14.2 乘法公式 解答题题型专练 （六大题型33题）2024-2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第14章 14.2 乘法公式 解答题题型专练 （六大题型33题）（解析版） 【题型归纳】 题型1：运用平方差公式进行运算（4题） 题型2：平方差公式与几何图形（4题） 题型3：运用平方差公式和完全平方公式进行运算（4题） 题型4：通过对完全平方公式变形求值（6题） 题型5：求完全平方式中的字母系数（4题） 题型6：完全平方式在几何图形中的应用（11题） 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，求代数式的值，先根据单项式乘多项式的运算法则和平方差公式将原式展开，然后进行合并，最后将，代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序和公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，进而把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴ ． 3．已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，先算乘法，再合并同类项，最后求出后代入，即可求出答案，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式， 4．观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律：= ． (3)根据（2）求出：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 5．【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 6．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 7．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 8．探究活动： （）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； （）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______＿（写成多项式乘法的形式）； 比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式______． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】探究活动：（）；（），；知识应用：①；②． 【分析】探究活动： （）用大正方形的面积减小正方形的面积即可求解； （）利用矩形的面积公式即可表示阴影部分的面积，再根据图①、图②阴影部分的面积相等即可得到公式； 知识应用： ①利用（）所得公式的逆运算解答即可求解； ②由得到，由所得公式得到，进而即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． 【详解】解：探究活动： （）阴影部分的面积是， 故答案是：； （）长方形的面积是； ∵图①、图②阴影部分的面积相等， ∴可以得到公式是， 故答案为：，； 知识应用： ①原式； ②∵， ∴， 又∵， ∴． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据单项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时， 原式， ， ， ， 11．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值，相应的的值为 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； （3）解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； （4）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 12．已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算、平方差公式、完全平方公式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．将化简为，由可变化为，再将作为一个整体代入，即可求出该式的值． 【详解】解：原式， ， 当时，即， 原式， ， 13．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据完全平方公式得到，则可求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．已知，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）根据，即可解答； （2）根据，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据完全平方公式可将原式化为，再根据平方的非负性，求得，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的值是． 16．定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则________，________； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 【答案】(1)2，1； (2)①见解析，②9 (3)1 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据配方法的定义配方即可； （2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将配方成，即可确定最小值； （3）根据原式可变形得，再配方可得，再根据平方的非负性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：2，1； （2）①证明：， 多项式的值一定恒为正数； ②解： ， 的最小值为9； （3）， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 17．代数推理： 例题：求的最小值． 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以， 所以：当时，有最小值，最小值为5． 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________； (2)仿照例题的方法求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为5a和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36，6 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公式的结构特征，即可获得答案； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）首先根据题意得，，进而计算并整理，然后根据完全平方公式的非负性可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得， 故答案为：36，6； （2） 无论取何值，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）由题意得，， ∴ ， 无论取何值，总是非负数，即 ， ∴ ∴的最小值为11， ∴， ∴． 18．把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 19．（1）若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为________； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式， （1）直接根据完全平方公式的结构特征列式计算即可； （2）先将等式移项，再根据完全平方公式配成，问题随之得解． 【详解】解：（1）∵关于x的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 即， 解得：，， ∴． 20．已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 21．已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）将A、B代入，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由题可得：， 是关于x的一个完全平方式， 则可以为， 原式 ， 整式可以是（答案不唯一）． 22．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】(1)； (2) (3)①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 【点睛】​ 24．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______． (2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______． (3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______； (4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）由（3）的结论代入计算即可． 【详解】（1）由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：； （2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即； 故答案为：，； （3）由（2）得， 故答案为：； （4）∵，，， ∴ ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． 25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到数学等式：．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若 ， ，则 ． (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，请参照上述拼接的方法，求 的值． 【答案】(1) (2)30 (3)15 【分析】（1）直接观察图2即可得出结果； （2）根据（1）的结论整体代入即可得出答案； （3）根据图（1）（2）画出长方形，再根据多项式乘多项式即可求得结论． 【详解】（1）解：如图2，用两种形式表示正方形的面积： 和 故答案为： （2）解： 将 ， 代入得： 故答案为30． （3）解：如图是面积为 的长方形 答：的值为15． 【点睛】本题考查了因式分解得应用和完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是整体代入思想的运用． 26．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系：　 　； (2)利用（1）中的结论，若，，则的值是 　 　； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：　 ； (4)两个正方形，如图④摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）图①的面积是，图②的面积是，由此即可求解； （2）根据（1）的结论，代入计算即可求解； （3）将图形中各部分的面积通过图形面积计算公式表示出来并等于大长方形的面积即可求解； （4），并计算出，分别求出，，根据图中阴影部分面积和，由此即可求解． 【详解】（1）解：中间部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． （3）解：分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：， 故答案为：． （4）解：∵，， ∴①， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴②， ①+②得，， ∴， 图中阴影部分面积和 ． 【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法，乘法公式与图形面积，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 27．【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 28．阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 解决问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是7，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)29． 【分析】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用； （1）设，，可得，，再利用，再代入计算即可；熟记完全平方公式的变形是解本题的关键； （2）由图形可得，，求得，设，，利用矩形面积公式结合完全平方公式计算可得答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ； （2）解：正方形的边长为x，，， ，， 四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，长方形的面积是7， ，， ，，， ， 设，，则，， 阴影部分的面积 ， ，即， 解得：， ，即阴影部分的面积为29． 29．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：______，利用图2得到的结论，解决问题：若，，则______； (2)如图3，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______． 【答案】(1)；155 (2)9 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论；利用图2中的结论进行求解即可； （2）根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，可知的值，代入求解即可； 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积， ∴； ∴， ， 把代入得， ． 故答案为：，155． （2）解：， 可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图：      ∴，，， ∴． 故答案为：9． 30．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； (2)用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； (3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 【答案】(1) (2) (3)①33，②40 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）①利用代入求值即可， ②利用代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，， 即； （2）解：图2中，由图可知， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （3）解：①，， ， ②，， ． 31．如图1，将边长为的两个正方形和两个边长分别为的长方形拼凑成如图2所示的大正方形．记四边形的面积分别为． (1)若，则；若，则； (2)如图3，连接交于点．若四边形的面积与三角形面积之差是的2倍，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，通过完全平方公公式进行计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． （1）根据正方形与长方形的面积公式可得，进而得出；根据完全平方公式变形可得，进而即可求解． （2）根据题意可得即化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴， 若， ∴ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵四边形的面积， 三角形面积 依题意， 即 ∴， ∴ ∴ 32．（1）【问题呈现】 已知，，求下列各代数式的值：①；    ②． （2）【问题推广】 若，则________； （3）【问题拓展】 如图，已知E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是20，分别以，为边长作正方形和正方形，直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）①13；②；（2）5；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用等知识点， （1）①根据恒等变形即可得解，②根据恒等变形即可得解； （2）设，，则，，由代入计算即可； （3）由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为，，设，，则，，根据求出的值，再利用进行计算即可； 掌握完全平方公式的结构特征是正确解答此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴①， ②∵ ∴； （2）设，，则，， ∴ ； （3）设正方形的边长为x， 由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵长方形的面积是20， ∴， 设，，则，， ∴ ， ∴（负值舍去）， ∴ ． 33．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，，且，则__________； （3）由完全平方公式：，可得__________ 拓展应用：若，求的值． （4）拓展：如图3，在中，，，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使，设，分别以BC，CQ为边在外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若，的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 【答案】（1）；（2）3；（3）；拓展应用：；（4）79． 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）通过移项得出结论； 拓展应用：利用，整体思想求出结果； （4）根据题意得，再结合，得出，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵, （2）由 （1）可得, （3）∵ （4）设， 则, ， , ∵, , 令, ， 正方形ABCD和正方形COPQ的面积和: 【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，整式的混合运算，多项式的乘法 ，熟练掌握完全平方公式的结构特征及变形是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第14章 14.2 乘法公式 解答题题型专练 （六大题型33题）（原卷版） 【题型归纳】 题型1：运用平方差公式进行运算（4题） 题型2：平方差公式与几何图形（4题） 题型3：运用平方差公式和完全平方公式进行运算（4题） 题型4：通过对完全平方公式变形求值（6题） 题型5：求完全平方式中的字母系数（4题） 题型6：完全平方式在几何图形中的应用（11题） 题型1：运用平方差公式进行运算（4题） 1．先化简，再求值：，其中，． 2．已知，求代数式的值． 3．已知，求代数式的值． 4．观察下列各式：; ； ；… (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律：= ． (3)根据（2）求出：的结果． 题型2：平方差公式与几何图形（4题） 5．【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：①已知，，则的值为 ； ②计算：．【拓展】（3）计算：． 6．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 7．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 8．探究活动：（）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；（）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）；比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式______．知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：①计算：； ②若，，求的值． 题型3：运用平方差公式和完全平方公式进行运算（4题） 9．先化简，再求值：，其中． 10．先化简，再求值：，其中 11．阅读理解并解答：(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：， ，．则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 12．已知，求代数式的值． 题型4：通过对完全平方公式变形求值（6题） 13．已知，，求的值． 14．已知，求(1)；(2) 15．已知，求的值． 16．定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则________，________；(2)若多项式，．①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数；②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 17．代数推理：例题：求的最小值． 解： 无论取何值，总是非负数，即所以， 所以：当时，有最小值，最小值为5． 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________；(2)仿照例题的方法求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为5a和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 18．把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：(1)若，，求的值； (2)若，，求的值．(3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 题型5：求完全平方式中的字母系数（4题） 19．（1）若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为________；（2）若，求的值． 20．已知多项式．(1)化简多项式A；(2)若是一个完全平方式，求A的值． 21．已知：整式，整式．(1)化简：；(2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 22．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．(1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 题型6：完全平方式在几何图形中的应用（11题） 23．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 24．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______； (4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______． 25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到数学等式：．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式 ．(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ， ，则 ． (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，请参照上述拼接的方法，求 的值． 26．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)．(1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系：　 　； (2)利用（1）中的结论，若，，则的值是 　 　； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：　 ； (4)两个正方形，如图④摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和． 27．【提出问题】利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．  （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示）（ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】（2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 28．阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 解决问题：(1)若x满足，求的值； (2)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是7，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 29．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题。根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：______，利用图2得到的结论，解决问题：若，，则______；(2)如图3，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______． 30．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个．(1)用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式；(2)用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式；(3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求；②若，，求． 31．如图1，将边长为的两个正方形和两个边长分别为的长方形拼凑成如图2所示的大正方形．记四边形的面积分别为． (1)若，则；若，则； (2)如图3，连接交于点．若四边形的面积与三角形面积之差是的2倍，求的值． 32．（1）【问题呈现】已知，，求下列各代数式的值：①；    ②． （2）【问题推广】若，则________； （3）【问题拓展】如图，已知E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是20，分别以，为边长作正方形和正方形，直接写出阴影部分的面积． 33．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，，且，则__________； （3）由完全平方公式：，可得__________ 拓展应用：若，求的值． （4）拓展：如图3，在中，，，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使，设，分别以BC，CQ为边在外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若，的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$