专题03 乘法公式（5大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题03 乘法公式 运用平方差公式进行运算 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若，且，则 ． 4．（23-24八年级上·福建三明·期末）计算： ． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期末）计算： ． 运用完全平方公式进行运算 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，则 ． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）计算： ． 4．（23-24八年级上·福建漳州期末）计算：（1） ；（2） ． 整式的混合运算 1．（23-24八年级上·福建福州·期末） 先化简再求：，其中． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值，其中 3．（22-23八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中，． 求完全平方公式中字母系数 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若 是一个完全平方式，则常数k的值为（      ） A． B．4 C． D．2 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知是完全平方式，则实数m的值为（    ） A．3 B．3或 C．8 D．8或 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为（    ） A．3 B．7或 C． D．或5 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知是完全平方式，则 ． 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 利用乘法公式进行简便计算 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）计算： ． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）计算： ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 平方差公式与几何图形 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．    (1)观察图2，可以得到________； (2)若，，求的值． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程所揭示的乘法公式是 ． (2)若，，求的值． (3)计算：． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）    (1)观察左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式________． (2)已知，，则________． (3)请应用这个公式完成下列计算：． 完全平方公式变形（知二求二） 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值等于 ． 完全平方公式与几何图形 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）边长为的正方形如图所示，这个正方形的面积不能表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．13 B． C．37 D． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1 所以（a+b）2＝9，2ab＝2 所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2 得a2+b2＝7 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若（7﹣x）（x﹣4）＝1，求（7﹣x）2+（x﹣4）2的值； （2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝17，求图中阴影部分面积． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________； 【应用】若，，则_______________； 【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示） (2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积． (3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系． (4)拓展提升：当时，求． 完全平方公式与最值 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．    例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)有最小值______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式 运用平方差公式进行运算 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式解答即可．即． 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为，所以B符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式解答即可. 【详解】解：； 故选：B. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟知是解题的关键. 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12． 4．（23-24八年级上·福建三明·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式的形式是解题关键． 【详解】解：原式， 故答案为： 5．（23-24八年级上·福建莆田·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式． 运用完全平方公式进行运算 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】． 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：已知， ∴，展开得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建漳州期末）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式．掌握是解题的关键． 整式的混合运算 1．（23-24八年级上·福建福州·期末） 先化简再求：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先进行整式的乘除法计算，再去括号，合并同类项即可化简，最后把代入即可求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值，其中 【答案】， 【分析】此题考查了整式的化简求值，先利用完全平方公式和多项式除以单项式进行计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 ． 3．（22-23八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2023 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式计算可得化简结果，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 将，代入得，原式， ∴化简结果为，值为． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 求完全平方公式中字母系数 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若 是一个完全平方式，则常数k的值为（      ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构即可求得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知是完全平方式，则实数m的值为（    ） A．3 B．3或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】本题考查的是求解完全平方式中的字母系数，由积的2倍项的特点可得或，再解方程即可． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式， ∴或 ∴或． 故选：D． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为（    ） A．3 B．7或 C． D．或5 【答案】B 【分析】根据多项式是一个完全平方式得到，则，即可得到的值． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：B 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴ 故答案为：． 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍，故，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 利用乘法公式进行简便计算 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】10404 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：10404． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算和平方差公式，解题关键是熟练运用运算律和平方差公式进行运算； （1）运用乘法分配律简便运算即可； （2）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 平方差公式与几何图形 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．    (1)观察图2，可以得到________； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用以及利用完全平方公式的变形求值． （1）由图2可知，为大正方形的面积，为小正方形的面积，相减得到面积为四块小长方形的面积和，据此即可得到答案； （2）根据（1）所得的等式求解，即可得到答案； 利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】（1）解：由图2可知，， 故答案为： （2）解：由（1）可知，， ，， ， ． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程所揭示的乘法公式是 ． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：上述过程所揭示的乘法公式是 （2）解：     （3）解：原式= = = 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，根据平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）    (1)观察左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式________． (2)已知，，则________． (3)请应用这个公式完成下列计算：． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）根据平方差公式，，已知代入即可求出答案； （3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 阴影部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：阴影部分面积相等，可以得到公式； （2），， ； （3） 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． 完全平方公式变形（知二求二） 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）5；（2）1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）利用完全平方公式和已知求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断，利用数形结合分析问题是解题的关键． 【详解】、由图可知大正方形图案的面积为，边长为， ∴，故A正确，不符合题意； 、由图可知中间小正方形的边长为，面积为4，则，即 ，故B正确，不符合题意； 、∵，，、b为正数且， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； 、由和，可得： ，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查利用完全平方公式的变形求值．根据完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 完全平方公式与几何图形 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）边长为的正方形如图所示，这个正方形的面积不能表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，正方形的面积可以直接用面积公式求，也可以把正方形分割成两个小正方形和两个小长方形求面积，也可以分成两个长方形求面积，即可判断． 【详解】解：根据图形，可知：边长为的正方形的面积可以表示为：或或， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．13 B． C．37 D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积可利用正方形面积的一半减去空白小三角形的面积进行计算．此题考查了完全平方公式的几何背景应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行计算． 【详解】解：由完全平方公式， ∵，， ∴， 阴影部分的面积为： ， 故选：B 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1 所以（a+b）2＝9，2ab＝2 所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2 得a2+b2＝7 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若（7﹣x）（x﹣4）＝1，求（7﹣x）2+（x﹣4）2的值； （2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝17，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）7；（2）S阴影＝2． 【分析】（1）把7－x与x－4分别看作ab，则a+b=3，ab=1，再按题中的思路求解即可； （2）先根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab求出ab的值，然后根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：（1）∵（7﹣x）（x﹣4）＝1，（7﹣x）+（x﹣4）＝7﹣x+x﹣4＝3 由例题的解法可得: （7﹣x）2+（x﹣4）2＝[（7﹣x）+（x﹣4）]2－2（7﹣x）（x﹣4）＝32－2＝7； （2）设AC＝a，BC＝CF＝b， 则a+b＝5，a2+b2＝17， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 17＝25﹣2ab， ab＝4， ∴S阴影＝ab＝2． 【点睛】本题是以完全平方公式为载体的阅读理解问题，解题的关键是通过阅读读懂题目所蕴含的整体代入的数学思想，并能有意识的运用整体代入的思想方法去解决问题. 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________； 【应用】若，，则_______________； 【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察：；应用：；拓展：900 【分析】观察：根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； 应用：将，代入（1）中公式即可求解； 拓展：由正方形的边长为x，则，，得，设，，，得，则，代入即可． 【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； 应用：∵， ∴， 将，代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展：∵正方形的边长为x， ∴，， ∴， 设，，， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为900． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，解题的关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示） (2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积． (3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系． (4)拓展提升：当时，求． 【答案】(1) (2)25 (3) (4)68 【分析】（1）通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是a−b； （2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积−4个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积； （3）通过观察图2发现，大正方形的面积＝空白部分的正方形面积＋阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系； （4）把（x−10）看作a，把（20−x）看作b，然后运用（3）中的数量关系（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab，求得（a−b）2即（2x−30）2的值． 【详解】（1）解：图2中的空白部分的正方形的边长＝a−b． （2）解：图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积−4个小长方形的面积 ＝（a＋b）2−4ab ＝102−4×3 ＝100−12 ＝88． （3）解：图2中大正方形的面积＝（a＋b）2， 空白部分的正方形面积＝（a−b）2， 阴影的面积＝4ab， ∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积＋阴影的面积， ∴（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab． （4）解：∵（x−10）＋（20−x）＝x−10＋20−x＝10， ∴[（x−10）＋（20−x）]2＝100， 由（3）的结论可知， [（x−10）＋（20−x）]2＝[（x−10）−（20−x）]2＋4（x−10）（20−x）， 把[（x−10）＋（20−x）]2＝100，（x−10）（20−x）＝8代入， 得100＝[（x−10）−（20−x）]2＋4×8， 100＝（x−10−20＋x）2＋32， 68＝（2x−30）2， 即（2x−30）2＝68． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形面积探究发现（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab，进而运用结论进行计算，是对学生探索发现结论并运用结论的能力的考查． 完全平方公式与最值 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)小， (2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式有最小值，最小值为； 故答案为小，； （2）解：①由图可得花圃的面积：平方米； ②由①可知：， 当时，，且， 当时，花圃的最大面积为1250平方米． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，难度不大，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴的最小值是5； （2）解：， ∵， ∴， ∴ ∴代数式的最大值是5． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．    例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当t的值为4时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为－9 即A的最小值为－9； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 即当t的值为4时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)有最小值______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 【答案】(1)3 (2)当，时，多项式有最小值5 (3)是等边三角形 【分析】（1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解； （3）可得，即可求解． 【详解】（1）解： ，即时，有最小值，最小值是； 故答案：． （2）解：由题意得 ， ∴当，时，多项式有最小值5； （3）解：由题意得 ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$