精品解析：湖南省邵东市创新高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

创新高级中学2024年下学期期中考试高一 数学试题 （命题人：林希老师） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 9 D. 6 4. 若，使的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 11. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 方程有一正一负根充要条件是“” C. “幂函数为反比例函数”的充要条件是“” D. “函数在区间[1，3]上不单调”的一个充分不必要条件是“” 三、 填空题 ：本题共 3小题，每小题 5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______. 13. 函数的定义域为__________. 14. 已知函数且，则的值为________. 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知幂函数在定义域内单调递增． （1）求的解析式； （2）求关于x的不等式的解集． 17. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知不等式的解集为或. （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式（其中c为实数）. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是任意都有，给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新高级中学2024年下学期期中考试高一 数学试题 （命题人：林希老师） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式判断函数性质即可判断. 【详解】A. 是偶函数，故错误； B.是奇函数，在定义域上又是减函数，故正确； C. 是偶函数，故错误； D. 是奇函数，在定义域内不单调，故错误； 故选：B 3. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式转化为关于的一元二次不等式，计算可得. 【详解】因为、，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，所以，解得或（舍去） 所以的最小值为，当且仅当、时取等号. 故选：A 4. 若，使的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果. 【详解】不等式，等价于， 依题意，，恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式并根据两范围的大小即可得出结论. 【详解】将不等式可化为，解得或； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 7. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解. 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即. 综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，得，则，A正确； 对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确； 对于C：由两边同时除以，得，C不正确； 对于D：由可得，同除以，可得，D正确， 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得出函数为奇函数，再利用单调性的定义，得到函数在上单调递增，结合基本不等式和对称性，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且，故为奇函数， 任取，且， 则， 因为，所以且，可得， 所以在上单调递增， 当时，（当且仅当时，取“＝”）， 又由结合为奇函数，可得的值域为. 故选：ACD 11. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 方程有一正一负根充要条件是“” C. “幂函数为反比例函数”的充要条件是“” D. “函数在区间[1，3]上不单调”的一个充分不必要条件是“” 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 由集合的并集运算性质判断；B.由求解判断；C.由“幂函数的定义和性质判断；D.由二次函数的性质判断. 【详解】A.“”是“”的充要条件，故错误； B.方程有一正一负根则 ，解得，故正确； C. “幂函数为反比例函数”则 ，解得，故正确； D. 函数的对称轴方程为：，如 “函数在区间[1，3]上不单调”则，故错误； 故选：BC 三、 填空题 ：本题共 3小题，每小题 5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解. 【详解】根据全称命题的否定可知： 命题“，”的否定是命题“，” 故答案为：， 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式、分式有意义的条件、函数定义域的定义即可求解. 【详解】由题意可得且，故函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数且，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式可得出为奇函数，再利用奇函数性质计算可得结果. 【详解】易知满足，即为奇函数， 所以，可得， 即可得，所以. 故答案为： 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入即可得，再求交集即可； （2）根据是否为空集，结合子集的性质分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ∵， ∴. 【小问2详解】 ∵集合，，， ∴当时，，解得. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知幂函数在定义域内单调递增． （1）求的解析式； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取，再验证单调性得到答案. （2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案. 【小问1详解】 幂函数在定义域内单调递增， 故，解得或， 当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足； 当时，在上单调递增，满足； 故. 【小问2详解】 在上单调递增，， 故，解得或，即. 17. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）70台，最大利润是1760万元. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况分别求出函数解析式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得：当时，， 当时，， 所以． 【小问2详解】 当时，， 所以当时（万元）； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时万元. 综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元. 18. 已知不等式的解集为或. （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式（其中c为实数）. 【答案】（1）， （2） 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为或． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、的值； （2）不等式化为，然后分，和讨论即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 不等式的解集为，或， 所以1和是方程的解， 所以，解得； 由根与系数的关系知，解得； 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，不等式为， 即， 当时，不等式化为，解得； 当时，解不等式得； 当时，若，即时，解不等式得或， 若，即时，解不等式得， 若，即，解不等式得或， 综上知，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为或． 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是任意都有，给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据成中心对称图形的充要条件代入解方程组可得对称中心； （2）利用单调性定义按照步骤进行证明即可得在区间上单调递增； （3）依题意利用对称中心并对函数的对称轴进行分类讨论，得出两函数对应值域的包含关系解不等式即可得实数m的取值范围. 【小问1详解】 设函数的图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 函数在上单调递增； 证明如下： 任取且， 则， 因为且，可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上亦单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以，，解得， 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心，故在递增，在单调递减， 故此时， 欲使， 只需且， 解不等式可得，又因为，此时； 当时，即时，在单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：对于本题中的恒成立问题关键在于利用对称中心得出两函数在对应定义域内的值域的包含关系，得出相应不等式即可解得实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $