第05讲 平方差公式（1个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第05讲 平方差公式 课程标准 学习目标 ①平方差公式 1. 掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式： ＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。 2. 平方差公式的特征： 两个二项式相乘。若他们其中一项 ，另一项 ，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。 3. 平方差公式的几何意义： 如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。 图①的面积为：；图②的面积为：； 图①与图②的面积相等。所以 【即学即练1】 1．计算： （1）（a+b）（a﹣2）； （2）； （3）（m+n）（m﹣n）； （4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）． 【即学即练2】 2．已知x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，则x+y等于 　 　． 【即学即练3】 3．计算：1232﹣124×122． 【即学即练4】 4．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 【变式1】计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）； （2）（x3+2）（x3﹣2）： （3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 【变式2】利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x﹣）（x2+）（x+）． 【变式3】计算： （1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）； （2）； （3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）； （4）； （5）． 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】如果a2﹣b2＝12，a+b＝4，则a﹣b＝　 　． 【变式1】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（　　） A．5 B．2 C．10 D．无法计算 【变式2】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝，则x﹣y＝　 　． 【变式3】若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式4】已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 【变式1】20132﹣2012×2014的计算结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式2】利用平方差公式计算： （1）31×29； （2）9.9×10.1； （3）98×102； （4）1003×997． 【变式3】已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【变式4】计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝　 【变式5】计算：…． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 【变式1】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 【变式2】王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（　　） A．面积减少3m2 B．面积减少9m2 C．面积增加3m2 D．面积增加9m2 【变式3】如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） 【变式3】 【变式4】 A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6 【变式4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（　　） A．80 B．40 C．20 D．10 1．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b） 2．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（　　） A．±6 B．±3 C．6 D．3 4．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）等于（　　） A．a4﹣b4 B．a6+b6 C．a6﹣b6 D．a8﹣b8 6．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm 7．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，则x+y的值为（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D．±5 8．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2 9．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　） A．3a2﹣4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．3a2+4a+4 10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 11．给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 12．计算＝ 　 　． 13．一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a﹣3b），则长方形的面积为 　 　． 14．已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为　 　． 15．两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S，四个小长方形如图②摆放，左上角形成的是边长为b的正方形，此阴影部分面积为S1，另一阴影部分的面积为S2，则S，S1，S2之间的数量关系为　 　． 16．运用平方差公式计算． ①（3a+b）（3a﹣b） ②（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） ③（a﹣b）（﹣a﹣b） ④59.8×60.2 ⑤（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y） 17．利用乘法公式计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）； （2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12． 18．观察下面的式子；a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，… （1）请用含n的式子表示an；（n为大于0的自然数） （2）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论． 19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 20．探究题． （1）计算下列各题： ①（x﹣1）（x+1）； ②（x﹣1）（x2+x+1）； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）； ④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； … （2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的结果是什么？ （3）证明你的猜想是否正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方差公式 课程标准 学习目标 ①平方差公式 1. 掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式： ＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。 2. 平方差公式的特征： 两个二项式相乘。若他们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。 3. 平方差公式的几何意义： 如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。 图①的面积为：；图②的面积为：； 图①与图②的面积相等。所以 【即学即练1】 1．计算： （1）（a+b）（a﹣2）； （2）； （3）（m+n）（m﹣n）； （4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）． 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．即可解答本题． 【解答】解：（1）（a+b）（a﹣2） ＝a2+ba﹣2a﹣2b， （2）（x﹣）（x+） ＝， （3）（m+n）（m﹣n） ＝m2﹣n2， （4）（0.1﹣x）（0.1+x） ＝0.01﹣x2， （5）（x+y）（﹣y+x） ＝x2﹣y2． 【即学即练2】 2．已知x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，则x+y等于 　5　． 【分析】根据平方差公式得出x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）代入已知求出即可． 【解答】解：∵x2﹣y2＝10，x﹣y＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）＝10， ∴x+y＝5． 故答案为：5． 【即学即练3】 3．计算：1232﹣124×122． 【分析】先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可． 【解答】解：1232﹣124×122， ＝1232﹣（123+1）（123﹣1）， ＝1232﹣（1232﹣12）， ＝1． 【即学即练4】 4．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案． 【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：C． 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 【分析】根据平方差公式分别进行判断即可． 【解答】解：A、（x+1）（﹣x﹣1），不可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意； B、（2+a2）（2﹣a2），可以用平方差公式计算，故选项B符合题意； C、（﹣x+y）（x﹣y），不可以用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D、（x2+y）（x﹣y2），不可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）； （2）（x3+2）（x3﹣2）： （3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 【分析】（1）直接运用平方差公式展开； （2）先根据平方差公式展开得到原式＝（x3）2﹣22，然后根据幂的乘方法则运算； （3）先提负号得到原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n），然后根据平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣9y2； （2）原式＝（x3）2﹣22 ＝x6﹣4； （3）原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n） ＝﹣（4m2﹣n2） ＝﹣4m2+n2． 【变式2】利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x﹣）（x2+）（x+）． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y） ＝（2x）2﹣y2 ＝4x2﹣y2； （2）（x+5y）（x﹣5y） ＝（x）2﹣（5y）2 ＝x2﹣25y2； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81； （4）（x﹣）（x2+）（x+） ＝（x2﹣）（x2+） ＝x4﹣． 【变式3】计算： （1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）； （2）； （3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）； （4）； （5）． 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即可解答本题． 【解答】解：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）＝25﹣4a2； （2）（+）（﹣）＝； （3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）＝9x2﹣25a2b2； （4）（）（）﹣（x+8）， ＝﹣4﹣﹣2x， ＝﹣2x﹣4； （5）（x﹣y）（）﹣（）（）， ＝（x﹣y）（）﹣（）， ＝． 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】如果a2﹣b2＝12，a+b＝4，则a﹣b＝　3　． 【分析】先根据平方差公式分解，再代入求出即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝12， ∴（a+b）（a﹣b）＝12， ∵a+b＝4， ∴a﹣b＝3， 故答案为：3． 【变式1】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（　　） A．5 B．2 C．10 D．无法计算 【分析】a2﹣b2＝10，即（a+b）（a﹣b）＝10，把a﹣b＝2代入即可求得答案． 【解答】解：∵a2﹣b2＝10， ∴（a+b）（a﹣b）＝10， ∵a﹣b＝2， ∴a+b＝5． 故选：A． 【变式2】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝，则x﹣y＝　﹣2　． 【分析】先对已知等式的左边利用平方差公式分解因式，然后再利用积、因数的关系可得答案． 【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣1，x+y＝， ∴x﹣y＝＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式3】若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可． 【解答】解：∵a+b＝3， ∴a2﹣b2+6b ＝（a+b）（a﹣b）+6b ＝3a﹣3b+6b ＝3（a+b） ＝3×3 ＝9． 故选：C． 【变式4】已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据平方差公式化简，把m﹣n＝1整体代入即可得出答案． 【解答】解：∵m﹣n＝1， ∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n ＝m+n﹣2n ＝m﹣n ＝1， 故选：A． 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 【分析】利用平方差公式进行简便运算，把原式化为103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32，从而可得答案． 【解答】解：103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32． 故选：B． 【变式1】20132﹣2012×2014的计算结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解：20132﹣2012×2014＝20132﹣（2013﹣1）（2013+1）＝20132﹣20132+1＝1． 故选：A． 【变式2】利用平方差公式计算： （1）31×29； （2）9.9×10.1； （3）98×102； （4）1003×997． 【分析】这是两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【解答】解：（1）（30+1）（30﹣1）， ＝900﹣1， ＝899； （2）（10﹣0.1）（10+0.1）， ＝100﹣0.01， ＝99.99； （3）（100﹣2）（100+2）， ＝10000﹣4， ＝9996； （4）（1000+3）（1000﹣3）， ＝1000000﹣9， ＝999991． 【变式3】已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【分析】利用平方差公式把N＝2023×2025变形后即可判断． 【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1， 20242﹣（20242﹣1）＝1＞0， ∴M＞N． 故选：A． 【变式4】计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042．　﹣2009010　 【分析】本题是平方差公式的应用． 【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]， 利用平方差公式12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）] ＝﹣[（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+（6﹣5）（6+5）+…+（2002﹣2001）（2002+2001）+（2004﹣2003）（2004+2003）] ＝﹣（3+7+11+15+…+4003+4007）＝﹣ ＝﹣2 009 010． 【变式5】计算：…． 【分析】根据平方差公式求解即可． 【解答】解：原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+） ＝××××…×× ＝×＝． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 【分析】由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解． 【解答】解：由图1可知剩余部分的面积为：a2﹣b2， 由图2可求长方形的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：C． 【变式1】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 【分析】利用面积法，分别计算左图与右图的阴影部分面积进而可得结论． 【解答】解：如图①，左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此面积为（2b+2a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 因此图①方法可以验证平方差公式， 如图②，左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 因此图②方法也可以验证平方差公式， 故选：C． 【变式2】王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（　　） A．面积减少3m2 B．面积减少9m2 C．面积增加3m2 D．面积增加9m2 【分析】求出变化前后面积差即可． 【解答】解：变化前正方形的面积为x2平方米， 变化后的长为（x+3）米，宽为（x﹣3）米，因此面积为（x+3）（x﹣3）＝（x2﹣9）平方米， 所以变化后面积减少9平方米， 故选：B． 【变式3】如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6 【分析】设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解． 【解答】解：设另一边长为x， 根据题意得，3x＝（a+3）2﹣a2， 解得x＝2a+3． 故选：A． 【变式4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（　　） A．80 B．40 C．20 D．10 【分析】设BC＝a，BD＝b，由拼图可知AE＝a﹣b，a2﹣b2＝40，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：设BC＝a，BD＝b，则AE＝a﹣b，a2﹣b2＝40， 所以S阴影部分＝a（a﹣b）+b（a﹣b） ＝（a+b）（a﹣b） ＝×（a2﹣b2） ＝×40 ＝20． 故选：C． 1．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b） 【分析】根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2平方差公式逐项分析即可． 【解答】解：A． （y+2x）（2x﹣y）＝4x2﹣y2，故能够用平方差公式计算； B． （﹣x﹣3y）（x+3y）不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算； C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）＝4x4﹣y4，故能够用平方差公式计算； D． （4a+b）（4a﹣b）＝16a2﹣b2，故能够用平方差公式计算； 故选：B． 2．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】先把x2﹣y2﹣10y变形为：（x+y）（x﹣y）﹣10y，把x﹣y＝5代入，再整理为：5（x﹣y），再把x﹣y＝5代入计算，即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣y＝5， ∴x2﹣y2﹣10y ＝（x2﹣y2）﹣10y ＝（x+y）（x﹣y）﹣10y ＝5（x+y）﹣10y ＝5x+5y﹣10y ＝5x﹣5y ＝5（x﹣y） ＝5×5 ＝25． 故选：D． 3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（　　） A．±6 B．±3 C．6 D．3 【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35， ∴a2﹣1＝35， ∴a2＝36， ∴a＝±6， 故选：A． 4．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平方差公式即可得出答案． 【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1， ∴原式＝（a+b）（a﹣b） ＝3×1 ＝3． 故选：C． 5．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）等于（　　） A．a4﹣b4 B．a6+b6 C．a6﹣b6 D．a8﹣b8 【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2求解即可得到答案． 【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4） ＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4） ＝（a4﹣b4）（a4+b4） ＝a8﹣b8， 故选：D． 6．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm 【分析】设这个正方形的边长为xcm，根据题意由面积相增加了32cm2列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设这个正方形的边长为xcm， 由题意得（x+2）2﹣x2＝32， 解得x＝7． 故选：D． 7．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，则x+y的值为（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D．±5 【分析】根据题中条件，掌握解方程的基本方法是解决问题的关键．令x+y＝m，得出（m+1）（m﹣1）＝8，求出m2＝9，得出m＝±3，即可得出答案． 【解答】解：令x+y＝m， ∵（x+y+1）（x+y﹣1）＝8， ∴（m+1）（m﹣1）＝8， ∴m2﹣1＝8， 解得：m2＝9， ∴m＝±3， ∴x+y＝﹣3，x+y＝3， 故选：B． 8．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2 【分析】根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为（a+1）+（a﹣1）＝2a，宽为（a+1）﹣（a﹣1）＝2，因此面积为2a×2＝4a， 故选：A． 9．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　） A．3a2﹣4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．3a2+4a+4 【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可． 【解答】解：该平行四边形的面积为（2a）2﹣（a+2）2＝4a2﹣a2﹣4a﹣4＝3a2﹣4a﹣4， 故选：C． 10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 【分析】设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），求出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2017，列出不等式，求得n的范围，进而可以知道最大的n，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可． 【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 根据题意得：8n≤2017， ∴n≤252， ∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503， ∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032 ＝5052﹣12 ＝255024． 故选：A． 11．给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　①②③⑥　（填序号）． 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：由平方差公式的结构特征可得， ①（x﹣y）（x+y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ②（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ③（y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ④（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑤（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑥（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； 故答案为：①②③⑥． 12．计算＝ 　250　． 【分析】先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可， 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝250， 故答案为：250． 13．一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a﹣3b），则长方形的面积为 　4a2﹣9b2　． 【分析】先根据长方形的面积公式列式，再根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2直接求解即可得到答案． 【解答】解：由长方形的面积公式可列式：（2a+3b）（2a﹣3b）， 根据平方差公式得：（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2． 故答案为：4a2﹣9b2． 14．已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为　0　． 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，代数式的求值，先计算整式的乘法，合并同类项，再结合分配律整体代入求值即可． 【解答】解：由题意，∵（a+2）（a﹣2）+a（a+2） ＝a2﹣4+a2+2a ＝2a2+2a﹣4 ＝2（a2+a）﹣4， ∴当a2+a＝2时，原式＝2×2﹣4 ＝4﹣4 ＝0． 故答案为：0． 15．两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S，四个小长方形如图②摆放，左上角形成的是边长为b的正方形，此阴影部分面积为S1，另一阴影部分的面积为S2，则S，S1，S2之间的数量关系为　S＝S1+S2　． 【分析】利用图①用含有a、b的代数式表示S，在图②用含有a、b的代数式表示S1+S2，比较得出答案． 【解答】解：图①中，阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为：S＝（a﹣b）2； 图②中，两个阴影部分的面积和为边长为（a+b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积差， 即S1+S2＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 所以S＝S1+S2， 故答案为：S＝S1+S2． 16．运用平方差公式计算． ①（3a+b）（3a﹣b） ②（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） ③（a﹣b）（﹣a﹣b） ④59.8×60.2 ⑤（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y） 【分析】①②③利用平方差公式进行计算即可得解； ④把59.8×60.2写成（60﹣0.2）×（60+0.2），然后利用平方差公式进行计算即可得解； ⑤利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可． 【解答】①解：（3a+b）（3a﹣b）， ＝（3a）2﹣b2， ＝9a2﹣b2； ②解：（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）， ＝（﹣x）2﹣（2y）2， ＝x2﹣4y2； ③解：（a﹣b）（﹣a﹣b）， ＝（﹣b）2﹣（a）2， ＝b2﹣a2； ④解：59.8×60.2， ＝（60﹣0.2）×（60+0.2）， ＝602﹣0.22， ＝3600﹣0.04， ＝3599.96； ⑤解：（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）， ＝（2x）2﹣（3y）2﹣（4y）2+（3x）2， ＝4x2﹣9y2﹣16y2+9x2， ＝13x2﹣25y2． 17．利用乘法公式计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）； （2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12． 【分析】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再连续用平方差公式可算出答案； （2）逆用平方差公式，再求和即可． 【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1） ＝28﹣1 ＝256﹣1 ＝255； （2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+...+2+1 ＝ ＝5050． 18．观察下面的式子；a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，… （1）请用含n的式子表示an；（n为大于0的自然数） （2）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论． 【分析】（1）观察不难发现，an为两个连续奇数的平方的差，写出即可； （2）利用平方差公式整理即可得解． 【解答】解：（1）∵a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，…， ∴an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2； （2）∵an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2， ＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]， ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）， ＝8n， ∵n为大于0的自然数， ∴an是8的倍数， 这个结论用语言表示为：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　B　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可； （2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 上述操作能验证的等式是B， 故答案为：B； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4， ∴x﹣2y＝3； ②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝． 20．探究题． （1）计算下列各题： ①（x﹣1）（x+1）； ②（x﹣1）（x2+x+1）； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）； ④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； … （2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的结果是什么？ （3）证明你的猜想是否正确． 【分析】可以用多项式乘以多项式验证想法，得出 （1）中答案； （2）根据规律猜想出结果为xn+1﹣1； （3）利用多项式乘以多项式的方法进行计算，展开后可知中间的项会相互抵消，只剩下第一项和最后一项． 【解答】解： （1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1． （2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1． （3）原式＝xn+1+xn+xn﹣1+…+x2+x﹣xn﹣xn﹣1﹣…﹣x﹣1＝xn+1﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$