精品解析：江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

无锡市第一中学2024—2025学年度第一学期期中试卷 高 一 数 学 2024.11 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的定义求解. 【详解】集合，，则. 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】因为， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：C． 3. 已知函数，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 . 从而可得图像为D选项. 故选：D. 4. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，利用换底公式计算可得结果. 【详解】由，可得，， 所以. 故选：D. 6. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以即解得或， 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数， 所以“”是“幂函数在上是减函数”的充要条件， 故选:C. 7. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则（ ） A. B. 1.05 C. D. 0.75 【答案】C 【解析】 【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C 8. 若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令,得到有两个根，其中，，令，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】令，， 设关于的方程有一个正实数根和一个负实数根， 故有两个根，其中，， 令，则， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为 D. 最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性质即可求解C，将“1”代换，即可由基本不等式求解D. 【详解】对于A，，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，时等号成立，C正确； 对于D，， 当且仅当即时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 定义在R上的偶函数满足：，且对任意，都有，则的解集是 C. 设函数，则对，恒成立 D. 已知，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出两函数的定义域相同，对应法则相同，为同一函数；B选项，根据函数的奇偶性和单调性得到时，，当时，，从而解不等式，求出解集；C选项，作差法比较大小；D选项，求出，利用同号可乘性得到，求出的取值范围是. 【详解】A选项，中，令，解得， 中，令，解得， 故两函数定义域相同，又， 故两函数对应法则相同，所以两函数为同一函数，A正确； B选项，由题意得在上单调递减， 偶函数满足，则，且在上单调递增， 所以当时，，当时，， ，若，则且，得到， 若，则且，解得， 综上，不等式解集为，B错误； C选项，，对， ， 当且仅当时，等号成立， 故恒成立，C正确； D选项，已知，所以，， 又，故，即， 所以，的取值范围是，D正确. 故选：ACD 11. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 计算：_____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用指数运算和对数运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为：9. 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是_____________，且有___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件分析得到，由此列出关于的方程并求解出的值，则对称中心坐标可知；根据条件可得，然后根据函数值的对称特点求解出原式的值. 【详解】设的对称中心为，则为奇函数， 所以， 即， 化简可得， 所以，解得， 所以图象的对称中心为； 因为图象的对称中心为，所以， 所以，所以， 所以， 所以原式， 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设集合，，． （1），求； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据并集概念求出答案； （2）根据交集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以． 【小问2详解】 由题意得， ①若，则，解得； ②若， 需满足，解得， 综合①②得：的取值范围是． 16. （1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 【答案】（1）或； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： ，且， 有， 由于， 即， 所以函数在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）设，得到，从而对照系数，得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据求出，得到，定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或； （2），即，故，故， 函数在区间上单调递增，证明略. 17. 已知函数，． （1），用表示中的最小者，记作，当时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间； （2）设，求的最小值． 【答案】（1）图象： 单调递增区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）时，，先求出两函数的交点坐标，从而得到函数图象，并根据图象写出解析式； （2）得到，，根据对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性得到最小值，得到答案. 【小问1详解】 时，， 当时，，解得，负值舍去， 当时，，解得或（舍去）， 画出的图象，如图所示， 解析法表示，， 由图象可得，单调递增区间为和； 【小问2详解】 ，， ①当，即时，此时最小值为， ②当，即时，此时最小值为， ③当，即时，此时最小值为， 综上所述： 18. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）． （1）用表示的长度，并写出的取值范围； （2）用表示花坛与地坪的造价之和； （3）设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 【答案】（1）， （2） （3）当时，总造价最小为元 【解析】 【分析】（1）根据题意结合矩形的面积分析求解. （2）根据题图列出式子即可表示出总造价. （3）由（2）问的结果再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意：矩形的面积为， 因此， 因为，所以． 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为元． 19. 已知函数是奇函数．（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性. （2）若，将关于的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得. （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得．经检验，此时是奇函数 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以． 【小问3详解】 由题意得： 不妨设，则， 由，，为长度的线段可以构成三角形，则， 以，，为长度的线段也能构成三角形， 则恒成立，得恒成立 即时，恒成立， 又，仅当时前一个等号成立， 所以，即，于是的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2024—2025学年度第一学期期中试卷 高 一 数 学 2024.11 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则（ ） A. B. 1.05 C. D. 0.75 8. 若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为 D. 最小值为2 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 定义在R上的偶函数满足：，且对任意，都有，则的解集是 C. 设函数，则对，恒成立 D. 已知，则的取值范围是 11. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 计算：_____. 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，________． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是_____________，且有___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设集合，，． （1），求； （2）若，求m的取值范围． 16. （1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 17. 已知函数，． （1），用表示中的最小者，记作，当时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间； （2）设，求的最小值． 18. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）． （1）用表示的长度，并写出的取值范围； （2）用表示花坛与地坪的造价之和； （3）设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 19. 已知函数是奇函数．（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $