第05讲 用二次函数解决问题（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第05讲 用二次函数解决问题 课程标准 学习目标 1 掌握利用二次函数解决实际问题的基本思路和方法。 2 能从实际问题中抽象出二次函数模型，并分析求解。 3 体会二次函数在解决最值问题、运动轨迹等实际场景中的应用价值。 1. 熟悉用二次函数解决问题的步骤和要点。 2. 会建立二次函数模型解决几何、物理等领域的实际问题。 3. 感受二次函数解决问题的强大功能，增强应用意识。 知识点一、建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 知识点二、建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 题型01 销售问题 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 2．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 　． 【分析】当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售（125﹣5x）件，利用每天的销售利润＝每件学具的销售利润×日销售量，即可找出y与x的函数关系式． 【解答】解：当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售50﹣（x﹣15）×5＝（125﹣5x）件， 根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x）， 即y＝﹣5x2+175x﹣1250． 故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，请写出盈利y与x的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量x的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【分析】（1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为（30+2x）件，然后根据利润＝单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【解答】解：（1）某天该商品每件降价3元，利润为50﹣3＝47（元）， 由题意得：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）； 答：当天可获利1692元． （2）设每件商品降价x元， 由题意得：盈利y与x的函数关系式为： y＝（50﹣x）（30+2x）＝﹣2x2+70x+1500， ∴盈利y与x的函数关系式y＝﹣2x2+70x+1500； （3）由（2）即题意得： ﹣2x2+70x+1500＝2000， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝25， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点评】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意． 题型02 拱桥、喷水类问题 1．苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽AB＝16米，当水位上升3米后，则水面宽CD等于（　　） A．4米 B．8米 C．米 D．8米 【分析】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝16时y＝﹣4，再根据水位上升3米时y＝﹣1，代入解析式求出x即可． 【解答】解：∵AB＝16米， ∴当x＝8时，y82＝﹣4． 当水位上升5米时，y＝﹣1， 把y＝﹣1代入抛物线表达式得：﹣1x2， 解得x＝±4， 此时水面宽CD＝8（米）， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 2．如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系如图②所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为D，若BD＝5米，OD＝2米，OC＝6米，则OA的长是 　　米． 【分析】本题根据最高点B点的坐标，设出抛物线的顶点式解析式后代入C点坐标，求出解析式，最后令x＝0即可求出OA． 【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+5， 将点C的坐标代入上式得：（6﹣2）2a+5＝0 ∴， ∴， 当x＝0时，y， ∴OA的长是． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用待定系数法求出抛物线解析式． 3．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　　m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0＝a（6﹣2）2+5， 解得：a， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣2）2+5， 当x＝0时，y（0﹣2）2+5． ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 　　米时，水面宽度为米． 【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案． 【解答】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为y＝ax2， 将（3，﹣3）代入解析式y＝ax2得到﹣3＝9a，解得， ∴， 根据题意，当时，， ∴此时，水面下降5﹣3＝2（米）， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键． 题型03 投球类问题 1．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h（单位：米）与在空中飞行的时间t（单位：秒）满足函数关系：h＝﹣4t2+12t，当篮球在空中的飞行时间＝　 秒时，篮球距离地面最高． 【分析】篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数h＝﹣4t2+12t的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【解答】解：篮球在空中的高度h（单位：米）与在空中飞行的时间t（单位：秒）满足函数关系：h＝﹣4t2+12t，，﹣4＜0， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数关系式． 2．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝20t﹣5t2．有下列结论：①小球从飞出到落地需要4s；②小球的飞行高度可以是25m；③小球飞行1.5s的高度大于飞行3s的高度．其中正确的是 　　（填序号）． 【分析】根据函数表达式，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；根据函数的性质得出结论． 【解答】解：令y＝0，则20t﹣5t2＝0， 解得t＝0或t＝4， ∴小球从飞出到落地需要4s， 故①正确； h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵﹣5＜0， ∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20， ∴小球的飞行的最大高度是20m， 故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线t＝2， ∴当t＝1和t＝3时，h相等， ∵抛物线开口向下， ∴当t＜2时，h随t的增大而增大， ∴小球飞行1.5s的高度大于飞行1s的高度， 即小球飞行1.5s的高度大于飞行3s的高度， 故③正确， 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键． 3．在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为yx2x，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 米． 【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解：当y＝0时，yx2x0， 解得，x＝﹣2（舍去），x＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 题型04 几何中的动点问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M是对称轴上的一点，求使MN+MA的值最小时的M的坐标； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 【分析】（1）设直线AC解析式为y＝kx+n，将点A（﹣1，0），C（2，3）代入解方程组得到直线AC为y＝x+1；由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），得到方程组，解方程组即可得到结论； （2）根据二次函数解析式得到N（0，3），对称轴直线x＝1，求得A（﹣1，0）关于对称轴的对称点为E（3，0），连接NE交对称轴于M，此时MN+MA的值最小，得到直线EN的解析式为y＝﹣x+3，于是得到点M的坐标为（1，2）； （3）如图，过点P作y轴的平行线交AC于F，设P（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+n，将点A（﹣1，0），C（2，3）代入得， 解得， 故直线AC为y＝x+1； 由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得， 解得， 故抛物线为y＝﹣x2+2x+3， （2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴N（0，3），对称轴直线x1， ∵A（﹣1，0）关于对称轴的对称点为E（3，0）， 连接NE交对称轴于M，此时MN+MA的值最小， 设直线EN的解析式为y＝mx+d， ∴， 解得， ∴直线EN的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝2， ∴点M的坐标为（1，2）； （3）如图，过点P作y轴的平行线交AC于F， 设P（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）， ∴S△APC＝S△AFP+S△CPF（﹣m2+2m+3+m﹣3）×（2+1）m2m（m）2， ∵0， ∴S△APC有最大值，△APC的面积的最大值为． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，轴对称﹣最短路径问题，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 2．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）则点C的坐标为 　 　；顶点M的坐标为 　 　； （2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； （3）若直线x＝m（m＜6）分别交直线BC和抛物线于点E、P，点Q为平面内任意一点，当点E、B、P、Q构成的四边形为菱形时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）令x＝0可得点C的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点M的坐标； （2）如图1，连接ON设点N的坐标为，根据S△BCN＝S△BOC+S△OBN﹣S△CON代入计算后配方可解答； （3）先根据待定系数法可求得直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，设E（m，﹣m+6），则，分三种情况：①如图2，当PE＝BE时，|m2﹣3m||m﹣6|；②当PE为对角线时，点P与E的中点在x轴上，③如图3，当PE＝PB时，分别列方程可解答． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6， ∴C（0，6）； ∵（x2﹣8x+16﹣16）+6（x﹣4）2﹣2， ∴顶点M的坐标为（4，﹣2）； 故答案为：（0，6）；（4，﹣2）； （2）如图1，连接ON， 设点N的坐标为， 令y＝0时，x2﹣4x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝6， ∴B（6，0）， ∴OB＝6， 由（1）知：OC＝6， S△BCN＝S△BOC+S△OBN﹣S△CON 6×66（a2+4a﹣6）6a ＝18a2+12a﹣18﹣3a a2+9a （a2﹣6a+9﹣9） （a﹣3）2， ∵0， ∴当a＝3时，S△BCN有最大值是， 此时点N的坐标为（3，）； （3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6， 设E（m，﹣m+6），则， ∴，， 分三种情况： ①如图2，当PE＝BE时，|m2﹣3m||m﹣6|， ∴m2﹣3m（m﹣6）或m2﹣3m（m﹣6）， 解得：m1＝6（舍），m2＝2，m3＝﹣2， ∴点P的坐标为（2，10﹣8）或（﹣2，10+8）； ②当PE为对角线时， ∵PE⊥OB，四边形PBEQ是菱形， ∴PE的中点在x轴上， ∴﹣m+6m2﹣4m+6＝0， 解得：m1＝4，m2＝6（舍）， ∴P（4，﹣2）； ③如图3，当PE＝PB时， ∴PE2＝PB2， ∴（m2﹣4m+6+m﹣6）2＝（m﹣6）2+（m2﹣4m+6）2， ∴2（m﹣6）（m2﹣4m+6）＝0， 解得：m1＝6（舍），m2＝2， ∴P（2，0）； 综上，点P的坐标为（2，10﹣8）或（﹣2，10+8）或（4，﹣2）或（2，0）． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质和判定等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会用方程的思想解决问题是解本题的关键． 3．综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yx+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当y＝0时，即，解方程可得图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝2，从而得图象与y轴交于点C（0，2）； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当PC＝BC时，当PC＝PB时，三种情况讨论求解即可； （3）分点Q在BC上方时和点P在BC下方两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）当y＝0时，即， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∴图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝2， ∴图象与y轴交于点C（0，2）， （2）∵B（3，0），C（0，2）， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当PC＝BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP＝OB＝3， ∴点P的坐标为（﹣3，0）； 当PC＝PB时，设点P的坐标为（m，0）， ∴PC2＝PB2， ∴（m﹣0）2+（0﹣2）2＝（m﹣3）2， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或（﹣3，0）； （3）当点Q在BC上方时，如图1， ∵∠QCB＝∠ABC， ∴CQ∥AB，即CQ∥x轴， ∴点Q与点C关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵C（0，2）， ∴Q（2，2）； 当点Q在BC下方时，设CQ交x轴于点K（m，0），如图2， 则OK＝m，KB＝3﹣m． ∵∠QCB＝∠ABC， ∴CK＝BK＝3﹣m． 在Rt△COK中，OC2+OK2＝CK2， ∴22+m2＝（3﹣m）2， 解得：， ∴， 设直线CK的解析式为y＝kx+d， ， 解得：， ∴直线CK的解析式为， 联立得， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 综上所述，点Q的坐标为（2，2）或． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜4）．设每天销售量为y个，每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝20x﹣300 B．y＝﹣20x+300 C．w＝（20x+300）（4﹣x） D．w＝（﹣20x+1180）（40﹣x） 【分析】设每天销售量为y个，每个降价x元（0＜x＜4），商家每天销售纪念品获得的利润w元，根据题意列出函数关系式即可求解． 【解答】解：设每天销售量为y个，每个降价x元（0＜x＜4），商家每天销售纪念品获得的利润w元， 根据题意得y＝300+20x， 则w＝（44﹣40﹣x）（20x+300）＝（4﹣x）（20x+300）， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 2．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（　　） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 【分析】设十字型小径的宽为x m，根据平移的性质可得，花圃中的阴影部分可看作是长为（20﹣x）m，宽为（14﹣x）m的矩形，然后进行计算即可解答． 【解答】解：设十字型小径的宽为x m， 由题意得： 花圃中的阴影部分的面积y＝（20﹣x）（14﹣x） ＝x2﹣34x+280， ＝（x﹣17）2﹣9， ∵0＜x≤1， ∴当x＝1时，y有最小值， 此时y＝（1﹣17）2﹣9＝247． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（　　） A．180m B．200m C．220m D．240m 【分析】以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点O的坐标，从而可得此抛物线顶端O到连桥AB距离． 【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系： ∴A（﹣30，0），B（30，0），D（15，150）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），将（15，150）代入，得： 150＝a（15+30）（15﹣30）， 解得：a， ∴y（x+30）（x﹣30） x2+200， ∴抛物线顶端O的坐标为（0，200）， ∴此抛物线顶端O到连桥AB距离为200m． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．如图，抛物线y＝x2x与直线y＝x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度． 【解答】解：如图 ∵抛物线y＝x2x与直线y＝x﹣2交于A、B两点， ∴x2xx﹣2， 解得：x＝1或x， 当x＝1时，y＝x﹣2＝﹣1， 当x时，y＝x﹣2， ∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（1，﹣1）， ∵抛物线对称轴方程为：x 作点A关于抛物线的对称轴x的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′， 连接A′B′， 则直线A′B′与对称轴（直线x）的交点是E，与x轴的交点是F， ∴BF＝B′F，AE＝A′E， ∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′， 延长BB′，AA′相交于C， ∴A′C（1）＝1，B′C＝1， ∴A′B′． ∴点P运动的总路径的长为． 故选：A． 【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用． 5．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【分析】此题主要考查函数图象与坐标关系，只要求出坐标，再根据坐标关系求出a和b，就解决问题了． 【解答】解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0） 即c＝3， 因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3）， 又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1）， 又∵AC：CB＝1：2，（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）． 由顶点坐标（，）得（）． 故选：A． 【点评】此题主要考查函数图象与坐标关系，相对来讲此题容易，主要考查学生的计算能力． 6．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了 　9　米． 【分析】依据题意，首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为s，行驶距离为9米，进而得解． 【解答】解：由题意，∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t）2+9， ∵a＝﹣4， ∴当t时，前行的距离最大，最大距离为9米， ∴汽车从开始刹车到完全停下这段时间的行驶的距离为：9米． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离是关键． 7．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　　米． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点坐标为（1，3），与x轴的一个交点为（3，0）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：a， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣2）2+5， 当x＝0时，y（0﹣1）2+3． ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 8．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）近似满足函数关系式．在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 　0≤t≤6且t≠3　． 【分析】（1）当t＝0时，求得y的值；观察图象，当y时，顶点除外时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此求解即可． 【解答】解：当t＝0时，y（t﹣3）2+5， 5 ； 即OA（m）． 当y时，（t﹣3）2+5， ∴t＝0或t＝6， ∴当0≤t≤6且t≠3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间， 故答案为：0≤t≤6且t≠3． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确读图是解答本题的关键． 9．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 　6　米． 【分析】以直线OL作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点（0，2），设抛物线解析式为，将（0，2）代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将y＝0代入求解即可． 【解答】解：以直线OL作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点（0，2）， ∴设抛物线解析式为， 将（0，2）代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将y＝0代入得，， 整理得：（x﹣1）2＝25， x＝±5+1， 解得：x1＝6，x2＝﹣4（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米， 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 10．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是 　0.4米　． 【分析】设B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，先分别将点B和点A的坐标代入，求得c的值并用a表示b，设EF＝PQ＝m，用含m的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式，从而得出关于a和m的方程组，求解即可． 【解答】解：设B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c， 将B（0，0）代入得：c＝0， ∴y＝ax2+bx， ∵BA＝2米， ∴A（2，0）， ∴0＝a×22+2b， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax， 设EF＝PQ＝m， 则E（0.4，m），P（0.8，1﹣m）， 将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得： ， 解得：． ∴EF＝0.4米， 故答案为：0.4米． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的关键． 11．某电商平台试销一种文艺用品，已知该用品进价为8元/件，规定试销期间销售单价不低于进价．试销发现：当销售单价定为10元时，每天可以销售300件；销售单价每提高1元，日销量将会减少15件．设该文艺用品的销售单价为x（单位：元）（x＞10），日销量为y（单位：件），日销售利润为w（单位：元）． （1）当定价为15元时，每天可以销售 　225　件； （2）求y与x的函数关系式； （3）求销售单价x为何值时，日销售利润w最大，并求出最大利润w． 【分析】（1）300件﹣因涨价减少的件数即可； （2）根据总利润＝单个利润×销售数量即可得的答案； （3）根据二次函数的性质即可得的答案． 【解答】解：（1）300﹣（15﹣10）×15＝225（件）， 答：定价为15元时，每天可以销售225件． 故答案为：225； （2）y＝300﹣15（x﹣10）＝﹣15x+450（x＞10）， W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣15x+450）＝﹣15x2+570x﹣3600； （3）W＝﹣15x2+570x﹣3600＝﹣15（x﹣19）2+1815， ∵﹣15＜0， ∴当x＝19时，W有最大值，最大值为1185（元）， 答：当售价为19元时，利润最大，为1815元． 【点评】此题考查了二次函数的运用，利用总利润＝单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题是关键． 12．如图，用长为22m的篱笆和一面墙（墙的最大可用度为14m），围城中间有一道篱笆的矩形花圃．为了方便出入，在建造花圃篱笆时，在BC边上用其他材料做了宽1m的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x m，请你用含有x的代数式表示另一边AD的长为 　（24﹣3x）　m． （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2，请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【分析】（1）根据题目要求以及矩形的性质求解； （2）构建方程求解即可； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）AD＝（24﹣3x）m． 故答案为：（24﹣3x）； （2）由题意得，x（24﹣3x）＝45， 3x2﹣24x+45＝0， x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5．当AB＝3m时，BC＝15m＞14m， 不符合题意舍去，当 AB＝5m 时，BC＝9m，满足题意． 答：花圃长为9m，宽为5m． （3）①假设面积能够达到 60m2 则可得方程x（24﹣3x）＝60，整理得，x2﹣8x+20＝0， Δ＝82﹣4×1×20＝﹣16＜0，方程无实数根．所以．面积不能达到 60m2 ②设花圃面积为Sm2，则 S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48， 因为﹣3＜0，当x＝4时，S有最大值48． 答：花圃面积不能达到60m2 最大面积可做到48m2． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．一次足球训练中，小强从球门正前方11m的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m．已知球门高AB为2.44m，现以小强起脚处点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为2.25m，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 【分析】（1）由题意可知抛物线顶点坐标为（6，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3，代入（0，0）求出a值可得抛物线解析式，把x＝11代入求出y值与2.44m比较即可得答案； （2）把y＝2.25代入抛物线解析式，求出x的值，再求出与球门的距离即可得答案． 【解答】解：（1）∵当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m， ∴抛物线的顶点为（6，3）， ∴设抛物线为y＝a（x﹣6）2+3， ∵抛物线过（0，0）， ∴36a+3＝0， 解得， ∴抛物线表达式为， 当x＝11时，， ∵球门高AB为2.44m，， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）∵抛物线解析式为， ∴当y＝2.25时，， 解得x1＝9或x2＝3， ∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守， ∴x＝9， ∴11﹣9＝2（m）， 答：小明需要站在球门前，至多离球门2m的地方才可能头球防守住这次射门． 【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． 14．已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标． 【分析】（1）根据点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）求出a，c的值即可； （2）过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线BC的解析式，故可得出DM＝﹣（x）2，再由S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD即可得出结论； （3）过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标． 【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0）， ∴C（0，﹣3）． 把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得， 解得， ∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴B（3，0）， ∴AB＝4， ∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCDAB×OCDM×（BN+ON）＝6DM×OB＝6DM， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x）2， 当x时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为； （3）如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H， ∵∠ACM＝45°， ∴AC＝AK， ∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH， ∴△OAC≌△HKA（AAS）， ∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1， ∴K（2，1）， 设直线CM的解析式为y＝kx﹣3 ∴2k﹣3＝1， ∴k＝2， ∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3， 联立， 解得x＝0（舍去），或x＝4， ∴M（4，5）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形． 15．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（4，0）代入，待定系数法求解析式，进而分别令x，y＝0，解方程即可求解； （2）根据题意，对称轴为直线x＝1，设P（1，n），根据勾股定理BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，分①当∠BCP＝90°时，②当∠CBP＝90°时，③当∠BPC＝90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立方程即可求解． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入， 即， 解得：， ∴， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）； （2）存在点P，使△BCP是直角三角形， ∵，对称轴为直线x＝1， 设P（1，n）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2， ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2， ∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2， 解得：n＝5； ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2， ∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32 解得：n＝﹣3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2 解得：或， 综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2），（1，2）； （3）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ， 由对称性可知，OM＝QM， ∴AM+OM＝AM+QM≥AQ， 当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠QBM＝45°， ∴BQ⊥BO， ∴Q（4，4）， 设直线AQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AQ的解析式， 设直线BC的解析式为y＝mx+4， ∴4m+4＝0， ∴m＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得：， ∴M（，）． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用二次函数解决问题 课程标准 学习目标 1 掌握利用二次函数解决实际问题的基本思路和方法。 2 能从实际问题中抽象出二次函数模型，并分析求解。 3 体会二次函数在解决最值问题、运动轨迹等实际场景中的应用价值。 1. 熟悉用二次函数解决问题的步骤和要点。 2. 会建立二次函数模型解决几何、物理等领域的实际问题。 3. 感受二次函数解决问题的强大功能，增强应用意识。 知识点一、建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 知识点二、建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 题型01 销售问题 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 2．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 　． 3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，请写出盈利y与x的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量x的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 题型02 拱桥、喷水类问题 1．苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽AB＝16米，当水位上升3米后，则水面宽CD等于（　　） A．4米 B．8米 C．米 D．8米 2．如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系如图②所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为D，若BD＝5米，OD＝2米，OC＝6米，则OA的长是 　　米． 3．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　　m． 4．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 　　米时，水面宽度为米． 题型03 投球类问题 1．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h（单位：米）与在空中飞行的时间t（单位：秒）满足函数关系：h＝﹣4t2+12t，当篮球在空中的飞行时间＝　 秒时，篮球距离地面最高． 2．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝20t﹣5t2．有下列结论：①小球从飞出到落地需要4s；②小球的飞行高度可以是25m；③小球飞行1.5s的高度大于飞行3s的高度．其中正确的是 　　（填序号）． 3．在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为yx2x，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 米． 题型04 几何中的动点问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M是对称轴上的一点，求使MN+MA的值最小时的M的坐标； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 2．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）则点C的坐标为 　 　；顶点M的坐标为 　 　； （2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； （3）若直线x＝m（m＜6）分别交直线BC和抛物线于点E、P，点Q为平面内任意一点，当点E、B、P、Q构成的四边形为菱形时，请直接写出点P的坐标． 3．综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yx+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜4）．设每天销售量为y个，每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝20x﹣300 B．y＝﹣20x+300 C．w＝（20x+300）（4﹣x） D．w＝（﹣20x+1180）（40﹣x） 2．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（　　） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（　　） A．180m B．200m C．220m D．240m 4．如图，抛物线y＝x2x与直线y＝x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 6．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了 　 　米． 7．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　 　米． 8．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）近似满足函数关系式．在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 　 　． 9．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 　 　米． 10．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是 　 　． 11．某电商平台试销一种文艺用品，已知该用品进价为8元/件，规定试销期间销售单价不低于进价．试销发现：当销售单价定为10元时，每天可以销售300件；销售单价每提高1元，日销量将会减少15件．设该文艺用品的销售单价为x（单位：元）（x＞10），日销量为y（单位：件），日销售利润为w（单位：元）． （1）当定价为15元时，每天可以销售 　 　件； （2）求y与x的函数关系式； （3）求销售单价x为何值时，日销售利润w最大，并求出最大利润w． 12．如图，用长为22m的篱笆和一面墙（墙的最大可用度为14m），围城中间有一道篱笆的矩形花圃．为了方便出入，在建造花圃篱笆时，在BC边上用其他材料做了宽1m的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x m，请你用含有x的代数式表示另一边AD的长为 　 　m． （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2，请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 13．一次足球训练中，小强从球门正前方11m的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m．已知球门高AB为2.44m，现以小强起脚处点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为2.25m，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 14．已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标． 15．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$