第二章 二次函数（压轴专练）（十六大题型）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 二次函数（压轴专练）（十六大题型） 题型1：存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线和抛物线交于D、E两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，m的值； (3)当时，m的值为 ； (4)在x轴上有一点F，恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)的值为 (3) (4)或或或 【分析】（1）将点、、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）作交于，先通过勾股定理，计算出的长度，利用根据勾股定理求得的长度，利用两点距离公式，可以表示出的长度，由（2）可知，，结合，从而知道，从而计算出值； （4）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分当时， 当时， 当时，三种情况分别讨论求解即可． 【解析】（1）解：将，，代入中， 解得：，， 抛物线的解析式为：； （2）设直线的解析式为：，将，代入，得 解得：， 直线的解析式为： ，，点、分别是抛物线和直线上的点 点坐标为，点坐标为 ， 解得：， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． （3）作交于，如图 ， ，则， ∴， ∵， ，即 由（2）可知，点坐标为 由（2）可知， 整理得： 解得： ， ，， 舍去 故答案为：； （4）设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型2：最值问题 2．已知二次函数（，是常数）． (1)当是二次函数图象上的点时，求代数式的值； (2)若二次函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值； (3)若二次函数的表达式可以写成（是常数，且）的形式，该函数图象与轴交于、两点（点在点左侧），已知点、点都是该抛物线对称轴上的点，点位于第一象限，且，点是点关于该抛物线的对称轴对称的点，连接并延长交轴于点，连接．当的周长的最小值等于时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合大题，涉及到了二次函数的图象性质，二次函数坐标点的特征，轴对称的性质等知识点，合理分析图象利用数形结合思想是解题的关键． （1）把代入运算求解即可； （2）把化成一般式得：，表达出，把的值看作是的二次函数，求解即可； （3）求出抛物线对称轴，得到的坐标，设点，由得：从而得：，又由对称轴垂直平分线段，且平行于轴，则由三角形中位线逆定理得：，连接交对称轴于点，即、、三点共线时，则点即为所求点，利用周长列式运算即可． 【解析】（1）把代入，得：，即， ∴； （2）把化成一般式得：， ∴，， ∴， 把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向下，有最大值， ∴当时，的最大值是； （3）由题意得：、，抛物线对称轴为直线，则， 设点，由得：从而得：， 又由对称轴垂直平分线段，且平行于轴，则由三角形中位线逆定理得：， 在中，， ∵点是点关于函数对称轴的对称点， ∴， 连接交对称轴于点，如图所示： 即、、三点共线时，则点即为所求点， 理由是：的周长，即 则， 解得 ，故； 题型3：取值范围问题 3．【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： (1)设． ①若点P的横坐标为2，计算：______，______； 比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）． ②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． (3)若，求出k的取值范围． 【答案】(1)①；②仍然成立，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）①由已知确定函数的解析式，求出的坐标，再由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； ②同理①，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； （2）分别求出的坐标，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； （3）令，根据面积公式求出的表达式为，再求的范围即可． 【解析】（1）解：①当时，， 当时，， 解得：或， ， ， ， ∵点的横坐标为2， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ， 故答案为：； ②仍成立，理由如下： ∵点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ； （2）解：∵A、B两点的横坐标为、， ∴， ， 设， ∴同（1）得直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ， ， ； （3）解： ， 令， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式的方法，准确计算是解题的关键． 题型4：定点问题 4．如图，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于点． (1)若点的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点为直线：上方的抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，直线，分别交抛物线于另一点，．求证：直线恒过一个定点． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)点的坐标为，或， (3)直线经过定点 【分析】 （1）由直线解析式求得点的坐标，然后代入，即可求得的值，从而求得抛物线的解析式； （2）设直线下方抛物线上的点坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，则，根据三角形面积为3，求出的值，点的坐标即可求出； （3）先求出抛物线的解析式为，由，可得，，设直线的解析式为，由，，设直线的解析式为，由，可得，通过整理可得，设直线的解析式为，由，可得，，则，求出直线的解析式为，可知直线经过定点． 【解析】（1）解：把代入，得， ， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由，解得或， ， 把代入，求得， ， ， ， ， ， 设直线上方抛物线上的点坐标为，，过点作轴的平行线交直线于点，则， ． 整理得， 解得，． 故点的坐标为，或，． （3）将抛物线平移使得顶点落在原点得到抛物线， 抛物线的解析式为， ， ， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ，， ， ， ， 直线经过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用根与系数的关系是解题的关键． 题型5：定值问题 5．如图1，抛物线与x轴交于、两点，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，经过定点G的直线交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），若的面积是面积的三倍，求k的值： (3)如图3，直线与抛物线有唯一公共点M，直线与抛物线有唯一公共点N，且直线过定点，则的面积为定值，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）可求过定点，而顶点，则轴，设，联立直线和抛物线解析式得：，化简得：，则，设以为底的高为，以为底的高为，则，即，则，可得到，，再代入，得，即可求解； （3）由（2）（3）可知此时直线即为上述直线，设，同上可得：，可求直线：，与抛物线解析式联立得：，整理得：，由直线与抛物线有唯一公共点M，故该方程有两个相等的实数根，则由根与系数得关系得：，则，此时直线： ，同理直线：，联立直线的表达式得：，整理得：，将代入直线并化简得：，将代入得：，即，则，故面积为定值，且为6． 【解析】（1）解：将、两点代入， 得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：，满足过定点，则与无关， ∴， ∴， ∴过定点， ∵， ∴顶点， ∴轴， 设， 联立直线和抛物线解析式得：， 化简得：， ∴， 设以为底的高为，以为底的高为 ∵，且共底， ∴， 即， ∴， ∴， 将代入 得：， ∴， 将，代入 得：， 解得：（舍负）； （3）解：由（2）（3）可知此时直线即为上述直线， ∴直线：， 设， 同上可得：， 设直线的解析式为：， 代入， 得：， ∴ ∴ ∴直线：， 与抛物线解析式联立得：， 整理得：， ∵直线与抛物线有唯一公共点M， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴由根与系数得关系得：， ∴， ∴直线：， 整理得：， 同理直线：， 联立直线的表达式得：， 整理得：， 将代入直线： 得：， 化简得：， 将代入得：， ∴点纵坐标， 而 ∴， ∴面积为定值，且为6． 【点睛】本题考查了二次函数中的定点定值问题，面积问题，难度很大，涉及待定系数法求一次函数，二次函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点，细心化简计算是解题的关键． 题型6：新定义题 6．定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】（）见解析；（）或；（）． 【分析】（）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得 ，即证得是等边三角形； （）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边 ，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】解：（）证明：∵， 点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点与轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （）∵且，点在轴上且在的左边， ∴ ∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ∴， ∴， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ∴， ∴， 综上所述，这条抛物线的解析式为或 ； （）∵抛物线， ∴向下平移个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与 相同，第三次翻滚得 ， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为： ， ∵ ∴， ∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 题型7：二次函数与特殊平行四边形 7．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】（1）先求出点，点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，设，则，求出，由，结合，建立方程求解即可； （3）作点O关于抛物线对称的对称点E，则，则，由为定值，当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，代入计算即可得到结果； （4）分为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可． 【解析】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 题型8：二次函数与相似三角形 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，经过点B时得到新抛物线，在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N．若以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，详见解析 (2)最大值为，此时P点坐标为：，详见解析 (3)点M的坐标为:, , ，详见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识点， （1）先由求出，再由求出，最后由待定系数法即可求解； （2）如图，过P点轴交y轴于点F，设，用含m的代数式表示出，再利用二次函数的性质求出最值，进而即可得解； （3）先利用平移的性质求出新的抛物线解析式，用含t的代数式表示出，，然后分和两种情况讨论以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C三点代入得， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过P点轴交y轴于点F，设， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴当时，， ∴最大值为，P点坐标为：； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移，， ∴设抛物线沿x轴正半轴方向平移个单位，则沿y轴正方向平移个单位， ∵， ∴平移后的函数解析式为， ∵新抛物线经过点B， ∴， 解得（舍）或， ∴平移后的函数解析式为， ∵在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N，设M的横坐标为t， ∴，， 如图， 当时，， ∴， ∴， 解方程得：，，，， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴将 ，，，，分别代入得到点M的纵坐标为：，，，，， ∵点，在x轴上， ∴与点N重合，构不成三角形，，不符合题意，舍去， ∴点M的坐标为：， ， ． 题型9：二次函数与解直角三角形 9．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【解析】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键． 10．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D． (1)如图1，若该抛物线经过原点O，且 ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，，②存在，点的坐标为或 (2)或 【分析】（1）①过点作轴，证明得出，再利用待定系数法求解即可；②设，分两种情况：当点在轴上方时，作轴于，则，；当点在轴上方时，作轴于，则，，分别利用正切的定义列方程求解即可； （2）待定系数法求出抛物线解析式为，再分两种情况：当抛物线开口向下时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个；抛物线开口向上时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个；分别画出图形，利用数形结合的思想求解即可． 【解析】（1）解：①如图：过点作轴， ， ∵，， ，， 由旋转知，，， ， ∵过点作轴， ， ， ， ，， ， ∵抛物线经过点D． ∴把，以及，代入 得 解得 ∴； ②存在， 设， 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ∵， ∴， 由①可得：，， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或； （2）解：将，代入抛物线得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 分两种情况： 当抛物线开口向下时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个， 当点在轴下方时，直线与抛物线有两个交点， ， 当点在轴上方时，要使直线与抛物线线有两个交点，抛物线与轴的交点必须交于轴的正半轴，与轴的交点在轴的负半轴， ， 在中，当时，， 解得：； 抛物线开口向上时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个， 当点在轴上方时，直线与抛物线有两个交点， ， 当点在轴下方时，要使直线与抛物线有两个交点才能使符合条件的点有两个， ∵， ∴由（1）可得：， ∴直线的解析式为， 要使直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 题型10：动点问题 11．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为 (2)当时，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点M的坐标； （2）分两种情况：当点在上方时，连接；当点在下方时，连接，交轴于；分别求解即可得解； （3）待定系数法求出直线的解析式为，作轴，交于，设，则，求出，证明，得出，结合，得出，再由二次函数的性质即可得解． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，，则， 如图，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 如图，当点在下方时，连接，交轴于， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴此时； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型11：平移问题 12．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作平行于y轴交于点Q，点D是的中点，过点D作的平行线交y轴于点F，过点C作平行于x轴交于点H，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图2，点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)，的最大值为； (3)存在，的坐标为或，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移，平行线的性质，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）求出B的坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）设则进而求出求出直线的表达式为可求则进而求出然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式为求出可知当时，，把代入可求的坐标；设的垂直平分线与轴交于点，连接，则进而得出在中，利用勾股定理得出则可求的坐标，求直线表达式，与平移后的抛物线表达式联立方程组求解即可． 【解析】（1）解：当时， ∴， ∴， 把代入得： 解得： ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的表达式为： 则 解得： ∴直线的表达式为： 设则 ∵点是的中点， 设直线的表达式为： 当时， 解得： 轴， ∵点是直线上方抛物线上一点， ∴当时，的最大值为， 此时； （3）解：存在点，满足理由如下： 对于当时， 解得： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿轴正半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， ∴平移后的抛物线表达式为： 当时， 当时， 解得：， ， 设的垂直平分线与轴交于点，连接，如图： 在中， 解得： 设直线表达式为： 则 解得：， ∴直线表达式为： 联立方程组 解得：或 综上，的坐标为或 题型12：对称问题 13．已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)若该抛物线的顶点D的坐标为，求其解析式； (2)如图1，已知抛物线的顶点D在直线上运动，且与直线l交于另一点E，若的面积为，求点A的坐标； (3)如图2，在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标得出，即可得解； （2）设点D，E的坐标分别为，，则，求出，结合一元二次方程根与系数的关系可得，求出，设直线l与x轴的交点为F，则，再根据三角形面积求出即可得解； （3）设，则，得出，求出，待定系数法求出直线的解析式为，联立得，得出，同理可得，再求出，即可得解． 【解析】（1）解：顶点D的坐标为， ； （2）解：设点D，E的坐标分别为，，则， 联立抛物线与直线l的解析式，整理，得， 则， ， ∴， ， 设直线l与x轴的交点为F， 在中，令，则，解得，则点， ∵， ， ∴点的横坐标为， ∴点； （3）解：设， 点P，Q关于原点对称， ， ， 由（1）知，令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得（舍去），， ， 同理可得， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—面积问题，二次函数与一元二次方程，勾股定理，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型13：翻折问题 14．我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）． (1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； (2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式； (3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明是等边三角形即可； （2）确定该抛物线的对称轴为，设抛物线与轴的另一个交点为点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点，根据“正直抛物线”的定义得为等腰直角三角形且，然后分两种情况求解：当时，当时； （3）如图，设抛物线与轴的两个交点为点、，顶点为，对称轴与轴交于点，根据“正抛物线”的定义确定该抛物线的解析式为，继而推出抛物线的解析式为，联立，解得：或，得到，代入直线得，若直线与抛物线只有一个交点，联立，求解后可得结论． 【解析】（1）证明：∵，，， ∴， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； （2）解：∵点与点在“正直抛物线”上， ∴抛物线的对称为：， ∴， ∵，得：， ∴抛物线经过原点， 设抛物线与轴的另一个交点为点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点， ∵抛物线是“正直抛物线”， ∴顶点三角形为等腰直角三角形，且， 当时，如图， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵对称轴与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴该“正直抛物线”的解析式为； 当时，如图， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵对称轴与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴该“正直抛物线”的解析式为； 综上所述，该“正直抛物线”的解析式为或； （3）如图，设抛物线与轴的两个交点为点、，顶点为，对称轴与轴交于点， ∴， ∵抛物线是“正抛物线”， ∴为等边三角形，，设边长为， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴，，， ， ∴，即， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该抛物线的解析式为， 设点为抛物线上任意一点， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为：， ∴抛物线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 当直线过点时， 得：， 解得：， 若直线与抛物线只有一个交点， 联立：， 整理得：， ∴， 解得：或， ∴当时，直线与翻折后的图像有个交点． 【点睛】本题是抛物线的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法确定函数解析式，关于原点对称的函数的解析式，直线与抛物线的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系等知识点．掌握“正抛物线”、“正直抛物线”的定义及数形结合思想的运用是解题的关键． 题型14：旋转问题 15．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点． (1)求出该抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，最小值为 (3)坐标为或， 【分析】（1）由二次函数的交点式得出抛物线的解析式，可推出，从而得出，求得的值，进一步得出结果； （2）设，，则，从而表示出，进而求得点坐标，作点关于的对称点，交于，作于，可得出，，从而得出，，进而得出，可推出点在以为圆心，1为半径的圆上运动，连接，交于，交于，此时最小，进一步得出结果； （3）可求得，，，点、绕点，逆时针旋转分别至，，及，，可求得，，，，从而得出的解析式为：，直线的解析式为：，可得出当，时，，进而求得点坐标；设，此时的中点，当时，，从而，求得的值，进一步得出结果． 【解析】（1）解：由题意得， ， 当时，， ， ， ， ∴， ， ∴， 设点，过点D作轴于点I， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵，， 设直线解析式为：， ∴有， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，， ∴， 过点P作于点，则， 由得，， ∴， ∴， ， 当时，最大， ， ， 作点关于的对称点，交于，作于， 由得，， ∴， ∴， ∵， ∴，由勾股定理得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵ ， ，点是的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，， ∵，当点共线时取得最小值为， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， ，， ， ， ∴由平移得，， 点、绕点，逆时针旋转分别至，，及， 过点X作轴，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 同理可求，，， 同（2）可求直线的解析式为：，直线的解析式为：， 把代入得，，此时， 当时，， ， ， 设，此时的中点， 当时，， ， ， ， ，， 综上所述：坐标为或，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 题型15：二次函数与一元二次方程 16．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． (3)若关于x的方程（m，n是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)①不是，②是 (2)或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义， （1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于k方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，化简即可． 【解析】（1）解：①解方程得：，， ， 不是“邻根方程”； ②解方程得：，， ， 是“邻根方程”； （2）解：由方程得， 解得：，， 由于方程是“邻根方程”， 则或， 解得或； （3）解：解方程得：， 关于的方程，是常数，是“邻根方程”， ， 整理得， ， ， 当时，有最大值． 题型16：二次函数与不等式 17．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再表示出，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【解析】（1）解：函数图象经过点， ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：函数图象经过点，， ，， ， ， ； （3）解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况：设函数图象经过点，，． 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， 当时， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数（压轴专练）（十六大题型） 题型1：存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线和抛物线交于D、E两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，m的值； (3)当时，m的值为 ； (4)在x轴上有一点F，恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标． 题型2：最值问题 2．已知二次函数（，是常数）． (1)当是二次函数图象上的点时，求代数式的值； (2)若二次函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值； (3)若二次函数的表达式可以写成（是常数，且）的形式，该函数图象与轴交于、两点（点在点左侧），已知点、点都是该抛物线对称轴上的点，点位于第一象限，且，点是点关于该抛物线的对称轴对称的点，连接并延长交轴于点，连接．当的周长的最小值等于时，求此时的值． 题型3：取值范围问题 3．【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： (1)设． ①若点P的横坐标为2，计算：______，______； 比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）． ②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． (3)若，求出k的取值范围． 题型4：定点问题 4．如图，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于点． (1)若点的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点为直线：上方的抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，直线，分别交抛物线于另一点，．求证：直线恒过一个定点． 题型5：定值问题 5．如图1，抛物线与x轴交于、两点，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，经过定点G的直线交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），若的面积是面积的三倍，求k的值： (3)如图3，直线与抛物线有唯一公共点M，直线与抛物线有唯一公共点N，且直线过定点，则的面积为定值，求出这个定值． 题型6：新定义题 6．定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 题型7：二次函数与特殊平行四边形 7．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 题型8：二次函数与相似三角形 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，经过点B时得到新抛物线，在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N．若以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 题型9：二次函数与解直角三角形 9．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 10．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D． (1)如图1，若该抛物线经过原点O，且 ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 题型10：动点问题 11．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 题型11：平移问题 12．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作平行于y轴交于点Q，点D是的中点，过点D作的平行线交y轴于点F，过点C作平行于x轴交于点H，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图2，点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 题型12：对称问题 13．已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)若该抛物线的顶点D的坐标为，求其解析式； (2)如图1，已知抛物线的顶点D在直线上运动，且与直线l交于另一点E，若的面积为，求点A的坐标； (3)如图2，在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求与的数量关系． 题型13：翻折问题 14．我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）． (1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； (2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式； (3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围． 题型14：旋转问题 15．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点． (1)求出该抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 题型15：二次函数与一元二次方程 16．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． (3)若关于x的方程（m，n是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 题型16：二次函数与不等式 17．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$