专题01 用树状图或表格求概率4大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 用树状图或表格求概率4大题型 题型一 几何图形求概率 1．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图，这个弦图中的四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边的长分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为(   ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）李梅在如图所示的的网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南新乡·二模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南信阳·期末）如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 6．（23-24九年级上·河南郑州·期末）七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的． 一只蚂蚁图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是 ． 7．（2022·河南·一模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 8．（2023·河南周口·三模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中白色部分的概率是 ．    9．（2023·河南信阳·一模）如图，一块游戏板由大小相等的小正方形格子构成，若某游戏者随机向游戏板投掷一枚飞镖，那么飞镖击中阴影区域的概率是 ． 10．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取不在阴影部分的概率是 ． 题型二 列表法或树状图法求概率 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·河南新乡·期末）红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ． 14．（22-23九年级上·河南郑州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ． 15．（22-23九年级上·河南周口·期末）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，那么甲获胜的概率是 ． 16．（23-24九年级上·河南南阳·期末）3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． (1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数） (2)若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； (3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 17．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 18．（23-24九年级上·河南安阳·期末）为了了解学生参加劳动的情况，某学校随机抽取了部分学生就“每周参加劳动的时间”进行调查，为便于统计（劳动时间用t表示，单位：h），设置了如下四个选项，分别为 ，，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．每周参加劳动时间频数分布直方图每周参加劳动时间扇形统计图，请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)本次调查共抽查的学生人数为 人，补全频数分布直方图； (2)若该校共有学生3000人，那么每周参加劳动的时间大于3小时的大约有多少人？ (3)九年级一班每周劳动时间大于3小时的恰好是 2名男生和2名女生，若从他们中任选2人代表班级在全校作心得体会发言，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率． 19．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果； (2)求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率． 20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）某校组织七、八、九年级学生参加作文大赛，该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图①②不完整的统计图． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)参赛作文共______篇； (2)图中______，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为______； (3)把条形统计图补充完整； (4)经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用画树状图法或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率． 题型三 判断游戏的公平性 21．（2023·河南驻马店·三模）小明和小亮两人用如图所示的转盘（转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上，不记，重新转动），如果两人转得的数字之和为奇数，则小明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则小亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 ．（填“公平”“对小明有利”或“对小亮有利”）    22．（23-24九年级上·河南新乡·期末）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 23．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）小明和小东在玩转盘游戏，如图，把转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3．把转盘的区域标上数字4，两个区域分别标上数字5和．小明对小东说：“同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，你获胜；当数字之积为偶数时，我获胜；如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． (1)请你利用画树状图或列表的方法，求小东获胜的概率． (2)这个游戏规则对小明和小东双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘上只修改一个数字使游戏公平．（无需说明理由） 24．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）2023年10月26日11时14分神舟十七号载人飞船成功发射．2023年，中国航天开启高质量、高效率、高效益发展新征程，中国人探索太空的脚步将迈得更稳更远！为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，阳光中学举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的李阳和王含都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，一致决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为0时，李阳获胜；数字之和为1时，王含获胜，其他情况视为平局．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止） (1)用画树状图或列表法求李阳获胜的概率； (2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由． 25．（23-24九年级上·河南南阳·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．      (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)此游戏公平吗？请说明理由． 26．（23-24九年级上·河南周口·期末）在一次数学兴趣小组活动中，张红和李燕两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则张红获胜；若指针所指区域内两数之和大于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局．（若指针停在分界线上，重转） (1)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中两数之和的所有可能结果． (2)判断该游戏对张红和李燕两位同学是否公平?若不公平，请修改上述游戏规则，使该游戏对游戏双方是公平的． 27．（23-24九年级上·河南新乡·期末）九年级班评选生物课代表时，甲、乙两名同学的选票一致．生物老师决定通过游戏的方式确定最终课代表的人选，游戏规则如下： 第一步：将正面分别印有“月季”“百合”“蜜蜂”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张； 第二步：将正面分别印有“蜻蜓”“桑蚕”“玫瑰”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张； 若两次抽取的卡片图案为同一类目（同为昆虫或同为花卉），选甲为课代表，反之选乙为课代表． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 28．（22-23九年级上·河南郑州·期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘． (1)转盘转到4的倍数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 29．（22-23九年级上·河南信阳·期末）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 30．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 题型四 概率的应用 31．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 32．（22-23九年级上·河南焦作·期末）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 A． B． C． D． 33．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 34．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 78 79 81 82 x 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 （1）求x的值；       （2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 35．（20-21九年级上·河南新乡·期末）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 36．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 用树状图或表格求概率4大题型 题型一 几何图形求概率 1．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，矩形的性质．根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论． 【详解】解：四边形为矩形， ， 在与中， ， ， 阴影部分的面积， 与同底且的高是高的， ． 矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是， 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图，这个弦图中的四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边的长分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何概率，先求出空白部分是边长为1的正方形，再根据飞镖落在阴影区域的概率等于阴影部分面积除以这个弦图的面积进行求解即可． 【详解】解：由题意得，空白部分是边长为的正方形， ∴飞镖落在阴影区域的概率为， 故选D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）李梅在如图所示的的网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率，用长方形的面积减去空白部分的面积，求出阴影部分的面积，再根据概率公式即可得出答案，正确掌握概率公式是解此题的关键． 【详解】解：阴影部分的面积是：， 飞镖落在阴影区域的概率是， 故选：D． 4．（2023·河南新乡·二模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一． 【详解】如下图．    ∵小正六边形的边长是大正六边形边长的，即 由知，， ∴ ∴阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的． ∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为． 故选C． 5．（22-23九年级上·河南信阳·期末）如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和概率公式及菱形的性质．由题意可证，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：，， ，， 、分别是的三等分点， ，， ， ， 同理可得，， 小球最终停在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河南郑州·期末）七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的． 一只蚂蚁图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概率，七巧板，解题的关键是还原成七巧板中的图形，求得阴影部分的面积． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为a， 则阴影部分的为标号为1，4，7的三角形的面积，即：， ∴它停在阴影部分的概率； 故答案为： 7．（2022·河南·一模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概率求解，设正方形得边长为4，可以得出正方形的面积和阴影部分的面积，进而求出概率即可． 【详解】解：设大正方形的边长为4， 大正方形的面积为， 阴影部分的面积为， 则飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 8．（2023·河南周口·三模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中白色部分的概率是 ．    【答案】 【分析】根据图形的对称性求出白色部分的面积，利用几何概型的概率公式计算可得． 【详解】解：根据图形的对称性知，白色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以太极图中白色部分的面积为， 则所求的概率． 故答案为：． 9．（2023·河南信阳·一模）如图，一块游戏板由大小相等的小正方形格子构成，若某游戏者随机向游戏板投掷一枚飞镖，那么飞镖击中阴影区域的概率是 ． 【答案】/0.375 【分析】求出阴影区域面积和正方形总面积，再根据几何概率求解即可． 【详解】解：图中阴影部分面积为， 游戏板面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故答案为：． 10．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取不在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的计算方法，用空白部分的面积除以大正方形的面积即可求出这个点取不在阴影部分的概率. 【详解】设每一个小正方形的边长为1，则大正方形的面积为9，空白部分的面积为 ∴这个点取不在阴影部分的概率是 故答案为： 题型二 列表法或树状图法求概率 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找恰好选中《周髀算经》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的结果数有6种， ∴选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为， 故选：B. 12．（23-24九年级上·河南新乡·期末）红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出所有可能的结果是解题的关键． 利用列表法展示所有可能的结果，再找出抽到乙、丙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表格为： 勿忘历史 奋进新征程 甲 乙 丙 丁， 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 注意：（乙，丙）和（丙，乙）不一样．（乙，丙）表示乙是“勿忘历史”栏目宣传大使，丙是“奋进新征程”栏目宣传大使．（丙，乙）表示丙是“勿忘历史”栏目宣传大使，乙是“奋进新征程”栏目宣传大使． 故符合条件的只有（乙，丙），概率为， 故选A． 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ． 【答案】/0.1 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 先根据题意画出树状图确定所有等可能出现的结果数，其中两次取出的都是红球的情况数，然后用概率公式求解即可． 【详解】解：结合题意画出树状图如下： 所有等可能出现的结果有20种，其中两次取出的都是红球的情况有2种； ∴两次取出的都是红球的概率是：． 故答案为：． 14．（22-23九年级上·河南郑州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率． 【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示， 根据题意，作出树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的可能性有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是． 故答案为：． 15．（22-23九年级上·河南周口·期末）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，那么甲获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率，概率公式等知识点，根据题意画出树状图，再由“概率所求情况数与总情况数之比”求解是解题的关键． 画出树状图，可以得到一共有种情况，然后计算出数字之和为偶数的情况有种，根据概率公式计算可得答案． 【详解】解：画出树状图如下： 共有种可能的结果，数字之和为偶数的情况有种， 甲获胜的概率为， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·河南南阳·期末）3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． (1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数） (2)若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； (3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)，见解析； (2)估计该校参加魔方游戏的学生人数为人； (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【详解】（1）解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数为人； （3）解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 17．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； （2）解：列表如下： n           m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 18．（23-24九年级上·河南安阳·期末）为了了解学生参加劳动的情况，某学校随机抽取了部分学生就“每周参加劳动的时间”进行调查，为便于统计（劳动时间用t表示，单位：h），设置了如下四个选项，分别为 ，，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．每周参加劳动时间频数分布直方图每周参加劳动时间扇形统计图，请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)本次调查共抽查的学生人数为 人，补全频数分布直方图； (2)若该校共有学生3000人，那么每周参加劳动的时间大于3小时的大约有多少人？ (3)九年级一班每周劳动时间大于3小时的恰好是 2名男生和2名女生，若从他们中任选2人代表班级在全校作心得体会发言，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)，图见解析； (2)每周参加劳动的时间大于3小时的大约有人； (3)恰好是一男一女的概率为． 【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再求出C组的人数，即可得出答案； （2）用总数乘以D组人数所占的百分比，即可求解； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，占， 有20人， ∴本次调查共抽查的学生人数为：（人） ∴的人数有：（人） 补全直方图如下： 故答案为：； （2）解：由题意可知，，属于情况， ∴每周参加劳动的时间大于3小时的大约有： （人）； （3）解：将两名男生标记为男，男，两名女生标记为女，女，则用画树状图列举如下： 由树状图可知共有12种可能情况，其中恰好是一男一女的情况数为8， ∴恰好是一男一女的概率． 19．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果； (2)求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可； （2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择参加自选素质的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别为； （2）解：由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择考试同一项目的结果有3种， 甲、乙两名同学选择考试同一项目的概率． 20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）某校组织七、八、九年级学生参加作文大赛，该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图①②不完整的统计图． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)参赛作文共______篇； (2)图中______，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为______； (3)把条形统计图补充完整； (4)经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用画树状图法或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率． 【答案】(1)100 (2)45，126 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识点，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据七年级的作文篇数和所占的百分比即可以计算出参赛作文的总篇数； （2）根据统计图中的数据，可以计算出m的值和扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数即可； （3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出八年级参赛作文的篇数，据此将条形统计图补充完整； （4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率． 【详解】（1）解：参赛作文的篇数共（篇）． 故答案为：100． （2）解：∵， ∴， 扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：． 故答案为：45，126． （3）解：八年级参加的作文篇数为：， 补全的条形统计图如图： ． （4）解：设七年级的那一篇记为A，八年级和九年级的三篇记为B， 树状图如图所示： 由上可得，一共有12种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种， 所以七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为． 题型三 判断游戏的公平性 21．（2023·河南驻马店·三模）小明和小亮两人用如图所示的转盘（转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上，不记，重新转动），如果两人转得的数字之和为奇数，则小明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则小亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 ．（填“公平”“对小明有利”或“对小亮有利”）    【答案】对小亮有利 【分析】根据题意，画树状图，再运用概率公式求概率，判断游戏公平性． 【详解】根据题意，画树状图如下．    由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种， ∴，． ∵， ∴这个游戏对小亮有利， 故答案为：对小亮有利． 22．（23-24九年级上·河南新乡·期末）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1)见解析 (2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． 23．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）小明和小东在玩转盘游戏，如图，把转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3．把转盘的区域标上数字4，两个区域分别标上数字5和．小明对小东说：“同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，你获胜；当数字之积为偶数时，我获胜；如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． (1)请你利用画树状图或列表的方法，求小东获胜的概率． (2)这个游戏规则对小明和小东双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘上只修改一个数字使游戏公平．（无需说明理由） 【答案】(1) (2)不公平，应把转盘上的数字2改为数字3 【分析】此题考查了游戏的公平性，列表法或树状图求事件的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； （2）结合（1）求出小明获胜的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平． 【详解】（1）解：列表如下： B 积A 5 4 4 1 5 4 4 2 10 8 8 3 15 12 12 从表格可以看出，一共有12种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的共有4种结果， （小东获胜）． （2）解：由（1）可知，（小东获胜），（小明获胜），， 这个游戏规则对小明和小东双方不公平． 把转盘上的数字2改为数字3，游戏就公平了．（答案不唯一，只要把数字2改为任意一个奇数即可）． 24．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）2023年10月26日11时14分神舟十七号载人飞船成功发射．2023年，中国航天开启高质量、高效率、高效益发展新征程，中国人探索太空的脚步将迈得更稳更远！为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，阳光中学举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的李阳和王含都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，一致决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为0时，李阳获胜；数字之和为1时，王含获胜，其他情况视为平局．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止） (1)用画树状图或列表法求李阳获胜的概率； (2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，判断游戏的公平性．正确画出树状图或列出表格表示出所有等可能的情况是解题关键． （1）根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合李阳获胜的情况，最后根据概率公式求解即可； （2）找出符合王含获胜的情况，根据概率公式求出其获胜概率，再比较即可． 【详解】（1）解：根据题意可列表格如下： 转盘A 转盘B 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 由表格可知共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为0的有3种情况， ∴； （2）解：由表格可知两个指针所指区域的数字之和为1的有3种情况， ∴， ∴，即这个游戏规则对双方公平． 25．（23-24九年级上·河南南阳·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．      (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)此游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)此游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏公平性、树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据题意画树状图即可； （2）共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，求出小雪参赛和小英参赛的概率，即可得出结论． 【详解】（1）画树状图如下：    共有9种等可能的结果； （2）此游戏公平，理由如下： 共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种， 小雪参赛的概率为，小英参赛的概率为， 此游戏公平． 26．（23-24九年级上·河南周口·期末）在一次数学兴趣小组活动中，张红和李燕两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则张红获胜；若指针所指区域内两数之和大于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局．（若指针停在分界线上，重转） (1)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中两数之和的所有可能结果． (2)判断该游戏对张红和李燕两位同学是否公平?若不公平，请修改上述游戏规则，使该游戏对游戏双方是公平的． 【答案】(1)表格见解析 (2)该游戏对张红和李燕两位同学不公平．修改上述游戏规则见解析 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据题意列表即可； （2）根据表格中数据求出两个人获胜的概率，然后再进行判断即可；根据表格中数据修改游戏规则即可． 【详解】（1）解：根据题意列表如下： 3 4 5 6 9 10 11 7 10 11 12 8 11 12 13 9 12 13 14 两数和的所有结果如表所示． （2）解：由（1）可知两数之和共有12种等可能的结果，其中和小于12的结果有6种，和大于12的结果有3种， ∴张红获胜的概率为：，李燕获胜的概率为：， 该游戏对张红和李燕两位同学不公平， 修改上述游戏规则如下： 两人分别转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则张红获胜；若指针所指区域内两数之和大于或等于12，则李燕获胜．（若指针停在分界线上，重转） 27．（23-24九年级上·河南新乡·期末）九年级班评选生物课代表时，甲、乙两名同学的选票一致．生物老师决定通过游戏的方式确定最终课代表的人选，游戏规则如下： 第一步：将正面分别印有“月季”“百合”“蜜蜂”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张； 第二步：将正面分别印有“蜻蜓”“桑蚕”“玫瑰”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张； 若两次抽取的卡片图案为同一类目（同为昆虫或同为花卉），选甲为课代表，反之选乙为课代表． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】不公平，详见解析． 【分析】列表列出所有等可能的结果，找出其中同为昆虫或同为花卉的情况，根据概率公式即可分别求得选甲、乙为课代表的概率，概率相等即为公平，不相等即为不公平．本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式求概率、游戏的公平性，解题关键是准确地用表格或树状图列出所有等可能情况． 【详解】解：由题意，列表如下： 第一步 第二步 月季 百合 蜜蜂 蜻蜓 （月季，蜻蜓） （百合，蜻蜓） （蜜蜂，蜻蜓） 桑蚕 （月季，桑蚕） （百合，桑蚕） （蜜蜂，桑蚕） 玫瑰 （月季，玫瑰） （百合，玫瑰） （蜜蜂，玫瑰） 由表知，一共有9种等可能的情况，其中同为昆虫或同为花卉的情况有4种， 选甲为课代表的概率是，选乙为课代表的概率是．     ， 这个游戏对双方不公平． 28．（22-23九年级上·河南郑州·期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘． (1)转盘转到4的倍数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【详解】（1）解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中4的倍数有2个， ∴转盘转到4的倍数的概率为； （2）游戏不公平， ∴小亮去参加活动的概率为， 小芳去参加活动的概率为：， ∵， ∴游戏不公平． 29．（22-23九年级上·河南信阳·期末）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏对双方公平 【分析】先画树状图将所有可能发生的结果分析出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 由图，可知共有12种等可能的结果，其中和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果为6种. ∴， ∴. ∴游戏对双方公平． 30．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 【答案】不公平，理由见解析 【分析】通过画树状图得出所有等可能的结果，以及数字之和为偶数、奇数的情况，再利用概率公式分别求得甲、乙获胜的概率，即可判断游戏是否公平． 【详解】解：由题意，画树状图得： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中两数之和为偶数的有2种情况，两数之和为奇数的有4种情况， 因此甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， 由可知，这个游戏对甲、乙双方不公平． 题型四 概率的应用 31．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 32．（22-23九年级上·河南焦作·期末）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1．， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， ∴遇到黄灯的概率为．故选D． 33．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 34．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 78 79 81 82 x 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 （1）求x的值；       （2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【答案】（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析． 【分析】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可； （2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析． 解法2：从概率的角度以及数据的变化趋势分析． 【详解】解：（1）依题意，可知 甲的中位数为，乙的众数为80， ∴， 解得x=84． （2）解法一：派甲参赛比较合适． 理由如下： ， ， ， ， 因为，， 所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 解法二：派乙参赛比较合适． 理由如下： 从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率， 乙获得85分以上（含85分）的概率， 因为P1＜P2， 所以派乙参赛比较合适． 35．（20-21九年级上·河南新乡·期末）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1) (2)25，125，75 (3)谨慎参加类似游戏 【分析】（1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少； （3）谨慎参加类似游戏． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 36．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可. 【详解】画树状图得： 所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$