14.2.1 平方差公式（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

14.2.1 平方差公式 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B． C．25 D． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 6．（22-23八年级上·海南海口·期中）计算： ． 7．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）若，，则 ． 8．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算的结果等于 ． 9．（23-24八年级上·吉林四平·期末）计算：的结果是 ． 10．（22-23八年级上·福建泉州·期末）在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 ． 11．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ． 12．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 13．（23-24八年级上·吉林长春·期中）（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积．甲，乙两名同学表示的式子是：甲：；乙：．正确的学生是______． （2）如图②，有一块长为()米，宽为()米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路．其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示） 14．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 15．（23-24八年级上·吉林松原·期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台． 已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案： 方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为： 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示． (1)图2长方形的长是______，宽是______； (2)试比较与的大小关系． 能力提升 16．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是”智慧数“的是（　　） A．987 B．988 C．30 D．32 17．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，边上的高，点为上的点，且，若，则图中阴影部分面积为（    ）    A．5 B．10 C．15 D．20 19．（22-23八年级上·山西晋城·期末）已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（  ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 21．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 22．（22-23八年级上·安徽芜湖·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）； A．     B．     C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2.1 平方差公式 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式以及运算法则是解本题的关键． 原式各项利用完全平方公式，平方差公式以及整式的乘法计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（22-23八年级下·四川·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B． C．25 D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】把利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可． 【详解】 ， 又 ， ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： 故选：C． 5．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴， 根据图示可得，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ， 故选：C． 6．（19-20八年级上·海南海口·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用．先变形得出，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方差公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ， 又∵， ， ， 故答案为：2． 8．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式即可算得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·吉林四平·期末）计算：的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的运算，利用平方差公式计算即可， 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·福建泉州·期末）在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 11．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．根据图1、图2的面积相等可得答案． 【详解】解：图1的面积为：， 拼成的图2的面积为：， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（23-24八年级上·吉林长春·期中）（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积．甲，乙两名同学表示的式子是：甲：；乙：．正确的学生是______． （2）如图②，有一块长为()米，宽为()米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路．其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示） 【答案】（1）乙；（2）绿化的面积为()平方米． 【分析】（1）结合图形表示出绿地的面积，即可判断； （2）把两条道路平移，可得绿地的长为()米，宽为()米，即可计算． 【详解】解：（1）空白部分的面积为：，故甲错误； ， 乙正确； 故答案为：乙； （2）由题意可得： 平方米， 答：绿化的面积为()平方米． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在面积中的应用，平方差公式，理解修路后依然可以拼成矩形，掌握表示同一图形的面积的两种表示方法：整体表示法和部分表示法是解题的关键． 14．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·吉林松原·期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台． 已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案： 方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为： 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示． (1)图2长方形的长是______，宽是______； (2)试比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式在几何图形中的应用： （1）根据所给图形的数据进行求解即可； （2）先根据图形中已知条件，利用正方形和长方形的面积公式求出与，然后再根据与差的符号比较大小即可． 【详解】（1）解：图2长方形的长是，宽是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， ∴， ． 能力提升 16．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是”智慧数“的是（　　） A．987 B．988 C．30 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，解决的方法就是对分解的每种情况进行验证． 如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m，n，设，即智慧数 ，因为是非0的自然数，因而和n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否写成两个非0自然数的和与差． 【详解】解：A、； B、； C、，不能表示为两个非零自然数的平方差； D、． 故选C． 17．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据题中所给式子的结构特征，添加，从左到右逐步运用平方差公式化简即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键. 【详解】解： ， 故选：B. 18．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，边上的高，点为上的点，且，若，则图中阴影部分面积为（    ）    A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明是等腰直角三角形，得到，推导出 ，即可得到答案． 此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、平方差公式等知识，求出 是解题的关键． 【详解】解：∵边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故选：D 19．（22-23八年级上·山西晋城·期末）已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，又由，或，，可得． 【详解】解：由题意可得， 是三个相邻的正偶数， ，或， 或 ， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合面积公式和连续正整数之间的关系运算是解题的关键． 20．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据题目规律解答即可． 【详解】根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键． 21．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案； ②先用平方差公式，再约分即可． 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为 ∴可以验证的等式是： 故答案为：B； （2）解：①∵， ∴， 即， ∴； ② 22．（22-23八年级上·安徽芜湖·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）； A．     B．     C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分面积即可解答； （2）①将化为，即可解答；②根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图1可得： 整个图形面积为：，空白部分面积为：，阴影部分宽为：， 由图2可得： 该长方形长为：， ∴， 故选：B． （2）解：①， ； ②原式 ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握用面积法求证平方差公式，以及根据平方差公式进行计算．平方差公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$