多项式乘多项式与几何面积专题练习2024-2025学年人教版数学八年级上册

多项式乘多项式与几何面积讲义 一、多项式乘多项式的基本概念 多项式乘多项式，就是把一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，对于两个多项式 (a + b)和 (c + d)，它们相乘的展开式为： (a + b)(c + d) =a(c + d)+b(c + d)=ac + ad + bc + bd 二、与几何面积的联系 利用几何面积理解多项式乘法的意义 通过几何面积来理解多项式乘多项式，有助于我们更直观地把握其运算规则和结果。尤其是对于一些较为抽象的多项式乘法，当我们把它转化为具体的几何图形的面积计算时，能够增强对代数式变形的理解，还可以帮助我们更好地记忆和推导相关的公式。 【例题】如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）    (1)用含a，b的整式表示花坛的面积； (2)若3，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？ 【分析】（1）利用大长方形的面积减去小长方形的面积进行求解即可； （2）将的值代入（1）中结果，进行求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：花坛的面积是平方米． （2）当，时， （平方米）； （元）. 答：建花坛的总工程费为103500元． 【总结】本题考查多项式乘多项式与图形面积的问题，正确的识图，正确的列出代数式是关键． 练习 1．如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是 . 2．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（2a+3b）的正方形，则需要C类卡片 张． 4．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． 5．（1）某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，甬道所占面积为多少 ？（用含 x的式子表示） （2）该小区还有块长方形场地，将其分成了下图中的 9 个部分用以种植花卉，其中有⑤和⑨是正方形，其余的为长方形． I.已知③④⑤⑥四个部分的周长分别为a 、10 、8 、b，直接写出长方形场地的面积 （用含 a 、b 的式子表示）； II.事实上，只要知道三个部分的周长就可以求出长方形场地的面积，直接写出这三个部分的序号，要求写出两组． 6．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 7．阅读材料并解答问题： 我们已经知道，公式可以用平面图形面积来表示．为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形组合如图3所示的网格．他发现图1中阴影部分的面积可以用来表示代数恒等式． (1)请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：________； (2)仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示； (3)图4的矩形面积能表示：，（p，q为正整数）直接写出m的值______． 8．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形. （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积. 方法1： ； 方法2： ； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系： ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b=3，ab=2 , 求的值. 9．阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）= a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=29，求a 2+b2+c2的值； （3）小明同学打算用x张边长为a和y张边长为b的小正方形，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(3a+5b)(4a+7b)的长方形 答案 1．S4=4S3 【分析】把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系. 【详解】设S3的边长为a，S4的边长为b，则， ∴， 又∵2S1－S2的值与AB的长度无关， ∴2a－b=0，即2a=b， ∴， ∴S4=4S3. 2．23 【分析】本题考查多边形的乘法与图形的面积．设，，用含，的式子表示，，，根据列方程，即可解得答案． 【详解】解：设，， 三个正方形，，的边长分别为4，3，2， ，，， ，，， ， ， 化简整理得：， ，即大长方形的面积为23， 故答案为：23． 3．12． 【分析】根据面积关系可得（2a+3b）（2a+3b）＝4a2+12ab+9b2，再结合小纸片的面积进行分析. 【详解】边长为（2a+3b）的正方形的面积为（2a+3b）（2a+3b）＝4a2+12ab+9b2， A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab， 则可知需要C类卡片12张． 故答案为12． 4．10 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张， 故答案为：10． 5．（1）；（2）I. ；II. ③⑤⑦的周长或②④⑨的周长. 【分析】本题考查了生活中的平移、列代数式，解决本题的关键是利用平移的性质． （1）根据平移性质将甬道所在长方形平移到靠近长方形场地的边上，利用两个正方形的面积差即可求解； （2）I.根据③④⑤⑥四个部分的周长分别为a、10、8、b，设第⑨个正方形边长为x，则第③个长方形的一边为x，设另一边为y，即可求解； II.用字母表示长方形场地的边长，进而表示出面积，即可知道三个部分的周长求出长方形场地的面积． 【详解】解：（1），或者； （2）①设第⑨个正方形边长为x，则第③个长方形的一边为x，设另一边为y， 第④、⑤个正方形周长为10、8， 第④个长方形边长为3、2，第⑤个正方形边长为2， 则第⑥个长方形一条边为2，另一条边为x， 第③个长方形的周长为a， 长方形场地的面积为： II.如图：图形中边长分别用图中字母表示；则长方形场地的面积为， 故当已知⑤③⑦的周长时，可得，、的值，进而可求长方形场地的面积； 故当已知⑨②④的周长，可得，、的值，就可以求出长方形场地的面积． 6．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解； （3）由图得，，，由线段和差求出，，分别求出，，由多项式不含某一项的条件即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，多项式不含某一项的条件为这一项的系数为零，多项式混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：； （3）解：由图得： ， ， ， ， ， ， ， S的值与无关， ． 7．(1) (2)图见解析 (3)25，14，11，10 【分析】（1）用两种方式表示出阴影部分的面积即可解答； （2）根据给出的恒等式，画出的几何图形的长为，宽为即可； （3）先将的左边展开可得由、，再根据p、q为正整数确定p、q，然后确定的值即可． 【详解】（1）解：由矩形的面积公式可得： 通过数正方形和长方形的面积可得矩形的面积为： 则． 故答案为． （2）解：如图：画出长为，宽为的矩形即为所求． （3）解：∵ ∴ ∴、 ∵p，q为正整数 ∴或或或 ∴10，11，14， 25． 8（1）S阴=（m＋n）2－4mn；S阴（m-n）2；（2）（m-n）2=（m＋n）2－4mn；（3）6或-6 【分析】（1）方法1：利用大正方形的面积减去四个长方形的面积； 方法2：直接用m-n算出阴影部分的边长求面积即可； （2）由（1）中两种算面积的方法可得到之间的等量关系； （3）先将因式分解，再利用（2）的结论计算即可. 【详解】解：（1）方法1：S阴=S正方形－S长方形   =（m＋n）2－4mn 方法2：由图2可得，阴影部分的边长为m-n，故S阴=（m-n）2 （2）由（1）中两种算面积的方法可得：（m-n）2=（m＋n）2－4mn （3）∵a+b=3，ab=2 ∴（a-b）2=（a+b）2－4 ab=1 ∴a-b=±1 当a-b=1时, = = =6 当a-b=-1时， = = =-6 9．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）23；（3）88张. 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； （2）将a+b+c=9，ab+bc+ac=29代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将(3a+5b)(4a+7b)展开后即可得出答案. 【详解】解：(1)正方形的面积可表示为=(a+b+c)2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； (2)∵a+b+c=12，ab+bc+ac=29， ∴由(1)可知：a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=81-29×2=23， （3）∵== ∴需要边长为a的小正方形12张，变成为b的小正方形35张，邻边为a、b的长方形41张，总共需要12+35+41=88张. 学科网（北京）股份有限公司 $$