专题02 全等三角形动点问题专项训练（36道）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 全等三角形动点问题专项训练（36道） 【经典例题 全等三角形动点问题】 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则能够使与全等的时间为（    ） A． B．1或 C．1或 D．2或 2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，在点的运动过程中，运动时间为．若以点、、为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等．则t的值有（注：点与不重合）（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒个单位长度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时刻，与全等，此时点的运动速度为每秒（　　）个单位长度． A． B． C．或 D．或 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．88 C．88或62 D．18或70 7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动．当与全等时，点Q的速度为 ． 10．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在矩形中，，，延长至点，，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，回到点停止运动．当运动 秒时，与全等． 11．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，，，，点在线段上，以的速度，由点向点运动；同时，点在线段上，由点向点运动．设运动时间为，则当与全等时，点的运动速度为 ． 12．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为 (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为 ． 13．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 14．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 16．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为 ． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿向点D匀速移动，三点同时出发．当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是 ． 19．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为，当运动时间为 时，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 20．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    三、解答题 21．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当t为何值时，能使． 22．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的坐标分别为、且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于且不等于，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 25．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 26．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 27．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，______，当时，______． (2)如图1，当____时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 28．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动， (1)当与全等时，求点运动的时间． (2)若点运动速度变为，点P到达点C后继续在线段上向A点运动，其他条件不变，请问点P能否在点Q到达A点之前与点Q重合，若能，请求出点P的运动时间，若不能，请说明理由． 29．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 31．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在长方形中，，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）用含的代数式表示的长 ． （2）在点，运动的过程中，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 32．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 33．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形 中，，，点 从点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿作匀速移动，点 从点 出发沿向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)求． (2)在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你直接写出当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与全等的情况． 34．（22-23八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 35．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 36．（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，直线交坐标轴于C、D两点，已知点，． (1)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由； (2)点P、Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形动点问题专项训练（36道） 【经典例题 全等三角形动点问题】 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则能够使与全等的时间为（    ） A． B．1或 C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，运动时间为t时，，，分和两种情况，根据对应边相等列方程，即可求解． 【详解】解：，， ， 运动时间为t时，，， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，能够使与全等的时间为1或． 故选C． 2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ， ， 或， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上可知，点Q运动速度为或， 故选D． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，在点的运动过程中，运动时间为．若以点、、为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等．则t的值有（注：点与不重合）（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的额思想解决问题是关键．由题意可知，，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据全等三角形的对应边相等分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ①当点在线段上时， 若，则，此时点与点重合，不符合题意； 若，则， ， 解得：； ②当点在的延长线上时， 若，则， ， 解得：； 若，则， 则， 解得：， 即t的值有3个， 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒个单位长度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时刻，与全等，此时点的运动速度为每秒（　　）个单位长度． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，设当与全等时，点运动了秒，则，，又由，点为的中点，可得，，然后分和两种情况，根据全等三角形的性质得出一元一次方程解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设当与全等时，点运动了秒，则，， ∵，点为的中点， ∴，， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为单位长度秒； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为单位长度秒； 综上，当与全等时，点的运动速度为每秒个单位长度或个单位长度， 故选：． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．88 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形判定，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当，时，当，时，列方程即可求解，利用分类讨论的思想求解是解答此题的关键． 【详解】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ，， ， 解得：， ； 情况二：当，时， ，， ， 解得：， ， 综上所述，或70． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选：D。 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动．当与全等时，点Q的速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形性质，分两种情况讨论求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ， 设点，的运动时间为， 则，， ①当时，， 解得：， 则，， 故点的运动速度为， ②当时，，则， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为， ∴点Q的速度为或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在矩形中，，，延长至点，，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，回到点停止运动．当运动 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设运动时间为，则， 当时，即点在上运动时，， ， 解得：； 当时，即点在上运动时，, ， ， ， 解得：； 综上所述，当运动秒或秒时，与全等， 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，，，，点在线段上，以的速度，由点向点运动；同时，点在线段上，由点向点运动．设运动时间为，则当与全等时，点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，行程问题中的数量关系，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的判定和性质，找出行程问题的数量关系列式求解是解题，分类讨论思想的关键． 根据题意可得，，分类讨论：当时，，设点的速度为，由行程问题列式求解；当时，；当时，；由此即可求解． 【详解】解：已知，，，点在线段上，以的速度，设运动时间为， ∴，， ①如图所示，当时，，设点的速度为， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； ②如图所示，当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，； 综上所述，当与全等时，点的运动速度为或， 故答案为：或 ． 12．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为 (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为 ． 【答案】 2或10 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质： （1）由题意得，，，再根据线段的和差关系求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在射线上时，在上，当点在的反向延长线上，在延长线上时，根据全等三角形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时，在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故答案为：2或10. 13．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列代数式即可得解； （2）利用全等三角形的判定分，和，两种情况构造方程求解即可． 【详解】解：（1）运动秒，点运动的路程为． ． 故答案为：． （2）， ． 为的中点， ． 当与全等， 或． 当， ． ． ． （不合题意，舍去）． 当， ． ． ． ． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒后，使与全等， 厘米，点为的中点， 厘米， ， 要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，； 时，，； 即点的运动速度是厘米/秒或厘米/秒． 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分三种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当点在上，点在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 16．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为 ． 【答案】6或8 【分析】本题考查的是全等三角形与动点问题．先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 当，点在上，点在上，如图所示： 此时， ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 和重合，和重合，（不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或， 故答案为：6或8. 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿向点D匀速移动，三点同时出发．当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，（看成一个整体），进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是 ． 【答案】2或4/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ， ∴，， 解得，； ②当时 ∴，， 解得，， 综上所述，t的值是2或4， 故答案为：2或4． 19．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为，当运动时间为 时，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的性质，当和以P、Q、A为顶点的三角形全等时，存在和两种情况，根据全等三角形对应边相等求出的长度，即可求解． 【详解】解：由题意知，， 和以P、Q、A为顶点的三角形全等时，存在两种情况： 当时，， ； 当时，， ； 综上可知，当运动时间为或时，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 故答案为：或． 20．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 三、解答题 21．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当t为何值时，能使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．分当点F在点C上方时，当点F在点C下方时，两种情况利用全等三角形的性质求出的长，进而利用线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 当在上方时， ，， 当时，． ， ； 当在下方时， ，， 当时，， ， ， 当或时，能使． 综上所述，或． 22．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的坐标分别为、且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于且不等于，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积不大于且不等于，的范围为且； (3)存在这样的点使，的值是或． 【分析】（）利用非负性求出，即可确定出，， （）分点在和点在的延长线上表示出面积即可得出的范围； （）分点在和延长线延长线上即可得出结论； 本题考查了坐标与图形，非负数的性质，不等式的性质，全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况： 当在线段上时，，， ∴， ∵的面积不大于且不等于， ∴， 解得：； 当在线段的延长线上时，，， ∴， ∵的面积不大于且不等于， ∴，解得：； 综上可知：的面积不大于且不等于，的范围为且； （3）解：存在这样的点使，理由： ∵ ∴， 如图，当在线段上时，， 如图，当在线段的延长线上时， ∴， ∴， ∴存在这样的点使，的值是或． 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 24．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）设点Q的运动速度为，分，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）解：设点Q的运动速度为， ∵与全等，， ∴，或，， 当P在上，点Q在上时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 当点P在上，点Q在时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 25．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为； （2）分两种情况讨论：当点在上，当点在上，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的三分之二， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的三分之二； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：； 故答案为：或； （2）解：∵， ∴对应顶点为与，与，与； ①当点在上，如图所示： 此时，，， 点移动的速度为， ②当点在上，如图所示： 此时，，， 即，点移动的路程为，点移动的路程为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，点的运动速度为或． 26．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答． （2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答． （3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为， ∴在时，则． 故答案为：； （2）解：如图： 当时，， ∵的面积等于面积一半 ∴此时’ ∴ 解得 （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时，，， ， 解得； ②当点在上，点在上，时，，， 点的路程为，点的路程为， ， 解得； 运动的速度为或， 故答案为：或． 27．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，______，当时，______． (2)如图1，当____时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)；； (2)或 (3)Q运动的速度为或或或 【分析】（1）利用速度乘时间求出路程，即可得出的长度； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分四种情况：当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，运动路程为：，此时点P在上，则： ； （2）解：如图，当P在中点上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在中点上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； （3）解：设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ∴Q运动的速度为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 28．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动， (1)当与全等时，求点运动的时间． (2)若点运动速度变为，点P到达点C后继续在线段上向A点运动，其他条件不变，请问点P能否在点Q到达A点之前与点Q重合，若能，请求出点P的运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，注意分类讨论． （1）根据，求出，根据点为的中点，求出，分时，时，两种情况进行讨论，并注意验证当时，不成立，从而可以求出t的值． （2）根据行程问题列方程即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，设点P运动时间为t； ∴，， 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即，解得：， 此时，， ∵， ∴此种情况不成立， 综上分析可知，． （2）解：能； 依题意得：， ∴， ∴， ∴点P远动时，点P与点Q重合. 29．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 【答案】(1)6； (2)①；②t的值为； (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，点P在上，； 故答案为：6；； （2）解：①如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， 故答案为：， ②当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， t的值为； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证； （2）①当时，由三角形面积公式得；当时，即可； ②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可． 【详解】（1）解：∵在中，为高， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：①∵ ∴， ∵，， ∴ 当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，， 当时， 如图，； 当时，如图， ． 综上所述，； ②∵， ∴， 当点F在线段BC延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得：； 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上所述，当与全等时，t的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 31．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在长方形中，，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）用含的代数式表示的长 ． （2）在点，运动的过程中，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】此题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解答本题的关键． （1）先根据题意题意表示出，再根据即可求出的代数式； （2）分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意知：， 则， 故答案为：； 解：（2）由题意知：，，则， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，， 即，， 解得：， 则， 解得：， 综上，的值为或， 故答案为：或． 32．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，第二问注意分情况讨论，避免漏解． （1）当时，，据此可解； （2）分情况讨论，找出对应边，根据对应边相等列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 则， ，， ， 解得； （2）解：如图1，当， 则， ， 解得． ， 解得； 如图2，当时， 则， ， 解得， ， 解得； 综上可知，当或时，与全等． 33．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形 中，，，点 从点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿作匀速移动，点 从点 出发沿向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)求． (2)在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你直接写出当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与全等的情况． 【答案】(1) (2)点G的速度为3或1或1.5； 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等. （1）根据条件证明四边形是平行四边形即可求解； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v 当时，若，则 ∴，解得： ∴； 若，则 ∴，解得：（舍） 当时，若，则 ∴，解得： ∴； 若，则 ∴，解得： ∴； 综上，点G的速度为3或1或1.5； 34．（22-23八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或4 【分析】本题考查了列代数式，三角形的面积，全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解即可； （3）根据，得出，列出关于t的方程，解方程即可； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：∵， ∴，且此时点P在上， ∴， 解得， ∴当时，； （4）解：根据题意可知：， 当点在上时，， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，， ∵， ， 解得； 综上所述，的值为或4时，和面积相等． 35．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【答案】(1) (2) (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质，且即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵ ∴在上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 36．（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，直线交坐标轴于C、D两点，已知点，． (1)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由； (2)点P、Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2)点Q在坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法求出的解析式为，联立方程组联立，得，得到点的坐标为，由，求出点的坐标，分别求出，，，从而可判断出为等腰三角形； （2）分①，在上；②在上，在上；③在上，在上；④在上，与点重合四种情况结合图形求解即可 【详解】（1）解：把，代入得， 解得，， 直线的解析式为； 联立，得， 解得， 点的坐标为， 对于直线，当时，， ， 又， ， 即，，， ， 是等腰三角形； （2）解：①当，在上时，如图1，此时，， ， 设， 又， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当在上，在上时， 如图2，此时，， ，， ， 设，则， 代入，得， 解得， 则， ； ③在上，在上时， 如图3，此时，， ， ； ④当在上，与点重合时， 如图4，此时，， 则， ， ， ， 与点重合， ； 综上，点在坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形以及一次函数与几何综合等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$