专题05 一元一次方程（考点串讲，4大考点+10大题型突破+7大方法突破+3大思想突破+4大易错）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（人教版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 专题05 一元一次方程 人教版（2024） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 十大题型典例剖析+七大方法+三大思想 四大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 目 录 考点1一元一次方程及其解 1. 下列方程中是一元一次方程的是(　B　) A. 2 x ＝3 y B. 7 x ＋5＝6( x －1) C. x2＋ x ＝1 D. ＋ x ＝3 B 考点透视 2. [2023武汉]若( a2－4) x2＋( a ＋2) x ＋3＝0是关于 x 的一元一次方程，则2 a ＋1的值为(　A　) A. 5 B. －3 C. －3或5 D. 2 A 3. 【新考法·整体代入法2024长沙月考】已知 x ＝1是关于 x 的方程3 x － m ＝ x ＋2 n 的解，则式子 m ＋ n ＋2 024的值为 ⁠. 2 025　 考点2等式的性质 4. 下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　B　) A. 如果 a ＋5＝5－ b ，那么 a ＝ b B. 若 ＝ ，则 a ＝ b C. 若2 x ＝2 a － b ，则 x ＝ a － b D. 若 x2＝6 x ，则 x ＝6 B 5. 如图所示的3个天平左盘中“ ”“ ”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ⁠. 10　 6. [2024大连九中月考]能否从等式(2 a －1) x ＝3 a ＋5得到 x ＝ ，为什么？反过来，能否从 x ＝ 得到(2 a －1) x ＝3 a ＋5，为什么？ 解： 不能从等式(2 a －1) x ＝3 a ＋5得到 x ＝ . 理由：当2 a －1＝0时，无意义.能从 x ＝ 得到(2 a －1) x ＝3 a ＋5. 理由：方程的两边都乘(2 a －1). 考点3解一元一次方程 7. [2024邯郸邯山区期末]下列方程变形中，正确的是(　D　) A. 方程3 x －2＝2 x ＋1，移项，得3 x －2 x ＝－1＋2 B. 方程3－ x ＝2－5( x －1)，去括号，得3－ x ＝2－5 x －1 C. ＝ －1，去分母，得4( x ＋1)＝3 x －1 D. 方程－ x ＝4，未知数系数化为1，得 x ＝－10 D 8. 小明同学在解方程5 x －1＝ mx ＋3时，把数字 m 看错了，解得 x ＝－ ，则该同学把 m 看成了(　C　) A. 3 B. － C. 8 D. －8 C 10. 若关于 x 的方程 ＋ ＝1与 x － ＝ a 的解相同，则 a ＝ . 　 9. [2024宁波期末]若关于 x 的方程( k －2 024) x －2 022＝6－2 024( x ＋1)的解是整数，则整数 k 的取值个数是(　C　) C A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 11. [2024东营胜利一中月考]已知关于 x 的方程2 a ( x －1)－(5－ a ) x ＝3 b 有无数多个解，求常数 a ， b 的值. 解： 化简，得2 ax －2 a －5 x ＋ ax ＝3 b ， 整理，得(3 a －5) x ＝2 a ＋3 b . 因为关于 x 的方程2 a ( x －1)－(5－ a ) x ＝3 b 有无数多个解， 所以3 a －5＝0，2 a ＋3 b ＝0， 解得 a ＝ ， b ＝－ . 12. 解下列方程： (1)4( x －1)＋1＝2 x －6； 解： x ＝－ (2) － ＝1. 解： x ＝－7 考点4一元一次方程的应用 13. 【新考向·数学文化】我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设换了清酒 x斗，那么可列方程为(　A　) A A. 10 x ＋3(5－ x )＝30 B. 3 x ＋10(5－ x )＝30 C. ＋ ＝5 D. ＋ ＝5 14. [教材P131习题T12变式]从甲地到乙地，水路比陆路近40千米，上午10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1点，一辆汽车从甲地开往乙地，它们同时到达乙地，轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，那 么从甲地到乙地水路与陆路各是多少千米？ 解： 设从甲地到乙地陆路长为 x 千米，则水路长为( x －40)千米. 由题意，得 ＝ ＋3，解得 x ＝280. 所以 x －40＝240. 答：从甲地到乙地的水路长为240千米，陆路长为280千米. 15. [2024南京金陵汇文学校期末]某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品.现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成.已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件. (1)求这批纪念品共有多少件？ 解： (1)设这批纪念品共有 x 件，依题意，得 － ＝5，解得 x ＝3 600. 所以这批纪念品共有3 600件. (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品.在生产该纪念品的过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11 000元，每天支付给乙工厂的费用是16 000元，且每天的其它支出费用是1 000元.求该外贸公司为生产这批纪念品所支出的费用总和. 解： (2)设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要 y 天完成，依题意，得 (240＋360) y ＝3 600，解得 y ＝6. (11 000＋16 000＋1 000)×6＝168 000(元). 所以该外贸公司为生产这批纪念品所支出的费用总和是168 000元. 16. [2024日照期末]某社区超市第一次用6 000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的 多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表.(注：获利＝售价－进价) 甲 乙 进价 / (元/件) 22 30 售价 / (元/件) 29 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ 解： (1)设该超市第一次购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品 件，根据题意，得22 x ＋30 ＝6 000，解得 x ＝150. 所以 x ＋15＝ ×150＋15＝90. 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件. (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得多少利润？ 解： (2)(29－22)×150＋(40－30)×90＝1 950(元). 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得利润1 950元. (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍，甲种商品按原价销售，乙种商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后，获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的？ 解： (3)设第二次乙种商品是按原价打 y 折销售的，根据题意，得 (29－22)×150＋ ×90×3＝1 950＋180，解得 y ＝8.5. 答：第二次乙种商品是按原价打八五折销售的. 题型1解方程在一元一次方程定义中的应用 1. 若方程( a －1) x｜ a｜－1＝0是关于 x 的一元一次方程，则 a ＝ ⁠. －1　 题型突破 题型2解方程在一元一次方程的解中的应用 2. 【新考法·同解同求法】已知关于 x 的方程 ＋ ＝ x －4与方程 ( x －16)＝－6的解相同，求 m 的值. 解： 解方程 ( x －16)＝－6，得 x ＝4. 将 x ＝4代入 ＋ ＝ x －4，得 ＋ ＝0， 解得 m ＝－6. 题型3解方程在错解问题中的应用 3. [2024上海宝山区模拟]小明在解关于 x 的方程3( x ＋ a )＝2 x ＋4，在去括号时，将 a 漏乘了3，得到方程的解是 x ＝3. (1)求 a 的值； 解： (1)由题意可知 x ＝3是方程3 x ＋ a ＝2 x ＋4的解， 所以3×3＋ a ＝2×3＋4，解得 a ＝1. (2)求此方程正确的解. 解： (2)把 a ＝1代入原方程，得3( x ＋1)＝2 x ＋4，解得 x ＝1. 题型4解方程在解新定义问题中的应用 4. 【新视角·新定义题】“△”表示一种新运算，其意义是 a △ b ＝3 a ＋2 b . 若 x △6＝18，则 x ＝ ⁠. 点拨：根据题中的新运算得3 x ＋12＝18，解得 x ＝2. 2　 题型5整体求解法在解方程中的应用 5. [2024成都七中育才学校模拟]解方程： 20－4(2 x ＋3)－3( x －2)＝8( x －2)－2(2 x ＋3). 解： 把2 x ＋3， x －2分别看成一个整体，进行移项、合并同类项，得 11( x －2)＋2(2 x ＋3)＝20.去括号，得11 x －22＋4 x ＋6＝20. 移项，得11 x ＋4 x ＝20＋22－6.合并同类项，得15 x ＝36. 系数化为1，得 x ＝ . 题型6解方程在解含多重括号的方程中的应用 6. 解方程： ＝1. 解： 去大括号，得 ［ －6］＋4＝2. 去中括号，得 －6＋12＝6. 去小括号，得 x － －6＋12＝6. 移项、合并同类项，得 x ＝ . 系数化为1，得 x ＝5. 题型7解方程在解分母为小数的方程中的应用 7. 解方程： ＋ ＝ . 解： 分母化为整数，得 ＋ ＝2 x . 去分母，得5( x －4)＋2(2 x －3)＝20 x . 去括号，得5 x －20＋4 x －6＝20 x . 移项，得5 x ＋4 x －20 x ＝20＋6. 合并同类项，得－11 x ＝26. 系数化为1，得 x ＝－ . 题型8解方程在含字母参数的方程中的应用 8. [2024长沙一中模拟]已知关于 x 的一元一次方程2 024 x －3＝4 x ＋3 b 的解为 x ＝6，则关于 y 的一元一次方程2 024(1－ y )＋3＝4(1－ y )－3 b 的解为(　D　) A. y ＝－5 B. y ＝－7 C. y ＝5 D. y ＝7 D 9. 若关于 x 的方程 a (2 x ＋ b )＝12 x ＋5无解，求 a ， b 的值或取值范围. 解： 对原方程变形，得(2 a －12) x ＝5－ ab . 当2 a －12＝0且5－ ab ≠0时，方程无解， 所以 a ＝6， b ≠ . 题型9解方程在解含绝对值问题中的应用 10. 【新考法·阅读类比法】先阅读下面的解题过程，再解决问题. 解方程：｜ x ＋3｜＝2. 解：当 x ＋3≥0时，原方程可化为 x ＋3＝2， 解得 x ＝－1； 当 x ＋3＜0时，原方程可化为 x ＋3＝－2， 解得 x ＝－5. 所以原方程的解是 x ＝－1或 x ＝－5. (1)解方程：｜3 x －1｜－5＝0. 解： (1)移项，得｜3 x －1｜＝5. 当3 x －1≥0时，原方程可化为3 x －1＝5， 解得 x ＝2； 当3 x －1＜0时，原方程可化为3 x －1＝－5， 解得 x ＝－ . 所以原方程的解是 x ＝2或 x ＝－ . ①无解； ②只有一个解； ③有两个解. 解： (2)因为｜ x －2｜≥0，所以： ①当 b ＜0时，方程无解； ②当 b ＝0时，方程只有一个解； ③当 b ＞0时，方程有两个解. (2)探究：当 b 为何值时，方程｜ x －2｜＝ b ， 题型10解方程在解数轴上动点问题中的应用 11. [2024泰兴济川初级中学月考]如图，数轴上点 A 表示的数为－3，点 B 表示的数为4，阅读并解决相应问题. (1)问题发现：若在数轴上存在一点 P ，使得点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和等于 n ，则称点 P 为点 A ， B 的“ n 节点”.如图①，若点 P 表示的数为1，点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为4＋3＝7，则称点 P 为点 A ， B 的“7节点”. 填空：①若点 P 表示的数为－2，则 n 的值为 ⁠；②数轴上表示整数的点称为整点，若整点 P 为 A ， B 的“7节点”，则这样的整点 P 共有 个. 7　 8　 点拨：设点 P 表示的数为 x . 则点 P 到点 A 的距离为｜ x －(－3)｜＝｜ x ＋3｜，点 P 到点 B 的距离为｜ x －4｜. 当 x ＋3＞0，且 x －4＞0，即 x ＞4时，因为｜ x ＋3｜＞7， 所以｜ x ＋3｜＋｜ x －4｜＞7，不符合题意； 当 x ＋3≥0，且 x －4≤0，即－3≤ x ≤4时， ｜ x ＋3｜＋｜ x －4｜＝ x ＋3＋4－ x ＝7，符合题意； 当 x ＋3＜0，且 x －4＜0，即 x ＜－3时，因为｜ x －4｜＞7， 所以｜ x ＋3｜＋｜ x －4｜＞7，不符合题意.所以－3≤ x ≤4. 因为 P 为整点，所以 P 表示的数为－3或－2或－1或0或1或2或3或4. 所以整点 P 共有8个. (2)类比探究：如图②，若点 P 为数轴上一点，且点 P 到点 A 的距离为1，请你求出点 P 表示的数及 n 的值. 解： (2)因为点 P 到点 A 的距离为1，点 A 表示的数为－3，所以点 P 表示的数为－4或－2. 当点 P 表示的数为－4时，点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为 1＋8＝9，即 n ＝9； 当点 P 表示的数为－2时，点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为 1＋6＝7，即 n ＝7. (3)拓展延伸：若点 P 在数轴上运动，满足点 P 到点 B 的距离等于点 P 到点 A 的距离的 ，且此时点 P 为点 A ， B 的“ n 节点”，请写出点 P 表示的数及 n 的值. 解： (3)设点 P 表示的数为 y .根据题意，得 ×｜ y ＋3｜＝｜ y －4｜. 当 y ＋3＞0，且 y －4＞0，即 y ＞4时， ( y ＋3)＝ y －4，解得 y ＝25. 当 y ＋3≥0，且 y －4≤0，即－3≤ y ≤4时， ( y ＋3)＝4－ y ，解得 y ＝1. 当 y ＋3＜0，且 y －4＜0，即 y ＜－3时， (－ y －3)＝4－ y ，解得 y ＝25(不符合题意，故舍去). 所以 y ＝25或 y ＝1，即点 P 表示的数为25或1. 当点 P 表示的数为25时， n ＝｜25－(－3)｜＋｜25－4｜＝49； 当点 P 表示的数为1时， n ＝｜1－(－3)｜＋｜1－4｜＝7. 方法1利用基本数量关系寻找相等关系 1. [2024泰州姜堰区南苑学校模拟]一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则长方形的长为多少？ 解： 设正方形的边长为 x cm，则长方形的长为( x ＋8)cm，宽为( x －2)cm. 由题意得2( x ＋8＋ x －2)＝40，解得 x ＝7.则 x ＋8＝15. 答：长方形的长为15 cm. 方法思想突破 方法2抓住问题中的“关键词”寻找相等关系 2. 【新趋势·跨学科】《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》 《雅》 《颂》三部分.其中《颂》有40篇，比《风》的篇数少 ，《风》有 篇. 160　 3. [2024重庆南开中学期末]某超市为了方便居民，推出了食材套餐，其中宫保鸡丁套餐和地三鲜套餐深受欢迎，地三鲜套餐单价比宫保鸡丁套餐单价的 还多2元.小伟家买了6个地三鲜套餐和3个宫保鸡丁套餐囤货，共花了102元， 请问地三鲜套餐单价是多少元？ 解： 设宫保鸡丁套餐单价为 x 元，则地三鲜套餐单价是 元. 依题意得6 ＋3 x ＝102，解得 x ＝18. 故 x ＋2＝ ×18＋2＝8. 答：地三鲜套餐单价是8元. 方法3抓住问题中的“用不同方式表示同一个量”寻找相等关系 4. [教材P130习题T6变式]成都大运会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ 解： 设计划调配36座新能源客车 x 辆，则需调配22座新能源客车( x ＋4)辆. 依题意得36 x ＋2＝22( x ＋4)－2，解得 x ＝6. 则有志愿者36×6＋2＝218(名). 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者. 5. 【新考向·数学文化】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若 每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问：共有多少人，多少辆车？ 解： 设共有 x 人. 根据题意，得 ＋2＝ ，解得 x ＝39. 则有车 ＝15(辆). 答：共有39人，15辆车. 方法4直接设元法 6. [2024天津四十三中期末]小李读一本名著，第一天读了36页，第二天读了剩余部分的 ，这两天共读了整本书的 .这本名著共有多少页？ 解： 设这本名著共有 x 页. 根据题意，得36＋ ( x －36)＝ x ，解得 x ＝216. 答：这本名著共有216页. 方法5间接设元法 7. 四篮苹果共200个，把第一篮的个数加上4，第二篮的个数减去4，第三篮的个数乘4，第四篮的个数除以4，每篮所得的数目一样.求这四篮苹果原来分别有多少个. 解： 设每篮所得的数目为 x ，则四篮苹果原来的个数分别为 x －4， x ＋4， x ，4 x .根据题意，得 ( x －4)＋( x ＋4)＋ x ＋4 x ＝200，解得 x ＝32. 则 x －4＝28， x ＋4＝36， x ＝8，4 x ＝128. 所以这四篮苹果原来分别有28个、36个、8个、128个. 方法6 整体设元法 8. [2024常州实验初级中学月考]一个五位数的个位上的数为4，这个五位数加上6 120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数. 解： 设原五位数去掉个位上的数后的四位数为 x ，则原五位数可表示为 10 x ＋4.根据题意，得 (10 x ＋4)＋6 120＝4×10 000＋ x ，解得 x ＝3 764. 则10 x ＋4＝37 644. 所以原五位数是37 644. 方法7辅助设元法 9. 某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10％.今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10％.为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？ 解： 设去年的总产量为 a ，今年新能源汽车的产量应增加的百分数是 x ， 则去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90％ a 和10％ a ，根据题意，得 90％ a ×(1－10％)＋10％ a (1＋ x )＝ a ， 解得 x ＝0.9＝90％. 答：今年新能源汽车的产量应增加的百分数是90％. 思想1整体思想 1. 解方程： (2 x －1)＋ (2 x －1)＝－ (2 x －1)＋9. 解： 原方程可化为 (2 x －1)＋ (2 x －1)＋ (2 x －1)＝9， ×(2 x －1)＝9，2 x －1＝9，解得 x ＝5. 思想2分类讨论思想 2. 【易错题】关于 x 的方程 mx2 m－1＋( m －1)· x －2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ⁠ .[提示： x0＝1( x ≠0)] x ＝2或 x ＝－2或 x ＝－3 思想3数形结合思想 3. 【新视角·动点探究题2024东营胜利一中月考】如图，数轴上两个动点 A ， B 开始时所表示的数分别为－8，4， A ， B 两点各自以一定的速度在数轴上运动，且点 A 的运动速度为2个单位长度/秒. (1) A ， B 两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求点 B 的运动速度. 解： (1)设点 B 的运动速度为 x 个单位长度/秒. 由题意，得 x ＝4，解得 x ＝1. 所以点 B 的运动速度为1个单位长度/秒. (2) A ， B 两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？ 解： (2)设 t 秒时两点相距6个单位长度. ①当点 A 在点 B 左侧时，2t － t ＝(4＋8)－6，解得 t ＝6； ②当点 A 在点 B 右侧时，2 t － t ＝(4＋8)＋6， 解得 t ＝18. 所以6秒或18秒时两点相距6个单位长度. (3) A ， B 两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点 C 从原点出发向同方向运动，且在运动过程中，始终有 CB ∶ CA ＝1∶2.若干秒后，点 C 在－10处，求此时点 B 的位置. 解： (3)设点 C 的运动速度为 y 个单位长度/秒. 因为始终有 CB ∶ CA ＝1∶2， 所以列方程为2－ y ＝2( y －1)，解得 y ＝ . 当点 C 在－10处时，所用的时间为 ＝ (秒)，此时 点 B 所表示的数为4－ ×1＝－ . 所以此时点 B 的位置在－ 处. B 易错易混 B 44 1. [2024上海浦东新区期末]已知下列方程：① ＝－2；②0.2 x ＝1； ③9－3＝8－2；④ x2－4－3 x ；⑤ x ＝0；⑥ x － y ＝6. 其中一元一次方程有(　B　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 B 押题预测 2. [2024黄冈期末]下面是小丽在学习一元一次方程时对四个等式进行的变形，其中正确的是　(　D　) A. 若 a ＝ b ，则 a ＋ c ＝ b － c B. 若 a ＝ b ，则 ＝ C. 若 x ＋2 m ＝ y ＋2 m ，则 x ＋ y ＝0 D. 若( m2＋2) a ＝－( m2＋2)，则 a ＝－1 D 3. [2024济南期末]在解方程 － ＝1的过程中，变形正确的是(　C　) A. 2( x －1)－( x ＋2)＝1 B. 2( x －1)－ x ＋2＝1 C. 2( x －1)－( x ＋2)＝6 D. 2( x －1)－ x ＋2＝6 C 4. [2024北京石景山区期末]已知某商店有两件进价不同的商品都卖了60元，其中一件盈利20％，另一件亏损20％，在这次买卖中，这家商店(　B　) A. 盈利5元 B. 亏损5元 C. 不盈不亏 D. 亏损10元 B 5. [2023黄石期末]解方程： (1)4－3(2－ x )＝5 x ； 解： x ＝－1 (2) －1＝ － . 解： x ＝3 6. 【新视角·规律探究题2024金华期末】观察下表，回答下列问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 … 第1行 －2 4 －8 a －32 64 … 第2行 0 6 －6 18 －30 66 … 第3行 －1 2 －4 8 －16 b … (1)第1行第4列的数 a 是 ，第3行第6列的数 b 是 ⁠； (2)第1行第 n 列的数是 ，第2行第 n 列的数是 ；(用含 n 的式子表示) 16　 32　 (－2) n 　 (－2) n ＋2　 (3)已知第 n 列的三个数的和是2 562，设第1行第 n 列的数为 x ，求 x 的值. 解：(3)根据题意，这三个数依次为 x ， x ＋2， x ，得 x ＋ x ＋2＋ x ＝2 562，解得 x ＝1 024. $$