精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

六盘水市纽绅中学2024～2025学年度高二（上）期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析求解. 【详解】因为向量，，且， 则，解得. 故选：D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，， 所以直线的倾斜角. 故选：D. 3. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为，且四点共面， 则，解得. 故选：C. 4. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量加法法则得到，再应用向量数量积的运算律求模. 【详解】由题设，易知是边长为的正三角形， 所以 . 故选：A 5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程． 【详解】，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 6. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是； 对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是； 对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是； 对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是. 故选：C 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可. 【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等， 所以点在直线上， 当时，点到坐标原点距离的最小， 为 故选：C 8. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为，三个社团考核都没有通过的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合独立事件以及对立事件概率求法，列式求解. 【详解】因为他三个社团考核都通过的概率为，则，即， 又因为三个社团考核都没有通过的概率为，则， 整理可得，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 10. 已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系，结合图形逐一判断． 【详解】直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 当时，直线与平行且图象满足A所示，故A正确． 选项B中，由直线在轴上的截距可得,，而由直线的斜率为，可得，故B不正确． 选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确． 选项D中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，所以， 所以，故A选项错误； 设平面的法向量为， 则，令则，所以， 所以， 由于平面，所以平面，故B选项正确； ，所以到平面的距离为故C选项正确； 由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知，为锐角， 所以，故D选项错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 13. 直线不过第二象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，将直线的方程化为斜截式求解即可. 【详解】当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意； 当时，将直线化为斜截式为：. 由于不过第二象限，所以，解得； 综上：，故的取值范围为：. 故答案为：. 14. 阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可. 【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为，平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为，由， 令，则，，所以. 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.“解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程. 【答案】（1）1或2；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式列方程求解即可； （2）先求出两直线的交点，然后由两点式可得. 【详解】解：（1）由，即，解得或， 经检验均符合题意，故的值是1或2. （2）因为方程组的解为， 所以两条直线和的交点坐标为， 由题意知直线经过点.又直线经过原点， 所以直线的方程为，即. 16. “盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的． （1）共有多少种不同的放法？请列举出来； （2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率． 【答案】（1）6种，；；；；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出全部基本事件即可. （2）根据题意得到玩偶的编号与所在盒的编号均不相同有，两个基本事件，再利用古典概型公式计算即可. 【小问1详解】 共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为；； ；；；． 【小问2详解】 设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件，并且每个基本事件等可能，故． 17. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. （1）求直线与所成角的大小； （2）判断直线与平面的关系. 【答案】（1） （2）垂直 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的大小； （2）利用向量法求出，，从而直线与平面垂直． 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,， ,0,，,2,， 设直线与所成角为， 则，， 直线与所成角的大小为； 【小问2详解】 直线与平面垂直，理由如下： 由（1）知,2,，,0,， ，， ，， ，、平面， 直线与平面垂直． 18. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是. （1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； （2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解； （2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解. 【小问1详解】 设事件分别表示“被评为等级”， 由题意，事件两两互斥， 所以， 又“不被罚款”， 所以. 因此“不被罚款”的概率为； 【小问2详解】 设事件表示“第单被评为等级”，， 则“两单共获得的奖励为3元”即事件， 且事件彼此互斥， 又， 所以. 19. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长． 【答案】（1）证明：因为为中点，且，所以，即， 又，，平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以. 又，，所以， 所以，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以：平面平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）先证，得到平面，可得平面平面. （2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，设（），则. 所以，，. 设平面的一个法向量为， 由，可取. 设平面的一个法向量为， 由，可取. ， 整理得：（舍去） 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六盘水市纽绅中学2024～2025学年度高二（上）期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为，三个社团考核都没有通过的概率为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 10. 已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________． 13. 直线不过第二象限，则的取值范围为_________． 14. 阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.“解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程. 16. “盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的． （1）共有多少种不同的放法？请列举出来； （2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率． 17. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. （1）求直线与所成角的大小； （2）判断直线与平面的关系. 18. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是. （1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； （2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率. 19. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $