精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

阆中中学高2022级2024年秋11月月考 数 学 试 题 (满分:150分 时间：120分钟 ） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 的最小值是2 C. 若，则 D. 的最小正周期是 10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为定值 C. D. 的最大值为 11. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不可能是的零点 C. 若在区间上有且仅有2个对称中心，则 D. 若在区间上单调递减，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在中，若，且，则的外接圆的面积为________________． 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位) 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在等比数列中，公比，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 16. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）． （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？ 17. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． （1）求抛物线E的方程； （2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 18. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 19. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: （1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; （2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学高2022级2024年秋11月月考 数 学 试 题 (满分:150分 时间：120分钟 ） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集运算即可求解. 【详解】解： 所以 故选：A． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求，进而用复数的除法运算即可求解. 【详解】由得， 则. 故选：C. 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， . 故选：D. 4. 已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求出，求出导数并利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数为奇函数，且定义域为，得，解得， 函数，，是奇函数， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，得， 所以. 故选：D 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为，且，， 是奇函数，排除选项C和D，当时，， 排除选项B. 故选：A． 7. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则问题等价于时，只有一个零点，结合函数的单调性得到，解出即可； 【详解】令，得，即， 设，则问题等价于时，只有一个零点， 由函数的单调性可得在时单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先探求必要条件，再证明当时在恒成立，通过先放缩再构造函数，对函数，分和两种情况讨论，研究函数的单调性和最值即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 设， 所以在恒成立， 所以，解得， 下面证明：当时，恒成立． 因为，所以. 设，，其中. 则，其中， （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立， 所以，即在上单调递增． 所以，即在上单调递减，所以成立， 综上所述，当时，恒成立，即不等式恒成立. 所以若不等式恒成立，则实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略： （1）通过运算对不等式进行等价变形，从而构造新函数转化为函数的最值问题求解.利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）分离参数法.不等式中参数易于分离，且分离后具体函数的导数运算及性质研究都可求解，则先分离再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）若参数与变量分离后并不易求解，可以考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 的最小值是2 C. 若，则 D. 的最小正周期是 【答案】ACD 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断选项A；由基本不等式使用的条件可判断选项B；在单调递增，即可判断选项C；由正弦型函数的最小正周期公式计算即可判断选项D. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 命题“，”的否定是“，”，故A正确； 当时，，的最小值是2， 当时，，的最大值是，故B错误； 在单调递增，若，则，故C正确； 的最小正周期为：，故D正确. 故选：ACD 10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为定值 C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A选项；由中线的性质和向量数量积的运算有，求值判断B选项；C 选项，由，结合余弦定理求的值；D选项，中，余弦定理得，结合均值不等式求解. 【详解】A．，故A正确； B．，故B正确； C．，， 由余弦定理知，，即， 化简得，故C错误； D．，当且仅当时等号成立， 由于，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不可能是的零点 C. 若在区间上有且仅有2个对称中心，则 D. 若在区间上单调递减，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对称性可得，即可求解A，根据即可求解B，利用对称性与周期的关系可得即可求解C，利用单调性与周期的关系即可求解D. 【详解】直线是函数图象的一条对称轴，则，解得，又，则的最小值为，故A正确； 假设是的零点，则，解得，与，矛盾，假设不成立，故B正确； 设函数的周期为直线是函数图象的一条对称轴，在区间上有且仅有2个对称中心， ，即，解得，又，故C错误； 在区间上单调递减，则必有，即， 此时符合题意，故D正确. 故选：ABD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在中，若，且，则的外接圆的面积为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，设，，，由余弦定理和同角的平方关系求出，再利用正弦定理和圆的面积公式计算即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， ，则， 由正弦定理得，（为外接圆半径），得， 则外接圆面积为， 故答案为： 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位) 【答案】0.84 【解析】 【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解. 【详解】令， 则，，，， 故， 由麦克劳林公式得，， 所以. 故答案为：0.84. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在等比数列中，公比，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可得数列的前项和． 【小问1详解】 由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得，  所以. 16. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）． （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？ 【答案】（1） 因为三角形是等边三角形，且E是中点， 所以， 又因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为面， 所以， 因为，， 所以，， 所以，即， 因为平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，可得，结合条件可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得； （2）利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由已知得， 设，则、 设平面的法向量为， 则， 令，有， 设直线与平面所成的角， 所以， 当且仅当时取等号， 当时，直线与平面所成角最大． 17. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． （1）求抛物线E的方程； （2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 【答案】（1） （2）证明： 设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，，则， 因为点A、B在第一象限，所以，故， 设B关于x轴的对称点为， 则直线的方程为， 令得： ． 直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程； （2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； 【小问2详解】 略. 【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 18. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况； （2），定义域为，求导，得到的单调性及，根据得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或2， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，满足要求， 综上，，有极大值，极小值， 单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ，定义域为， 则， 因为，所以， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令得，，解得， 故实数a的取值范围是. 19. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: （1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; （2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解. （2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围. 【小问1详解】 由中位数为87.5，得，则， 由平均值为87，得， 则，联立解得， 所以. 【小问2详解】 以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为： 质量指标值 利润（万元） 0.05 0.1 5a 5b 0.3 依题意，，即， 每件产品的利润，， 由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立， 此时，令，， 求导得，令，， 求导得，而，， 当，即时，，函数在上单调递增， ，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，则存在，使得， 由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减， ，，函数在上单调递减，，不符合题意， 由，及，得，因此， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $