精品解析：吉林省白山市长白朝鲜族自治县实验中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（11月）数学试题

高二上学期第二次月考数学考试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置） 1. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 2. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 3. 已知，，，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A. 4. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于求解. 【详解】原方程可化为， 方程表示圆，则有，即. 故选：D 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，，结合，得，进而解得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 6. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心之间的距离判断两圆的位置关系，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心坐标为半径为1，圆的圆心坐标为半径为7， 两圆圆心距离为，小于两圆半径之差， 圆与圆的位置关系为内含，没有公切线. 故选：A. 7. 已知是圆与圆的公共点，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出圆圆心坐标和半径，求出点到直线的距离，求得弦长，从而可得三角形面积． 【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为，线段的长度为， 所以的面积为． 故选：B. 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确； 对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 对于D，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 【详解】由可知圆心为，半径为1； 由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为； 对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为，与圆的方程相减可得， 化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 故选：BD 11. 椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点到轴的距离为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论. 【详解】如图： 因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径，进而可得该圆的标准式方程. 【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以圆心和为直径的圆的标准方程是. 故答案为：. 13. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求出和在上的投影，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 得，， 所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为： 14. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设两交点坐标，由线段被平分，得到两点坐标的关系，由直线方程得到方程组，解得点坐标，由点斜式写出直线方程. 【详解】设， ∵为中点，∴， ∴，∴， 解得， ∴，即. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点、、． （1）若直线通过点A与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点坐标求方向向量，再利用两点式计算方程； （2）利用中点坐标公式及两直线垂直关系求垂直平分线的斜率，再根据点斜式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，而即直线的一个方向向量， 根据两点式易知直线的方程为：，整理得； 【小问2详解】 因为、，所以其中点，即， 由可知，所以其垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知其垂直平分线的方程为：，整理得. 16. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）设，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解. 【小问1详解】 设圆C方程：， 由已知，解得， ∴圆C的方程为. 【小问2详解】 设点，. ∵， ∴. 整理得，， ∵点B在圆C上，∴， ∴点M的轨迹方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面平面. （1）证明：平面平面PAB. （2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，得到，结合得到平面，再由线面平行的性质得到，故平面，进而证明出面面垂直； （2）在（1）基础上得到直线PD与直线BC所成的角为，由线面垂直得到，故，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面PCD的法向量为，则， 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 18. 已知圆，直线过点. （1）求圆的圆心坐标及半径长； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】（1）圆的圆心坐标为，半径长为； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）把圆的一般方程化为标准方程，求圆心坐标和半径； （2）对切线分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径建立等量关系，当斜率不存在时，根据切线过点可求切线方程； （3）根据圆心与切点的连线垂直于切线，结合勾股定理求解. 【小问1详解】 圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 ∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. 19. 椭圆过点且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再求直线方程. 【小问1详解】 将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得，. 所以， 则， 所以 ，解得，即， 直线的方程为，即为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期第二次月考数学考试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置） 1. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 2. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 1 D. 4. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 7. 已知是圆与圆的公共点，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11. 椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点到轴的距离为 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是______． 13. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 14. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点、、． （1）若直线通过点A与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 16. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面平面. （1）证明：平面平面PAB. （2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 18. 已知圆，直线过点. （1）求圆的圆心坐标及半径长； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 19. 椭圆过点且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $