专题03 三角形中的边角关系、命题与证明55道压轴题型专训（11大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03 三角形中的边角关系、命题与证明55道压轴题型专训（11大题型） 题型一 三角形内角和定理有关的计算 题型二 三角形外角有关的计算 题型三 角平分线有关的计算 题型四 三角板中的角度计算 题型五 旋转中的角度计算 题型六 折叠中的角度计算 题型七 三角形中的动角计算 题型八 探究角的关系 题型九 三角形中的边角关系新定义问题 题型十 与三角形的高有关的计算问题 题型十一 与三角形面积有关的计算问题 【经典例题一 三角形内角和定理有关的计算】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，点A在上，点B、C在上．在中，，．点M、Q在直线上，在中，，． (1)将沿直线平移，当点N在上时，请画出示意图并求的度数； (2)将沿直线平移，当以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，求的度数． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板的三个内角分别是和，按如图1叠放在一起，改变三角形的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，； (2)如图3中，当 时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出α的度数及平行的直线． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图1，已知直线，点、是上两点，点、是上两点，、相交于点，，，请回答下列问题： (1)则________；（直接写出结果即可） (2)如图2，点为延长线上一点，、分别为、的角平分线，且交于一点，求的度数； (3)若点为平面内一点，连接、，且，，请直接写出的度数． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【经典例题二 三角形外角有关的计算】 6．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，点是的平分线与的平分线的交点． (1)若，，则________； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 8．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 9．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）中，的角平分线与三角形的外角的平分线相交于点E， (1)如图一，已知，求的度数； (2)如图一，求证：； (3)如图二，F是的延长线上一点，的角平分线交于G，交于H，探究与之间的数量关系并说明理由． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点，分别在和上，且． (1)如图，若，，则的度数为_____； (2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【经典例题三 角平分线有关的计算】 11．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 12．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 13．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    14．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 15．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．    (1)如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． ①若，则______°． ②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． (2)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的倍，请求出的度数． 【经典例题四 三角板中的角度计算】 16．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______时，； (2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 17．（23-24七年级下·河南安阳·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点H． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点B放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整． 解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（______________） 所以，________（______________） 因为________， 所以 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请直接写出的度数． 18．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 19．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 20．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 【经典例题五 旋转中的角度计算】 21．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． (1)如图，__________； (2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； (3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 22．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点． ①_________； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点F以每秒的速度逆时针旋转，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，求出此时t的值． 23．（23-24七年级下·江苏盐城·期中） 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N． (1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °； (2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图1，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中： (1)如图2，当___________时，；当___________时，； (2)将绕点按逆时针方向旋转到如图3的位置，边与延长线交于点，边与交点，求的值； (3)当顶点不在内部时，此时的度数范围是___________；（三角形的内部不包含三角形的边） (4)在旋转过程中，当___________时，的一边与平行． 25．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）已知． (1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线． 【经典例题六 折叠中的角度计算】 26．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 27．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 28．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 29．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    30．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【经典例题七 三角形中的动角计算】 31．（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．    (1)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， ， ，点B的坐标（ ， ）， ； (2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； (3)当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，，使得，求与的数量关系． 32．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 33．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式．    (1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． ①在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，______； ②在点的运动过程中，记的面积为，用含的代数式表示； (2)点在射线上，点为射线上一动点，，连接，作平分交轴于点，直线上取点，连接，使，当时，求的大小． 34．（22-23七年级上·湖南衡阳·期末）如图1，已知两条直线、被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点、重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①当点在点的右侧时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 35．（24-25八年级上·全国·期中）直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 【经典例题八 探究角的关系】 36．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 37．（23-24七年级下·浙江金华·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数． (3)如图3，点P，G分别在，上，连，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连，且，设，，，请画出图形，并直接写出，，之间的数量关系． 38．（23-24七年级下·广东珠海·期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图-1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，若，，则的度数为 ； (2)【类比迁移】如图-2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，请用含α的式子表示； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图-3所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 39．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，，C为垂足，过A点的直线，D为直线上方一点（不在直线上），连接，的平分线交于点E． (1)求证：； (2)若点D在直线上，，求的度数； (3)当点D在直线的上方时，连接，若的平分线所在的直线与射线相交于点P，请探究与之间的数量关系． 40．（23-24七年级下·江西赣州·期末）类比探索． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，连接，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上时，请直接写出与所有可能的数量关系． 【经典例题九 三角形中的边角关系新定义问题】 41．（23-24七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 42．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则_____； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线的平分线分别交于两点． ①若，且和互为“黄金角”，则______； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为相交于点．若与互为“黄金角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“黄金角”时，则______． 43．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 44．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 45．（24-25八年级上·全国·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ (2)如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 【经典例题十 与三角形的高有关的计算问题】 46．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 47．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 48．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 49．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且． (1)求a，b的值； (2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式； (3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标． 50．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图在中，是高，是角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，与之间有怎样的关系？请说明理由． 【经典例题十一 与三角形面积有关的计算问题】 51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      52．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到的中点的坐标为；当时，将点向上平移个单位，得到；当时，将点向下平移个单位，得到，我们称点为关于的中心平移点．例如：，，的中点的坐标为，关于的中心平移点的坐标为． (1)已知，，，直接写出关于的中心平移点及关于的中心平移点的坐标； (2)已知，位于轴的同侧，关于的中心平移点为，若的面积比的面积大6，求的值； (3)已知，，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，分别过点与作轴的平行线与．若点在线段上，且关于的中心平移点在与之间（不含，），直接写出的取值范围． 53．（23-24七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 54．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 55．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的边角关系、命题与证明55道压轴题型专训（11大题型） 题型一 三角形内角和定理有关的计算 题型二 三角形外角有关的计算 题型三 角平分线有关的计算 题型四 三角板中的角度计算 题型五 旋转中的角度计算 题型六 折叠中的角度计算 题型七 三角形中的动角计算 题型八 探究角的关系 题型九 三角形中的边角关系新定义问题 题型十 与三角形的高有关的计算问题 题型十一 与三角形面积有关的计算问题 【经典例题一 三角形内角和定理有关的计算】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，点A在上，点B、C在上．在中，，．点M、Q在直线上，在中，，． (1)将沿直线平移，当点N在上时，请画出示意图并求的度数； (2)将沿直线平移，当以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，求的度数． 【答案】(1)图见解析， (2)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和与外角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和得到，，然后利用平行线的性质得到，然后在中运用三角形的内角和解题即可； （2）分、、，三种情况分别画图计算即可解题． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，当， 则； 如图，当时，则； 如图，当时， ∵， ∴； 如图，当时， ∵， ∴； 综上所述，以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，为或或或． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，平分 ，得，，得出； （2）先求出，由平分，平分，可求出，利用平行线性质得出，等量代换即可求解； （3）在中，根据角之间的关系，得，再根据角之间的关系得，则可得出，然后代入数值即可求解． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵平分 ， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解∶∵，， ∴， ∵平分，平分， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （3）解：∵在中，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板的三个内角分别是和，按如图1叠放在一起，改变三角形的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，； (2)如图3中，当 时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出α的度数及平行的直线． 【答案】(1)当，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)有8种情况，详见解析 【分析】本题是一副三角板运动的问题，考查了平行线的性质和判定及三角形的内角和，根据三角形内角和及平行线所得角的关系求角的度数，难度不大，但比较麻烦，容易丢解，要依次按顺序旋转． （1）根据三角形的外角，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的判定方法，求解即可； （3）分8种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1），理由如下： 如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①如图4，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ②如图，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ③如图6，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ④如图7，当时；理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； ⑤如图8，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ⑥如图7，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ⑦如图10，当时； ∵， ∴与重合， ∴， ∴当时，； ⑧如图11，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴当时，． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图1，已知直线，点、是上两点，点、是上两点，、相交于点，，，请回答下列问题： (1)则________；（直接写出结果即可） (2)如图2，点为延长线上一点，、分别为、的角平分线，且交于一点，求的度数； (3)若点为平面内一点，连接、，且，，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的性质，可得的度数，再根据平角的性质即可求解； （2）结合（1）中的计算可得的度数，根据角平分线的性质可得的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意可得，根据图形的变换角度的关系，分类讨论，图形结合，角度的和差计算方法，三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可是，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴的度数为； （3）解：据上述计算可得，， ∵，， ∴， 如图所示，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴在中，； 如图所示，，， ∴， ∴在中，； 如图所示，，， ∴， ∴在中，； 综上所述，的度数为：，，，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，图形的旋转变换，掌握角平分线的性质，图形的变换的性质，三角形的内角和定理，分类讨论，图形结合分析的方法是解题的关键． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直定义，得到，根据三角形内角和定理，结合即可得证； （2）①根据角平分线的定义，得到，在和中，根据三角形外角性质，结合，可得结论；②根据角平分线的定义，证明,得到，得到，根据，得到，即得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，且， ∴； （2）①∵平分， ∴， ∵，，且， ∴； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知，． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．熟练掌握三角形角平分线的定义，垂直定义，三角形的内角和定理，平角性质，直角三角形的两个锐角性质，三角形的外角性质，是解题的关键． 【经典例题二 三角形外角有关的计算】 6．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，点是的平分线与的平分线的交点． (1)若，，则________； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)70 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形和角平分线．熟练掌握角平分线定义，三角形外角性质，是解决问题的关键． （1）根据角平分线性质得到，根据三角形外角性质即得；（2）根据角平分线性质得到，，根据三角形外角性质即得，得到，由三角形外角性质得到，即得. ． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵ 则， 故答案为：70； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 【答案】（1），理由见解析；（2）图见解析，或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （2）画出符合条件的图形，根据图形和（1）的结论解答即可． 【详解】解：（1）结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （2）如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 8．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 9．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）中，的角平分线与三角形的外角的平分线相交于点E， (1)如图一，已知，求的度数； (2)如图一，求证：； (3)如图二，F是的延长线上一点，的角平分线交于G，交于H，探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了角平分线定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算可得出答案； （2）根据三角形的外角性质得到，，根据角平分线的定义得到，，进而证明结论； （3）先求得，同理可得：，再由角平分线的定义可得，，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 即； （2）证明：是的外角， ， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ． ； （3）解：如图，设与相交于点，与相交于点， 在中，， 在中，， ， ， ， 同理可得：， 、分别是和的角平分线， ，， 由得：． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点，分别在和上，且． (1)如图，若，，则的度数为_____； (2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变； 【分析】（1）过点作，则，利用平行线的性质，进行求解即可； （2）延长交于点，设交于点，设，利用平行线的性质，外角的性质推出，，求出，即可得出结果； （3）分点在点左侧和右侧两种情况分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，设交于点， ∵平分，平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在点左侧时：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点右侧时：如图，过点作， 设：，， 同法可得：， ， ∴， ∴； 综上：与之间的关系不发生改变． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角等知识点，解题的关键是过拐点构造平行线，利用数形结合和分类讨论的思想求解． 【经典例题三 角平分线有关的计算】 11．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了外角的性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，延长交于，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，延长交于，记的夹角为，由分别是和的角平分线，可得，，即，，由题意知，，，则 ，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 如图2，延长交于，记的夹角为， ∵分别是和的角平分线， ∴，，即，， 由题意知，，， ∴，即． 12．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）由角平分线的定义可得：，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，，推出，，最后根据三角形的内角和求解即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，推出，进而得到，最后根据，即可求解； （4）由角平分线的定义可得：，，根据三角形的外角性质可得： ，，即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2），证明如下： ，分别是的外角，的平分线， ，，，， ，， ， ， ， ， ， , ； （3），证明如下： 是的平分线，是外角的平分线， ，， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， 由题意得：，， ， 又，， ， ． 13．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴；    （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；    （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 14．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②或 (2)理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； ②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”； （3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案． 【详解】（1）①∵是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“奇妙互余三角形”． （3）解：当P在线段上时，如图： ，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图： ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（舍去）； 当时， ∵， ∴（舍去）． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． 15．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．    (1)如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． ①若，则______°． ②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． (2)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的倍，请求出的度数． 【答案】(1)①；②不变，； (2)或． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，垂直的定义等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）①由垂直的定义得，结合，可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解；②设，则，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，，进而得到，推出，根据三角形外角性质可推出，然后分两种情况讨论：①当时，②当时． 【详解】（1）①直线与互相垂直，垂足为， ， ， ， 平分交于点，平分， ，， ， 故答案为：； ②不变，． 直线与互相垂直，垂足为， ， 是的外角，设， ， 平分交于点，平分， ， ， ， 的值不变，且； （2）平分，平分，平分， ，，， ， 在中， 是的外角，是的外角， ；， ，即， 一个角是另一角的倍， 由图可知，可分两种情况讨论： ①当时， ， ， ； ②当时， 即， ， ； 综上所述，等于或． 【经典例题四 三角板中的角度计算】 16．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______时，； (2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】(1)15 (2)旋转角的所有可能的度数是：，，，， (3)，证明见解析 【分析】（1）当时，，则，即可解答． （2）分五种情况考虑：，，，，，即可分别求出旋转角； （3）利用三角形的内外角的相等关系分别得出：及，由的内角和为，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 即旋转角° 故答案为：15 （2）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况： ①当时，如下图， 由（1）知旋转角； ②当时，如下图， 与重合， ∴， 即旋转角为； ③当时，如下图， ∴， ∴， ∴， ∴， 即旋转角为； ④当时，如下图， 延长交于点M， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，在同一直线上，即点A，B，D共线， ∴， 即旋转角为； ⑤当时，如下图， ∵， ∴， 即旋转角为； 综上所述，旋转角的所有可能的度数是：，，，，． （3）（3）当，，保持不变； 理由如下： 在中，， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 17．（23-24七年级下·河南安阳·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点H． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点B放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整． 解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（______________） 所以，________（______________） 因为________， 所以 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行；，两直线平行，同位角相等；；（3） 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到，即可判定； （2）过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据角平分线定义及平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵直线于点D， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（平行于同一直线的两直线平行） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为， 所以； （3），理由如下： 如图3，过点O作，则， ， ， ， ∵和分别平分， ， ∴， 即． 18．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）若与交于点，利用， ，求得，再得到，，即得证； （3）当与三角板的直角边和直角边重合时，分别讨论两种情况即可得解； 【详解】解：（1） ， ， ， ． （2），理由如下， 若与交于点，如图， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ． （3）当与三角板的直角边重合时，与交于点，如图所示， ，， ， 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为． 当与三角板的直角边重合时，和延长线交于点，如图所示 ，， ， ， ． 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为 综上，当与三角板的直角边重合时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为或． 19．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】[实验探究] （1）；（2）；[猜想证明] ，证明见解析；[结论应用] 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键． [实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； （2）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； [猜想证明] 连接，在和中，根据三角形内角和定理可得，，即可求解； [结论应用] 由[猜想证明]得：，，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：[实验探究] （1）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： [猜想证明]  ，证明如下： 如图，连接， 在中，， 在中，， ∴ ， 即； [结论应用]  由[猜想证明]得：，， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 解得：． 20．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 【答案】(1)140，90，50； (2)； (3)（2）中的结论不成立，，，； (4)． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形的内角和定理求解即可． （2）猜想：．利用三角形内角和定理即可解决问题． （3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可． （4）延长交于点Q，根据平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意，在中，； 在中， ∵， ∴ ． 故答案为：140，90，50． （2）解：猜想：． 理由：在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：判断：（2）中的结论不成立． ①如图中，结论：． 理由：设交于． ∵， ∴， ∴． ②如图中，结论：． 证明：设交于． ∵， ∴， ∴． ③如图中，结论：． 理由：∵，， ∴， ∴． （4）解：延长交于点Q， 由题意，∵， ∴． 又，, ∴． ∴． 【经典例题五 旋转中的角度计算】 21．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． (1)如图，__________； (2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； (3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)秒或秒或秒． 【分析】（1）先根据角平分线定义得到，再由三角形外角的性质推出，则； （2）过点P作，则，由平行线的性质推出，再由角平分线的定义得到，进而可得，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图3所示，没有旋转时， ∵，， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长分别交于T、F，设交于S， ∴， ∵， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时，延长交于S，设交于T， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当时，延长交于T，延长交于S， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴ ∴此时； 综上所述，秒或秒或秒时，在旋转过程中边与的边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 22．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点． ①_________； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点F以每秒的速度逆时针旋转，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，求出此时t的值． 【答案】（1）①45；②50度；（2）或20或 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理的应用，平行线的性质，垂直的定义． （1）①根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和可得；②等量代换可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，求得，即可求得的度数； （2）根据②中结论，分类讨论：当时，当时，当时，分别求得的度数，进而得解． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，， ， ， 又， 故， 即， ， ，； ②， ， ， ， 又，， ， 故， 解得：， 故， ； （2）解：由②可得，，，，， 当边与射线重合时，所经过的时间为：（秒）， 当时，如图：交于点H， ， ，， ， ， 此时旋转时间为（秒）； 当时，如图：交于点H， ， ， 此时旋转时间为（秒）； 当时，如图：交于点H， ，， 此时旋转时间为（秒）； 综上，满足条件的值为或20或． 23．（23-24七年级下·江苏盐城·期中） 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N． (1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °； (2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值． 【答案】(1)，60 (2)33或69 (3)t的值为9或18或54或63 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据题中条件，求得，由此可求得，即，同时可求得； （2）分两种情况讨论：当在点C的左边时，当在点C的右边时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°． 【详解】（1）解：如图所示，与交于点O， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是：垂直， ∵， ∴． （2）解：如图，当在点C的左边时，延长交于点G， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在点C的右边时， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴根据旋转可知，旋转角为：， ∴； 综上分析可知：或时，使得； （3）解：由题意可知，， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当旋转时，中有两个角相等，如图所示， ∴此时； ②时， 则： ， ∴，即，如图， 则旋转的度数为：， 即当旋转时，中有两个角相等； 此时； ③当时， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， 即当旋转时，中有两个角相等，如图所示， 此时； ④由③可知，如图，当时， ∵， 此时旋转， 即当旋转时，中有两个角相等， 此时； 综上所述：当t的值为9或18或54或63时，中有两个角相等． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图1，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中： (1)如图2，当___________时，；当___________时，； (2)将绕点按逆时针方向旋转到如图3的位置，边与延长线交于点，边与交点，求的值； (3)当顶点不在内部时，此时的度数范围是___________；（三角形的内部不包含三角形的边） (4)在旋转过程中，当___________时，的一边与平行． 【答案】(1)15；60 (2) (3)或 (4)15或105或135 【分析】（1）根据平行线的判定进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可； （3）求出点在边和边上时，的度数，即可得出结果； （4）分，三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：当，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ； （3）当点在边上时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴当时，顶点不在内部； ②当点在上时：， ∴当时，顶点不在内部； 综上：或； （4）①当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴，即：； ②当时，， ∴， ∴，即：； ③当时，则：， ∴，即； 故答案为：15或105或135． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）已知． (1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)5秒或15秒 【分析】（1）过点B作，根据平行线的性质得出，，根据垂线定义得出，即可得出答案； （2）根据解析（1）得出，根据，得出，即可得出，根据三角形外角的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况进行讨论：当点在下方时，当点在上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵于B， ∴， 即． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点在下方时，如图所示： 则，， ∵、分别平分、，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 当点在上方时，如图所示： 则，， ∵、分别平分、，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当它们同时旋转5秒和15秒时，射线． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意进行分类讨论． 【经典例题六 折叠中的角度计算】 26．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）当两种情况画图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与相交于点G， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴； 如图，设直线交于点G， ， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 27．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 28．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角和性质： （1）根据三角形的内角和定理和邻补角，进行证明即可； （2）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可； （3）利用角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行证明即可； （4）利用三角形的外角的性质和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴； （2）∵，． 又∵ ∴． 故答案为：； （3）∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 29．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 30．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【经典例题七 三角形中的动角计算】 31．（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．    (1)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， ， ，点B的坐标（ ， ）， ； (2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； (3)当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，，使得，求与的数量关系． 【答案】(1)6；；6，；或 (2)或或 (3)或 【分析】（1）由非负数的性质得，，解得，，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可； （3）分点F在点上方，点F在点下方，两种情形分别画出图形，根据平行线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵a，c满足关系式， ∴，， ∴，， ∴，， 当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或， ∴或； （2）解：①当时，点P在上，此时，； ②当时，点P在上，此时，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则； ③当时，点P在上，此时，， ∴； （3）解：当点F在点上方时， ①如图3中，结论：，理由如下：    连接， ∵，， ∴ ； ②当点F在点下方时， 如图4中，结论：，理由如下：    设交于G， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型． 32．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①图见解析，；②或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系是解题关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，即可推出； （2）①根据平行的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义推出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数； ②分情况讨论：当点在点的右侧时，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系；当点在点的左侧时，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ， ， ； （2）①画出图形， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； ②猜想：或，理由如下： 当点在点的右侧时，如下图： ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧时，如下图： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 综上可知，或． 33．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式．    (1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． ①在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，______； ②在点的运动过程中，记的面积为，用含的代数式表示； (2)点在射线上，点为射线上一动点，，连接，作平分交轴于点，直线上取点，连接，使，当时，求的大小． 【答案】(1)①秒或秒；②当时，；当时，；当时，． (2)或． 【分析】（1）①由非负数的性质得，，解得，，根据当点到的距离为2个单位长度分两种情况，即点在段或在段，求出运动时间； ②分三种情形：当点在段时，；当点在段时，；当点在段时，，分别含的代数式表示； （2）分三种情形分别画出三个图形，即：当点在点左侧时，当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求的大小． 【详解】（1）①解：a、c满足关系式， ∴，， 解得，， ∴，． 当点P到AB的距离为2个单位长度时，分两种情形： 点在段时， ，运动路程 点在段时， ，运动路程， ∴（秒）或（秒）， 故答案为：秒或秒； ②根据点的位置有三种情形： I．当时，点在段，此时； II．当时，点在段，此时； III．当时，点在段，此时，， ， 综上所述：当时，；当时，；当时，． 故答案为：当时，；当时，；当时，． （2）设，，，则，， 在中，， ，即：， I．当点在点左侧时，         如图， ，即：， 在中，， ，即： 联立得：， 解得：， ． II．当点在线段上时，    如图，， ，即：， 在中， ， ， 即： 联立得：， 解得：， 此时：，不合题意舍去； III．当点在线段上时，    如图，， ，即：， ， ， 在中，， ，即： 联立得：， 解得：， 此时：， 故答案为：或． 【点睛】本题是角的转换计算综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的内角和等于、三元一次方程组的应用等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型． 34．（22-23七年级上·湖南衡阳·期末）如图1，已知两条直线、被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点、重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①当点在点的右侧时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①②或，理由见解析 【分析】（1）只要证明即可得出结论． （2）①利用平行线的性质与角平分线的定义求出，即可解决问题． ②分两种情况：当点在的右侧时，当点在的左侧在线段上时，分别用表示即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中， 平分交于点， ， ． ， ∴． （2）解：①如图2中， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． ②猜想：或 理由：当点在的右侧时， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴中，， 即． 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 35．（24-25八年级上·全国·期中）直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 【答案】(1) (2)①；②不变， 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）①由垂线的定义得出，由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；②由垂线的定义得出，由角平分线的定义得出，，由三角形外角的定义得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②不变， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【经典例题八 探究角的关系】 36．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线，直角三角形，角平分线等，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线定义的计算，是解题的关键． （1）根据垂直性质推出，得到，根据角平分线定义得到，推出，根据平行线性质得到，推出，进而求解即可； （2）过点作，根据平行线性质推出，，得到，根据角平分线性质得到，，推出，根据，得到，根据，得到； （3）延长交的延长线于点，根据垂直性质得到，，得到，设，则，根据角平分线定义设，得到，根据垂直性质得到，推出，根据，推出，得到． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）与之间的数量关系是：，理由： 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（23-24七年级下·浙江金华·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数． (3)如图3，点P，G分别在，上，连，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连，且，设，，，请画出图形，并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)或； 【分析】（1）先证明，从而可得结论； （2）证明，，如图，过作，，再进一步利用平行线的性质可得答案； （3）如图，当在线段上，设，则，由（2）的结论可得：，如图，当在线段的延长线上时，设，则，同理可得：，证明，，，从而可得答案； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，当在线段上， 设，则， 由（2）的结论可得： ， ， ∵，，，的平分线交于点Q， ∴， ∴， 整理可得：； 如图，当在线段的延长线上时， 设，则， ∵，，，的平分线交于点Q， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 整理可得：； 综上：或； 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 38．（23-24七年级下·广东珠海·期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图-1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，若，，则的度数为 ； (2)【类比迁移】如图-2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，请用含α的式子表示； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图-3所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）过E作，结合，，，解答即可． （2）延长交于点G，利用平行线性质，三角形外角性质，角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可． （3）延长交于点M,利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：延长交于点G， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点F， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）延长交于点M ∵ ∴ ∵与的平分线相交于点G， ∴，， 设，的交点为N， ∵，且，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，对等角相等，四边形内角和定理，角的平分线，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键． 39．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，，C为垂足，过A点的直线，D为直线上方一点（不在直线上），连接，的平分线交于点E． (1)求证：； (2)若点D在直线上，，求的度数； (3)当点D在直线的上方时，连接，若的平分线所在的直线与射线相交于点P，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 或 (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可求证； （2）分两种情况：当点D在点A的左侧时，当点D在点A的右侧时，结合平行线的性质以及直角三角形的两锐角互余，即可求解； （3）分两种情况：当点D在直线的右侧时，当点D在直线的左侧时，结合平行线的性质以及三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 如图，当点D在点A的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当点D在点A的右左侧时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为 或； （3）解： 如图，当点D在直线的右侧时， 设，， ∵，                     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 如图，当点D在直线的左侧时， 同理； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 40．（23-24七年级下·江西赣州·期末）类比探索． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，连接，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上时，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】(1)60 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）作，利用两直线平行，内错角相等，推出和，通过等量代换结合已知条件即可求出度数． （2）利用四边形内角和和已知条件求出，结合三角形内角和定理，通过等量转换即可求出和数量关系． （3）分情况讨论，当和位于两侧时，利用已知条件和邻补角定义推出，再根据外角定义推出，通过等量转化即可求出和数量关系；当，，三点共线时，直接能求出和数量关系；当和位于同侧时，利用相同的方法即可求出和数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图所示， ， ， ，， ， ． ． 故答案为：60． （2）解：连接，如图所示， ，， ． ，， ， ， ． 故答案为：． （3）解：①当和位于两侧时，如图所示， ，， ． ，，， ， ， ， ． ②当，，三点共线时， ， ． ③当和位于同侧时，如图所示， ，， ． ，，， ， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，四边形内角和，外角和邻补角，解题的关键在于熟练掌握相关定义和性质以及巧妙利用已知条件进行等量转换． 【经典例题九 三角形中的边角关系新定义问题】 41．（23-24七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）①设， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即是； ②∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M．    ∴， ∵ ， 过点H作， ∵， ∴ 则 ∴∴ 如图2，    同理可得，， 则 如图3，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 如图4，    同理可得，， ∴ 如图5，    同理可得，， ∴ 如图6，    同理可得，， ∴ 综上可知，的大小为或或或 42．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则_____； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线的平分线分别交于两点． ①若，且和互为“黄金角”，则______； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为相交于点．若与互为“黄金角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“黄金角”时，则______． 【答案】(1) (2)①；②或；③或 【分析】（1）根据黄金角的定义，再结合余角角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“黄金角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示和，列方程，即可解答. ③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答. 【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ， ； 故答案为：； （2）解：①设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ，和互为“黄金角”， , 可得， 解得， ； ②设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， ∵与互为“黄金角”， ∴或， ∴或， 解得或； ③设, ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角” ∴或， ∴或， ∴，或； 综上所述，的度数为或. 【点睛】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键． 43．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． 44．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是，理由见解析；②当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时， 【分析】本题考查同旁内角，平行线的性质，几何图形中角度的计算，三角形的外角，掌握内联角的定义，是解题的关键： （1）①根据内联角的定义进行求解即可；②根据平行线的性质和内联角的定义，进行求解即可； （2）①根据邻补角求出和的度数，再根据内联角的定义进行判断即可；②分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的内联角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：80； ②∵是的内联角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①是，理由如下： ∵是的内联角， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵是同旁内角， ∴是的内联角； ②∵是的内联角，， ∴， 当直线位于如下图所示位置时： ∴当是的内联角时，则：， 当是的内联角时，，解得： 当直线位于如下图所示位置时： ∵， ∴， ，    若是的内联角，则 ， ∵， ∴（舍去）． 若是的内联角，则 ， 得， 综上：当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时，． 45．（24-25八年级上·全国·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ (2)如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 【答案】(1)①；② 都是“友爱三角形”，理由见详解 (2)的度数 【分析】（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由 是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，设，则，由三角形的外角和的性质可得，根据与 互为“友爱角”，分类讨论：当时；当时；由此列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得，， ∴； ②都是“友爱三角形”，理由如下， ∵ 是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中， ， ∴， 设，则， ∵是的外角， ∴， ∵是“友爱三角形”， 与 互为“友爱角”， ∴当时，， 解得，， ∴； 当时，， 解得，，不符合题意，舍去； ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的外角和性质，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，外角和性质，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． 【经典例题十 与三角形的高有关的计算问题】 46．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①；②作图见解析部分；（2）①；②；（3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： 47．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③的值为2或9； (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和平移的特点求解即可； （2）①根据题意求出点E的横坐标为，纵坐标为6，进而求解即可；②首先求出点E的横坐标为9，，，然后表示出点E的纵坐标为，进而求解即可；③根据题意分点E在上和点E在上，然后分别根据点到轴距离为7列方程求解即可； （3）首先求出四边形的面积，然后根据题意分和两种情况讨论，分别根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，将向下平移10个单位得线段， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：①∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动一圈， ∴当时，， ∴点E的横坐标为，纵坐标为6 ∴点E的坐标为， 故答案为：； ②∵点在边上运动， ∴点E的横坐标为9 ∵， ∴ ∴点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； ③∵点到轴距离为7， ∴点E的横坐标为7 ∵点E的运动路程为， ∴当点E在上时，， 解得； ∴当点E在上时， ∵点到轴距离为7， ∴ ∴ ∴ 解得； 综上所述，当点到轴距离为7时，的值为2或9； （3）∵， ∴四边形的面积 如图所示，点E在上，延长交y轴与点F，连接， 当时， ∴ ∴， ∴，即， 解得，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， 点P的坐标为， 如图所示，当交于点E，连接，延长交y轴于点G，则，过P点作交的延长线于点H， 当时， ∴ ∴， ∴，即 解得， ，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，动点问题，三角形的面积公式，列代数式等知识，解题的关键是正确表示出点E运动的路程及用分类讨论的思想． 48．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 49．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且． (1)求a，b的值； (2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式； (3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据即可得到答案； （2）分点P在点下方与上方两类讨论，根据面积加减即可得到答案； （3）过点D作于点E，根据点D的横坐标为1即可得到，从而求出，结合的面积为，代入求解即可得到答案； 【详解】（1）∵点，点，点， ∴，，， ∵， ∴，，∴； （2）解：当点P在OC上时， ∵，， ∴， ∴， 当点P在OC的延长线上时， ∵， ∴， ∴或； （3）解：过点D作于点E， ∵点D的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴ ∴， ∵， ∴ 当时， ∴ 当时， ∴ ∴或． 【点睛】本题考查动点三角形面积问题，解题的关键是分类讨论出现的情况，根据面积加减列式求解． 50．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图在中，是高，是角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，与之间有怎样的关系？请说明理由． 【答案】(1)35° (2)40° (3)，理由见解析 【分析】（1）由三角形的内角和可求得，再由角平分线的定义可得，利用三角形的外角性质可求得，从而可求的度数； （2）由三角形的内角和可得，结合条件可求得，由角平分线的定义得，再求得，从而可求的度数； （3）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴两式相加得：， 则有， ∵平分， ∴， ∵是的外角，是高， ∴，， ∴． （3），理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，三角形的高即过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足构成的线段，三角形的角平分线解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【经典例题十一 与三角形面积有关的计算问题】 51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 52．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到的中点的坐标为；当时，将点向上平移个单位，得到；当时，将点向下平移个单位，得到，我们称点为关于的中心平移点．例如：，，的中点的坐标为，关于的中心平移点的坐标为． (1)已知，，，直接写出关于的中心平移点及关于的中心平移点的坐标； (2)已知，位于轴的同侧，关于的中心平移点为，若的面积比的面积大6，求的值； (3)已知，，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，分别过点与作轴的平行线与．若点在线段上，且关于的中心平移点在与之间（不含，），直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据中心平移点的定义，即可求解； （2）取的中点P，连接，则，可得的中点坐标为，根据点P为的中点，可得，然后根据的面积比的面积大6，可得，即可求解； （3）根据题意可得点，，设点V的坐标为，可得，从而得到关于的中心平移点的坐标为，进而得到，再由关于的中心平移点在与之间（不含，），可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点和的中点坐标为， ∴关于的中心平移点的坐标为， ∵点和， ∴的中点坐标为， ∴关于的中心平移点的坐标为； （2）解：如图，取的中点P，连接，则， ∵，， ∴的中点坐标为，即， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大6， ∴， ∴， ∴， 解得：或4； （3）解：∵，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到， ∴点，， 设点V的坐标为， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴关于的中心平移点的坐标为， ∴，即， ∵关于的中心平移点在与之间（不含，）， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，三角形的中线，坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 53．（23-24七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) (3)75 【分析】本题是四边形综合题目，考查了三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识，本题综合性强，得出一般探究中的面积关系是解题的关键，属于中考常考题型． （1）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，根据，，，，，则，； （2）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，由模型得，，再由，，即可陈经理； （3）连接、、，由（2）得：，同理，，，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的三等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ∴ ． （2）解：如图，连接，，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ， 即． 故答案为：． （3）解：如图，连接、、， 由（2）得：， 同理，，，， ， ， 故答案为：75． 54．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 55．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$