精品解析：山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学试题 2024.11 主考学校：庆云一中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解绝对值不等式及指数不等式求解集合，再应用交集定义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以. 由，得，所以，所以. 故选：D. 2. 以下有关不等式的性质，描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，，则， 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可说明选项A、D错误；利用不等式的性质得选项B正确；利用作差法可得选项C错误. 【详解】A.当时，，选项A错误. B.由 得，故，选项B正确. C. ， 由得，，所以，故，选项C错误. D.令，满足，，，，结论不正确，选项D错误. 故选：B. 3. 已知向量，，若与平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得. 【详解】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A 4. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 180 B. 200 C. 220 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义可求得，再由等差数列的前n项和公式计算可得结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，可得； 解得， 因此. 故选：C 5. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】由可得，解之得或， 设：，对应， ：，其解集对应， 则是的充分不必要条件等价于A是B的真子集，所以. 故选：A 6. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围. 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 7. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，根据，可得，计算即可. 【详解】由，可得， 当时，， 因为方程在区间上恰有3个实数根， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为“的图象有三个交点”，然后作出的图象，根据经过点以及与相切分析出的临界值，则的范围可求. 【详解】因为有三个不同零点，所以有三个不同实根， 所以的图象有三个交点， 在同一平面直角坐标系中作出的图象， 当经过点时， 代入坐标可得，解得； 当与的图象相切时， 设切点为，因为此时，所以， 所以切线方程为，即， 所以，可得； 结合图象可知，若的图象有三个交点，则， 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解函数零点的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. ， C. 若，， D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式的三个要求“一正，二定，三相等”来判断各个选项即可. 【详解】A选项：因为，故不满足“一正”，A选项错误； B选项：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以B选择正确； C选项：，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以C选项正确； D选项：因为，所以，当且仅当时取等号，但无解，所以，所以D选项错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个零点 B. 是的极小值点 C. 是的对称中心 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得函数的零点可判断A；求得导函数，求得的根，可得极小值点，从而可判断B；求得的对称轴，可得的对称中心判断C；利用函数在上单调递增可判断D. 【详解】由，解得或，所以函数有两个零点，故A正确； 由，得， 令，解得或， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，故B正确； 由函数的对称轴为，此时的对称中心是两个极值点的中点， 所以是的对称中心，故C不正确； 当时，，所以在上单调递增， 若，可得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列的各项均为负数，其前项和满足，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 为等比数列 D. 存在大于的项 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可得出的值，令，可得出关于的方程，可解出的值，可判断A选项；由递推关系结合数列的单调性可判断B选项；假设数列为等比数列，推导出，求出的值，可判断C选项；利用反证法可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，由题意可得，因为，所以，， 当时，由可得，整理可得， 因为，解得，A对； 对于B选项，当时，由可得， 上述两个等式作差可得， 因为，即， 所以，数列为递减数列，B对； 对于C选项，若数列为等比数列，则， 因为，，，则， 设等比数列的公比为，则，解得，不合乎题意， 所以，数列不是等比数列，C错； 对于D选项，假设对任意的，， 则， 此时，，与假设矛盾，假设不成立，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题在推断选项CD的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导． 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可得，从而利用可求值. 【详解】因为三角形是正三角形，为中点， 所以，所以，又正三角形的边长为2，所以， 所以. 故答案为：. 13. 设，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用降幂公式化简可得，由已知可求得，再利用同角的三角函数的平方关系可求. 【详解】， 由，所以，所以， 因为，又，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 【答案】 ①. 1 ②. -2026 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为偶函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】由得，，， ∴，故是周期为的函数. ∵为偶函数，∴，∴， 令，得， 令，得. 在中，令，得， ∴. 令，得，故， 令，得，故. 由函数的周期性得， . 故答案为：1；-2026. 【点睛】方法点睛： ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤若，则函数的周期. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知中的三个角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若的角平分线交于，，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可； （2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即，又，所以； 【小问2详解】 ，即， 化简得， 所以， 所以所以， 当且仅当时取“=”， 所以，所以面积的最小值为. 16. 某企业计划引入新的生产线生产某设备，经市场调研发现，销售量（单位：台）与每台设备的利润（单位：元，）满足：（a，b为常数）.当每台设备的利润为36元时，销售量为360台；当每台设备的利润为100元时，销售量为200台. （1）求函数的表达式； （2）当为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1） （2）当为100元时，总利润取得最大值为20000元. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出的值即可得到函数的表达式； （2）根据函数的表达式得出利润的表达式，分段讨论出各段的最大值，比较后得到最大值. 【小问1详解】 由题意知， 得 故. 【小问2详解】 设总利润， 由（1）得 当时，， 在上单调递增， 所以当时，有最大值10000. 当时，，， 令，得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有最大值20000. 当时，. 答：当为100元时，总利润取得最大值为20000元. 17. 在数列中，，其前n项和为，且（且）. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项； （2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可. 【小问1详解】 因为，代入， 整理得， 所以， 以上个式子相乘得， . 当时，，符合上式，所以. 【小问2详解】 . 所以，① ，② ①②得， ， 所以. 由得：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若函数存在正零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单增区间是，无单减区间； （3）. 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标，由导函数求出切点处导函数的值得到切线斜率，写出切线方程； （2）代入参数后求导函数，由导函数求得单调区间； （3）令导函数为新的函数再求导，根据的取值进行分类讨论，利用函数单调性和函数零点的定义即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由题知，， 于是， 所以切线的斜率， 于是切线方程为，即 【小问2详解】 由已知可得的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以的单增区间是，无单减区间； 【小问3详解】 由（2）知，， 令，， 当时，. ①当时，可知，在内单调递增， 又，故当时，，所以不存在正零点； ②当时，，又， ， 所以存在满足， 所以在内单调递增，在内单调递减. 令，则当时，， 故在内单调递增，在内单调递减， 从而当时，，即， 所以， 又因为，所以，因此，，使得 即此时存在正零点； ③当时，，， 从而为减函数. 又，所以当时，. 故时，恒成立，又，故当时，， 所以函数不存在正零点； 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有正零点，由函数零点的定义需要找到两个正数的函数值符号相反.本题在分析过程中因为参数的值会影响导函数的值，所以对进行分类讨论，得到函数的单调性后再研究函数值. 19. 已知数列，从中选取第项、第项、…第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列. （1）写出2，8，4，7，5，6，9的三个长度为4的递增子列； （2）若数列满足，，其子列长度，且的每一子列的所有项的和都不相同，求的最大值； （3）若数列为等差数列，公差为d，，数列是等比数列，公比为q，当为何值时，数列为等比数列. 【答案】（1）2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列单调性以及子列长度的定义即可写出相应的递增子列； （2）依题意的取值尽量最小即可满足题意，由通项公式对它们的取值从小到大进行验证即可得出结果； （3）利用等差数列定义以及等比数列性质，由前三项构造等量关系即可得出当时，数列为等比数列. 【小问1详解】 根据题意可知，从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列即可得出符合题意的递增子列； 可取2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；2，4，6，9；2，5，6，9；4，5，6，9中任意三个； 【小问2详解】 因为长度，且的每一子列的所有项的和都不相同， 由可知， 为使的值最大，所以尽量使的取值最小即可， 从而的最小值为2，的最小值为5，取，， 因为，则的最小值为8，取； 若，，不符合题意； 若，因为，，，，； ，，，； ，以上数值均不相同.所以最小值为14，取. 当，，，均取最小值时，则，，，均取到对应的最大值， ， 所以的最大值为. 【小问3详解】 由数列为等比数列，得，， 又数列的公差为d，， 所以， 化简整理得， 又数列为等比数列，所以. 因为，所以， 于是，又，所以，即. 此时，，于是，即数列为等比数列， 综上可知，当时，数列为等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解子列定义以及子列长度，结合等差数列和等比数列性质即可解决相应问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 2024.11 主考学校：庆云一中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下有关不等式的性质，描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，，则， 3. 已知向量，，若与平行，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 180 B. 200 C. 220 D. 240 5. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. ， C. 若，， D. 的值域为 10. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个零点 B. 是的极小值点 C. 是的对称中心 D. 当时， 11. 已知数列的各项均为负数，其前项和满足，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 为等比数列 D. 存在大于的项 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______. 13. 设，当时，，则______. 14. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知中的三个角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若的角平分线交于，，求面积的最小值. 16. 某企业计划引入新的生产线生产某设备，经市场调研发现，销售量（单位：台）与每台设备的利润（单位：元，）满足：（a，b为常数）.当每台设备的利润为36元时，销售量为360台；当每台设备的利润为100元时，销售量为200台. （1）求函数的表达式； （2）当为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值. 17. 在数列中，，其前n项和为，且（且）. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若函数存在正零点，求的取值范围. 19. 已知数列，从中选取第项、第项、…第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列. （1）写出2，8，4，7，5，6，9的三个长度为4的递增子列； （2）若数列满足，，其子列长度，且的每一子列的所有项的和都不相同，求的最大值； （3）若数列为等差数列，公差为d，，数列是等比数列，公比为q，当为何值时，数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $