“进步起点”．例如，，则是“进步数”， 为的“进步起点”． (1)是“进步数”，它的“进步起点”为，则 ；是的“进步起点”，则 ． (2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值． (3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不是“进步数”，理由见详解 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）直接应用新定义的运算规则，即可求解； （2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出； （3）假设是“进步数”，得到，推出方程没有整数解，据此即可求解． 【详解】（1）解：是“进步数”，它的“进步起点”为， 则， 是的“进步起点”，则， 整理得，即， 解得：（舍去），， 故答案为：；； （2）解：由题意得：， ，， ， ， 即， 、都是正整数， ，都是正整数， ， 或或， 解得：（舍）或或（舍）， 的值为； （3）解：假设是“进步数”， 由题意得， 整理得：， 即， 故， 为正整数， 故与题意矛盾， 不是“进步数”． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：扬、爱、我、州、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　    　） A．我爱美丽 B．扬州美丽 C．我爱扬州 D．美我扬州 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，将式子进行合理变形是解题的关键．运用提取公因式法，将原式变形为，即可得出答案． 【详解】解： ， 由题意可知，可以表示为：我爱扬州； 所以可以表示为：我爱扬州； 故选：C． 5．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 提取公因式后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 原式 ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 6．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 7．（23-24七年级上·云南文山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海普陀·期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ． 【答案】 【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和． 【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3， ∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2， ∴整数k的值为：±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）（ ）；（ ）； ； 【答案】 【分析】利用幂的乘方和积的乘方法则，即可得出结果；利用平方差公式，即可得出结果；利用完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： ． 故答案为： ∵； ， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关法则．积的乘方：；平方差公式：；完全平方公式：． 10．（23-24七年级上·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 12．（2024七年级上·上海·专题练习）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组法因式分解是解题的关键． 根据分组法分解因式，得出或，找出三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【答案】（1）1；25；121；361（2）（3）见解析 【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式； （3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）证明：∵ ∴ 14．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 15．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$