精品解析：广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试试题 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求得. 【详解】命题“”的否定为. 故选：D. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的概念求解出，然后根据交集的概念求解出. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 故选：C. 3. 下列图形中，不可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义判断． 【详解】ABD三个选项的图象，对定义域内的每一个值，根据图象都是只有唯一的值与之对应，可作函数图象，而选项C中图象一个对应着两个值，不能作为函数图象， 故选：C． 4. 下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的三要素逐一判断即可. 【详解】因为，， A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； B，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数； C，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数； D，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数. 故选：C. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的性质分和解方程即可； 【详解】由题意可得当时，； 当时，，解得， 所以或， 故选：D. 6. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得：， 所以， 当切仅当时，取等号， 故选：B 7. 使 “不等式在上恒成立” 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立求得参数范围后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】不等式在上恒成立，由，因此， 只有B满足充分不必要条件的定义． 故选：B． 8. 平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. “屏占比”变化不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小. 【详解】设升级前屏幕面积为a,整机面积为b, 则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：当时，，故错误； 对于B：若，，则，正确； 对于C：若，，则，正确； 对于D：取，满足，而，故错误. 故选：BC 10. 已知函数，若对于任意的两个不相等实数都有，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过分段函数的单调性确定的范围，即可求解. 【详解】由题意可知在其定义域上单调递增， 所以需满足：解得：， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，．若函数，则关于函数的叙述中正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 的值域是 D. 是上的增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】分类讨论求出的值域，利用高斯函数的定义求出的解析式，根据解析式可得答案. 【详解】因为， 所以当，即或时，，， 当，即时，，， 所以， 所以为偶函数，的值域为. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：理解高斯函数的定义，求出的值域是解题关键，考查了分类讨论的思想以及数学运算能力. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 函数的定义域为__________．（结果用集合表示） 【答案】或且 【解析】 【分析】由二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0建立不等式组，从而求出函数定义域. 【详解】由题意得，解得或且. 故答案为：或且. 13. 已知幂函数的图象经过点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】由图象经过点，求得解析式，即可求解. 【详解】设，因为经过点， 所以，解得：， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意并结合函数的奇偶性得到函数在上的单调性，进而结合函数的单调性求得答案. 【详解】因奇函数在区间上单调递减，且，所以在上单调递减，且， 则不等式可转化为或，解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题:本大题共5小题，第15题13分，16和17题15分，18和19题17分，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知函数，. （1）在同一直角坐标系中作出与的图象； （2），用表示中的最大者，记为.例如，当时，请写出的解析式； （3）请写出的一个函数性质，并给予证明. 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）为偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）化简解析式，即可直接画出函数图像； （2）联立方程组，得到函数图形的交点坐标，即可由题中的新定义得出的解析式； （3）由函数奇偶性的定义得出函数为偶函数. 【小问1详解】 因为 【小问2详解】 当 ，则， 又当，则 ， ； 【小问3详解】 为偶函数. 证明：函数的定义域为，，都有 ， ， 所以为偶函数. 16. 已知集合， （1）求，； （2）求，；； （3）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）;; （3） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式得到集合，解一次不等式得到集合； （2）由（1）和集合的运算直接求出（2）中的三个结果； （3）由，得，建立不等式，求出实数的取值范围. 小问1详解】 由，得，所以， 由得，所以； 小问2详解】 由（1）得；，则； 【小问3详解】 由，得， 所以，解得， 所以. 17. 已知幂函数的图像关于轴对称. （1）求的解析式； （2）若函数在区间内具有单调性，求实数的取值范围； （3）用单调性定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】（1） （2）或. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义得到求出的值，得到幂函数解析式； （2）由（1）得到解析式，由二次函数的图像及性质得到不等式，求出实数的取值范围； （3）用定义法判断函数单调性，在区间内任取两个值并确定大小关系，再作差，由差的正负证明函数的单调性. 【小问1详解】 因为是幂函数 所以，解得或 又图像关于轴对称，所以； 所以 【小问2详解】 由题知，在区间内具有单调性， ①当在区间内单调递增时，，即； ②当在区间内单调递减时，，即； 综上，实数的取值范围为或. 【小问3详解】 由题知，证明如下： ，令，则 因为，所以，，， 所以，即， 故，即， 所以在区间上单调递增. 18. 迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5. （1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积； （2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值. 【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为. 【解析】 【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积； （2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值． 【详解】（1）由栏目高与宽（），可知， 广告的高为，宽为(其中) 广告的面积 （2）由，所以 当且仅当，即时取等号，此时. 故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的值． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解的特点可得与是方程的两根，由此可代入求得，再将代入不等式求得； （2）由题意得，对，，，与五种情况分类讨论即可得到结果. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以与是方程的两根，且， 将代入，得，则， 所以不等式为，转化为， 所以原不等式解集为，所以. 小问2详解】 因为，所以由得，整理得，即， 当时，不等式为，故不等式的解集为； 当时，令，解得或， 当时，，即，故不等式的解集为； 当时，，故不等式的解集为或； 当时，，不等式为，故其解集为； 当时，，故不等式的解集为或； 综上：①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为或； ④当时，原不等式解集为； ⑤当时，原不等式解集或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期中考试试题 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ） A. B. C D. 5. 已知函数，若，则（ ） A B. C. D. 或 6. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 使 “不等式在上恒成立” 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. “屏占比”变化不确定 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知函数，若对于任意的两个不相等实数都有，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，．若函数，则关于函数的叙述中正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 的值域是 D. 是上的增函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 函数的定义域为__________．（结果用集合表示） 13. 已知幂函数的图象经过点，则____． 14. 已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________. 四、解答题:本大题共5小题，第15题13分，16和17题15分，18和19题17分，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知函数，. （1）在同一直角坐标系中作出与的图象； （2），用表示中的最大者，记为.例如，当时，请写出的解析式； （3）请写出的一个函数性质，并给予证明. 16 已知集合， （1）求，； （2）求，；； （3）若，且，求实数取值范围. 17. 已知幂函数的图像关于轴对称. （1）求的解析式； （2）若函数在区间内具有单调性，求实数的取值范围； （3）用单调性定义证明函数在区间上单调递增. 18. 迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5. （1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积； （2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值. 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的值． （2）求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$