精品解析： 湖南省常德市桃源县文昌中学 2024-2025学年上学期九年级数学 期中测试卷

2024年下学期九年级期中检测试卷（数学） 考试时间：120分钟满分：120分 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意； B、中分母含有未知数，不是整式方程，故不合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、当时，的系数为0，故不是一元二次方程，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象在一、三象限 B. 当时，随增大而减小 C. 若在该函数图象上，则 D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 4. 用配方法解一元二次方程将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．用配方法把移项，配方，化为，即可得到，从而可得答案． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，，即， ∴，， ∴． 故选：C． 5. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数．根据8月投放台数，列出用增长率表示9月和10月的投放台数，再根据题意列方程即可． 【详解】根据题意，计划9月投放台，计划10月投放台，所以可列方程． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 9. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 10. 如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， 又由图象可得，，， ∴，故错误； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若反比例函数的图象在每一象限内，函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系．根据反比例函数反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，即可得到反比例函数的系数小于0，由此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大， ， 解得． 故答案为：． 12. 关于的方程的一个根是1，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入，即可求解．本题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 【详解】解：关于的方程的一个根是1， ∴将代入， ， 解得：， 故答案为：1． 13. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义，而是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段，点M是黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 若，β均为锐角，且|sin﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则+β＝_____． 【答案】90° 【解析】 【分析】由绝对值及一个数平方的非负性推出sin-=0，-tanβ=0，再由特殊角的三角函数值即可求出结果． 【详解】解：在|sin﹣|+（﹣tanβ）2＝0中， ∵|sin﹣|≥0，（﹣tanβ）2≥0， ∴sin﹣＝0，﹣tanβ＝0， ∴sin＝，tanβ＝， ∴＝30°，β＝60°， ∴+β＝90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了绝对值及一个数平方的非负性及特殊角的三角函数，解题关键是记牢特殊角的三角函数值． 15. 在中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．先根据解直角三角形求得，设，，利用勾股定理计算得，再根据三角函数的性质计算即可完成求解． 【详解】中，，即， 设，，其中， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点D、E分别是边、上的点，且，那么______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方． 根据推出，根据推出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 17. 已知m，n是方程的两个实数根，则_________ 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两实数根， ，， ， ． 故答案为：2023． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是________． 【答案】2020 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 三．解答题（共8小题） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）方程移项后，利用直接开平方根的方法解方程即可； （2）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴或， ∴ 20. 如图，，，，． （1）求的值； （2）求点B到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握正弦的定义，以及直角三角形的边角关系． （1）根据正弦的定义，即可解答； （2）根据同角的三角函数值，得出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作于点E， ∵， ∴， ∴． 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 【答案】（1）； （2）这个矩形的周长． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴， ∴这个矩形的周长为： ． 22. 某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ （2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）420千克 （2）80元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点， （1）利用月销售量，可求出月销售量； （2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论； 熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键． 【小问1详解】 根据题意得： （千克）， 答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克； 【小问2详解】 设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：销售单价应定为80元． 23. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数，反比例函数 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解函数解析式，图形面积的计算以及函数图象解不等式的解集，根据点与函数的关系可求解点的坐标与函数解析式，再观察图像得到函数的性质是解决本题的关键． （1）先将点代入中可求解m的值，再将点代入中可求解n的值，再将点A与点B代入中即可求解k与b的值； （2）先求出一次函数与y轴的交点，即点D，再根据即可求解； （3）不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值，观察函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴点， 将点与点代入中， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴点， 又∵点，点， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象，当时， 不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值， ∴或． 24. 小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． （1）当时，求水温关于开机时间的函数关系式； （2）求图中的值． （3）若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【小问1详解】 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： 【小问2详解】 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： 【小问3详解】 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 25. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE ＝∠C （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； （3）在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长（计算结果可含根号） 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD； （2）由直角三角形的性质，即可求得； （3）根据相似三角形的对应边成比例，求得． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADE=180°． ∵∠BFE=∠C， ∴∠AFB=∠EDA． ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠AED． ∴△ABF∽△EAD． （2）∵AB∥CD，BE⊥CD， ∴∠ABE=90°， ∵AB=4，∠BAE=30°， （3） 即 26. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． （1）求的长；（用含t的代数式表示） （2）连接，当与相似时，求t的值； （3）当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】（1） （2）的值为或1 （3）1或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （3）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，， 即：，解得：； 当时，， 即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∵，，，， ∴， ∵矩形， ∴， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去） 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级期中检测试卷（数学） 考试时间：120分钟满分：120分 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象在一、三象限 B. 当时，随增大而减小 C. 若在该函数图象上，则 D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 4. 用配方法解一元二次方程将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 5. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 9. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①④ 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若反比例函数的图象在每一象限内，函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______． 12. 关于的方程的一个根是1，则的值为________． 13. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 14. 若，β均为锐角，且|sin﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则+β＝_____． 15. 在中，，则______． 16. 如图，点D、E分别是边、上的点，且，那么______． 17. 已知m，n是方程的两个实数根，则_________ 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是________． 三．解答题（共8小题） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，，，，． （1）求的值； （2）求点B到直线的距离． 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 22. 某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ （2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 23. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 24. 小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． （1）当时，求水温关于开机时间的函数关系式； （2）求图中的值． （3）若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 25. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE ＝∠C （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； （3）在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长（计算结果可含根号） 26. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． （1）求的长；（用含t的代数式表示） （2）连接，当与相似时，求t的值； （3）当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $