5.2 求解二元一次方程组（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 5.2 求解二元一次方程组 知识点一 代入消元法 ★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想. ★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法. ★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 知识点二 加减消元法 ★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. ★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 题型一 用代入法解二元一次方程组 解题技巧提炼 用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影响着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程. 1．（2024春•官渡区期末）解方程组时，把①代入②，得（　　） A．4（2x﹣1）﹣3y＝12 B．4x﹣（2x﹣1）＝12 C．4x﹣3×2x﹣1＝12 D．4x﹣3（2x﹣1）＝12 2．（2024春•福清市期中）在解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．3x﹣2x﹣3＝8 B．3x﹣2x﹣6＝8 C．3x﹣4x﹣3＝8 D．3x﹣4x+6＝8 3．用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是（　　） A．由①得x③ B．把③代入②得35y＝5 C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5 D．解得y＝1，再由③得x＝2.5 4．（2023秋•蒲城县期末）二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．用代入法解方程组时，最好是先把　 　变形为　 　，再代入方程　 　，求出　 　的值，然后再求出　 的值，最后写方程组的解． 6．（2024秋•福田区校级期中）用合适的方法解二元一次方程组 （1）； （2）． 7．（2024秋•龙凤区期中）解方程组： （1）； （2）． 8．（2024春•东方校级月考）已知关于x、y的方程： （1）若此方程组的解x、y互为相反数，求这个方程组的解及m的值； （2）用代入法求方程组的解（用含m的式子表示）． 题型二 用整体代入法解二元一次方程组 解题技巧提炼 整体代入法是一种解二元一次方程组的方法，它基于整体思想，即从问题的整体性质出发，把方程组中的某些式子看成一个整体，然后进行代入求解. 1．（2023春•海淀区校级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换“的解法： 解：将方程②变形，得4x+10y+y＝5， 即2（2x+5y）+y＝5．③ 把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1． 把y＝﹣1代入①，得x＝4． ∴原方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组 2．（2023春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③； 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1； 把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为； 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 3．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x﹣y＝1③ 将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1 把y＝﹣1代入③得x＝0， ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． 4．（2023春•嵩县期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③ 把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4， ∴方程组的解为． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求xy的值． 题型三 用加减法解二元一次方程组 解题技巧提炼 用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况: (1)方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解; (2)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系,则将其中一个方程乘这个倍数后再利用加我法求解; (3)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系,可利用最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对值相等,然后再利用加减法求解. 1．（2023秋•惠来县期末）对于方程组，用加减法消去x得到的方程是（　　） A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2 2．（2023秋•麻栗坡县期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 3．（2023秋•济南期末）用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3 4．（2024春•海口期中）用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 5．用加减法解方程组具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴这个方程组的解是．其中，开始出现错误的步骤是（　　） A．（4） B．（3） C．（2） D．（1） 6．已知二元一次方程组，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以　 　，再将得到的方程与方程②两边相　 　，即可消去　 ． 7．（2024春•武侯区校级期中）若，则代数式x2y2+1的值为 　 　． 8．用加减法解下列方程组： （1） （2） 9．用加减法解下列方程组： （1）； （2）； （3）． 10．用加减法解下列方程组： （1）； （2）． 题型四 用换元法解二元一次方程组 解题技巧提炼 换元法是通过引入新的变量(元)，将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解. 1．用换元法解下列方程组： （1） （2）． 2．（2024春•泉港区期中）阅读探索： 知识累计：解方程组． 解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为． 解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法． （1）拓展提高：运用上述方法解下列方程组：； （2）能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，求出关于m，n的方程组的解． 3．（2024春•禹州市月考）阅读下列材料，回答问题： 解方程组：，某同学提供了如下解法： 解：设a﹣2＝x，b+1＝y，则原方程组可化为，解得． ∴，解得 ∴原方程组的解为． （1）已知关于x，y的方程组：的解为，则关于a，b的方程组的解为 　 ． （2）利用上述方法解方程组：． 4．（2024春•禹州市月考）阅读下列材料，回答问题： 解方程组：，某同学提供了如下解法： 解：设a﹣2＝x，b+1＝y，则原方程组可化为，解得． ∴，解得 ∴原方程组的解为． （1）已知关于x，y的方程组：的解为，则关于a，b的方程组的解为 　 ． （2）利用上述方法解方程组：． 5．（2024春•印江县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝　 　，2a﹣b＝　 　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 题型五 判断二元一次方程组的解的情况 解题技巧提炼 二元一次方程组的解包含三种情况：有唯一解、无解和有无数组解，二元一次方程组的解的情况．当≠时，有唯一解；当≠≠时，无解； 当＝＝时，有无穷解. 1．（2023春·浙江·七年级期中）已知关于的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程的解，则；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023春·七年级课时练习）若方程组有无穷多组解，则的值为 3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？ 题型六 同解方程组中求字母的值 解题技巧提炼 当两个二元一次方程组同解时，意味着这两个方程组中的方程的解是相同的，所以可以将两个方程组中不含字母参数的两个方程组成新的方程组，求出未知数的值，再将这些值代入含有字母参数的方程组成的方程组中求出字母参数的值． 1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组和有相同的解，则p，q的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 3．（2023•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解， 求（﹣a）b值． 4．（2023秋•甘州区校级期末）已知方程组和方程组的解相同， 求（2a+b）2024的值． 5．（2024春•鲤城区校级月考）若方程组和方程组有相同的解． （1）求方程组正确的解． （2）求a，b的值． 6．（2023秋•亳州月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求m，n的值； （3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值． 题型七 二元一次方程组的解的应用 解题技巧提炼 求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤： ①把字母参数看作已知数并解方程组； ②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程； ③解方程组求得字母参数. 1．（2023秋•南海区期末）已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值 是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 2．（2024•沙坪坝区校级开学）已知：|3x﹣y﹣13|+（x+y﹣3）2＝0，则yx的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．（2023秋•和平区校级期末）已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值 是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4 4．（2024春•鄞州区期中）若是方程x﹣3y＝﹣5的一组解，则2m﹣6n+2024＝　 　． 5．（2023春·陕西咸阳期中）已知关于的方程和的公共解满足，则 ． 6．（2023秋•金牛区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则4x+y的值为 　 　． 7．（2023春•乐亭县期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了m，得：，则原方程组中a的值为 　 ． 8．（2024春•新华区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+3y＝1，求m的值． 9．（2023春•宜丰县校级期中）已知关于x，y的方程组的解为试求的值． 10．（2024春•顺河区校级期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为． （1）求出方程组正确的解； （2）计算的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 5.2 求解二元一次方程组 知识点一 代入消元法 ★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想. ★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法. ★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 知识点二 加减消元法 ★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. ★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 题型一 用代入法解二元一次方程组 解题技巧提炼 用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影响着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程. 1．（2024春•官渡区期末）解方程组时，把①代入②，得（　　） A．4（2x﹣1）﹣3y＝12 B．4x﹣（2x﹣1）＝12 C．4x﹣3×2x﹣1＝12 D．4x﹣3（2x﹣1）＝12 【分析】把y＝2x﹣1代入4x﹣3y＝12得4x﹣3（2x﹣1）＝12，根据选项判断即可． 【解答】解：解方程组时，把①代入②，得4x﹣3（2x﹣1）＝12． 故选：D． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 2．（2024春•福清市期中）在解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．3x﹣2x﹣3＝8 B．3x﹣2x﹣6＝8 C．3x﹣4x﹣3＝8 D．3x﹣4x+6＝8 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【解答】解：将方程①代入②得：3x﹣2（2x﹣3）＝8， 整理得：3x﹣4x+6＝8， 故选：D． 【点评】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 3．用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是（　　） A．由①得x③ B．把③代入②得35y＝5 C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5 D．解得y＝1，再由③得x＝2.5 【分析】利用代入消元法求出方程组的解，即可作出判断． 【解答】解：方程组， 由①得：x③， 把③代入②得：35y＝5， 去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 解得：y， 再由③得：x， 则错误的一步为去分母． 故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．（2023秋•蒲城县期末）二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用代入法进行求解即可． 【解答】解：， 把①代入②得：3x＝1+2（2﹣x）， 解得x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2﹣1＝1， 故原方程组的解是：． 故选：B． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 5．用代入法解方程组时，最好是先把　 　变形为　 　，再代入方程　 　，求出　 　的值，然后再求出　 的值，最后写方程组的解． 【分析】首先，把方程组中第二个方程变形为x＝8+3y，再代入第一个方程消去x求出y的值；然后求出x的值，写出方程组的解即可． 【解答】解：用代入法解方程组时，最好是先把x﹣3y＝8变形为x＝8+3y，再代入方程2x+4y＝7，求出y的值，然后再求出x的值，最后写出方程组的解． 故答案为：x﹣3y＝8；x＝8+3y；2x+4y＝7；y；x． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解本题的关键． 6．（2024秋•福田区校级期中）用合适的方法解二元一次方程组 （1）； （2）． 【分析】（1）（2）采用适当的方法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， 把②代入①，得2x+2+x＝17， 解得x＝5③， 把③代入②，得y＝2+5＝7， ∴原方程组的解是． （2）， ②×2﹣①×3，得y＝3③， 把③代入①，得2x﹣9＝1， 解得x＝5， ∴原方程组的解是． 【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握其解法是解题的关键． 7．（2024秋•龙凤区期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）用减法消元法解； （2）先化简方程，再用加减消元法解． 【解答】解：（1）， 由①×5，得：10x﹣5y＝20③， 由③﹣②，得6x＝43， 解得；， 把代入①中得， 所以方程组的解为：； （2）， 整理方程组得：， 由①+②得：6x＝18， 解得：x＝3， 把x＝3代入②中得， 所以方程组的解为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 8．（2024春•东方校级月考）已知关于x、y的方程： （1）若此方程组的解x、y互为相反数，求这个方程组的解及m的值； （2）用代入法求方程组的解（用含m的式子表示）． 【分析】（1）根据方程组的解互为相反数可得x＝﹣y，代入方程①求出y，再代入方程②求出m即可． （2）用代入消元法求解即可． 【解答】解：（1）∵方程组的解x、y互为相反数， ∴x＝﹣y③， ③代入①得，﹣y+2y＝1， ∴y＝1， ∴x＝﹣1， ∴m＝﹣1﹣2＝﹣3， ∴方程组的解是，m＝﹣3． （2）， 由①，得 x＝1﹣2y③， 把③代入②，得 1﹣2y﹣2y＝m， ∴， 代入③，得 ， ∴． 【点评】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入法的操作方法是解题的关键． 题型二 用整体代入法解二元一次方程组 解题技巧提炼 整体代入法是一种解二元一次方程组的方法，它基于整体思想，即从问题的整体性质出发，把方程组中的某些式子看成一个整体，然后进行代入求解. 1．（2023春•海淀区校级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换“的解法： 解：将方程②变形，得4x+10y+y＝5， 即2（2x+5y）+y＝5．③ 把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1． 把y＝﹣1代入①，得x＝4． ∴原方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组 【分析】仿照材料中的解题思路进行计算即可解答． 【解答】解：， 将方程②变形，得： 6x﹣4y+3x＝19， 即2（3x﹣2y）+3x＝19，③ 把方程①代入③，得： 2×3+3x＝19， ∴x． 把x代入①，得： 13﹣2y＝3， ∴y＝5， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解材料中的解题思路是解题的关键． 2．（2023春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③； 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1； 把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为； 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入，从而求得x，进而解决此题． 【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①． 把①代入，得． ∴x＝1． 把x＝1代入①，得3+2y＝2． ∴y． ∴方程组的解为． 【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 3．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x﹣y＝1③ 将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1 把y＝﹣1代入③得x＝0， ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． 【分析】应用“整体代入”法，求出方程的解是多少即可． 【解答】解： 将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4， 将y＝4代入①得：x＝7， ∴原方程组的解为：． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意整体代入法的应用． 4．（2023春•嵩县期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③ 把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4， ∴方程组的解为． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求xy的值． 【分析】（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可； （2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可． 【解答】解：（1）， 由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③， 把①代入③得：15+2y＝19， 解得：y＝2， 把y＝2代入①得：3x﹣4＝5， 解得：x＝3， 则方程组的解为； （2）， 由①得：2（2x2+xy）﹣4xy＝7③， 把②代入③得：12﹣4xy＝7， 解得：xy． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体思想及消元思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型三 用加减法解二元一次方程组 解题技巧提炼 用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况: (1)方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解; (2)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系,则将其中一个方程乘这个倍数后再利用加我法求解; (3)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系,可利用最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对值相等,然后再利用加减法求解. 1．（2023秋•惠来县期末）对于方程组，用加减法消去x得到的方程是（　　） A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2 【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可． 【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32， 故选：C． 【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提． 2．（2023秋•麻栗坡县期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【分析】根据①中x、y的关系为x＝y，③中x、y的关系为y＝6+2x，①③用代入法，②④用加减法． 【解答】解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法． 故选：B． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 3．（2023秋•济南期末）用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3 【分析】观察两方程发现y的系数相等，故将两方程相减消去y即可得到关于x的一元一次方程． 【解答】解：解方程组，由②﹣①消去未知数y， 所得到的一元一次方程是2x＝9． 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元的思想是关键． 4．（2024春•海口期中）用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 【分析】根据等式的可加性直接求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， ①×3+②×2，消去x，故A选项不符合题意， ①×2+②×3，消去y，故B选项不符合题意， ①×（﹣3）﹣②×2，消去x，故C选项不符合题意， ①×2﹣②×（﹣3），消去y，故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． 5．用加减法解方程组具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴这个方程组的解是．其中，开始出现错误的步骤是（　　） A．（4） B．（3） C．（2） D．（1） 【分析】第（1）步两方程相减时出现错误． 【解答】解：用加减消元法解方程组：．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以这个方程组得解为， 最先出现错误的一步是（1）， 故选：D． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 6．已知二元一次方程组，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以　 　，再将得到的方程与方程②两边相　 　，即可消去　 ． 【分析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降元，可把x的系数化为相同，然后用加法化去，达到消元的目的． 【解答】解： 把①式两边同时乘以10，得：8x+7y＝30 ③， ②+③得：5y＝37即可消去x， 解得：y． 把y＝5代入①或②可求解x． 【点评】本题主要考查了加减消元法的步骤，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解． 7．（2024春•武侯区校级期中）若，则代数式x2y2+1的值为 　 　． 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，求出x，y，再把x，y的值代入进行计算即可． 【解答】解：， ①+②得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得：y＝4， ∴方程组的解为：， ∴ ＝1﹣4+1 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 8．用加减法解下列方程组： （1） （2） 【分析】（1）根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可． （2）根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可． 【解答】解：（1）①+②得， 6x＝12， x＝2． 将x＝2代入①得， 6﹣7y＝﹣1， y＝1， 所以方程组的解为． （2）①×3﹣②×2得， 6x+9y﹣（6x+4y）＝9﹣14， y＝﹣1， 将y＝﹣1代入①得， 2x﹣3＝3， x＝3， 所以原方程的解为． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 9．用加减法解下列方程组： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答； （3）将原方程组进行化简整理可得：，然后利用加减消元法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ②×2得：6x﹣2y＝2③， ①+③得：7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1代入①得：1+2y＝5， 解得：y＝2， ∴原方程组的解为：； （2）， ①×2得：18x+4y＝30③， ③﹣②得：15x＝20， 解得：x， 把x代入②得：4+4y＝10， 解得：y， ∴原方程组的解为：； （3）将原方程组化简整理得：， ①﹣②得：4y＝﹣12， 解得：y＝﹣3， 把y＝﹣3代入①得：3x+3＝8， 解得：x， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 10．用加减法解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）原方程组整理得， ③+④得：4x＝32， 解得：x＝8， 将x＝8代入③得：8+2y＝16， 解得：y＝4， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， ①×3﹣②×4得：7y＝14， 解得：y＝2， 将y＝2代入①得：4x﹣6＝2， 解得：x＝2， 故原方程组的解为． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 题型四 用换元法解二元一次方程组 解题技巧提炼 换元法是通过引入新的变量(元)，将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解. 1．用换元法解下列方程组： （1） （2）． 【分析】（1）令x+y＝m、x﹣y＝n得关于m、n的方程组，解得m、n的值，从而可得关于x、y的方程组，求解可得； （2）令x﹣4y＝a、x+5y＝b得关于a、b的方程组，解该方程组可得a、b的值，从而可得关于x、y的方程组，求解可得． 【解答】解：（1）令x+y＝m，x﹣y＝n， 则原方程组可化为：， 解得：， 即， 解得：； （2）令x﹣4y＝a，x+5y＝b， 则原方程组可化为：， 解得：， 即：， 解得：． 【点评】本题主要考查换元法解方程组的能力，熟练而准确地解方程组是基础，正确找到共同的整体加以换元是关键． 2．（2024春•泉港区期中）阅读探索： 知识累计：解方程组． 解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为． 解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法． （1）拓展提高：运用上述方法解下列方程组：； （2）能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，求出关于m，n的方程组的解． 【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可； （2）根据换元法设进行求解计算即可． 【解答】解：（1）设，， 原方程组可变为： 解得： 即 解得： （2）设 可得 解得：． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 3．（2024春•禹州市月考）阅读下列材料，回答问题： 解方程组：，某同学提供了如下解法： 解：设a﹣2＝x，b+1＝y，则原方程组可化为，解得． ∴，解得 ∴原方程组的解为． （1）已知关于x，y的方程组：的解为，则关于a，b的方程组的解为 　 ． （2）利用上述方法解方程组：． 【分析】（1）先设a+5＝x，b﹣1＝y，然后根据已知条件列出关于a，b的方程，解方程即可； （2）设3a﹣1＝x，b﹣2＝y，把原方程组化成含有x，y的方程，解方程组求出x，y，从而求出a，b即可． 【解答】解：（1）设a+5＝x，b﹣1＝y， ∵关于x，y的方程组：的解为， ∴a+5＝2，b﹣1＝1， 解得：a＝﹣3，b＝2， ∴关于a，b的方程组的解为， 故答案为：； （2）设3a﹣1＝x，b﹣2＝y，则原方程组可化成， ②×2得：8x﹣2y＝4③， ①+③得：x＝1， 把x＝1代入②得：y＝2， ∴3a﹣1＝1，b﹣2＝2， 解得：， ∴方程组的解为：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组1和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握灵活应用已知条件中所应用的解方程组的方法． 4．（2024春•禹州市月考）阅读下列材料，回答问题： 解方程组：，某同学提供了如下解法： 解：设a﹣2＝x，b+1＝y，则原方程组可化为，解得． ∴，解得 ∴原方程组的解为． （1）已知关于x，y的方程组：的解为，则关于a，b的方程组的解为 　 ． （2）利用上述方法解方程组：． 【分析】（1）先设a+5＝x，b﹣1＝y，然后根据已知条件列出关于a，b的方程，解方程即可； （2）设3a﹣1＝x，b﹣2＝y，把原方程组化成含有x，y的方程，解方程组求出x，y，从而求出a，b即可． 【解答】解：（1）设a+5＝x，b﹣1＝y， ∵关于x，y的方程组：的解为， ∴a+5＝2，b﹣1＝1， 解得：a＝﹣3，b＝2， ∴关于a，b的方程组的解为， 故答案为：； （2）设3a﹣1＝x，b﹣2＝y，则原方程组可化成， ②×2得：8x﹣2y＝4③， ①+③得：x＝1， 把x＝1代入②得：y＝2， ∴3a﹣1＝1，b﹣2＝2， 解得：， ∴方程组的解为：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组1和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握灵活应用已知条件中所应用的解方程组的方法． 5．（2024春•印江县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝　 　，2a﹣b＝　 　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【分析】（1）设a+b＝x，2a﹣b＝y，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设x+y＝m，x﹣y＝n，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【解答】解：（1）设a+b＝x，2a﹣b＝y， 原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 故答案为：﹣1；10； （2）， 设x+y＝m，x﹣y＝n， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查了用换元法解二元一次方程组，掌握合理换元是解题的关键． 题型五 判断二元一次方程组的解的情况 解题技巧提炼 二元一次方程组的解包含三种情况：有唯一解、无解和有无数组解，二元一次方程组的解的情况．当≠时，有唯一解；当≠≠时，无解； 当＝＝时，有无穷解. 1．（2023春·浙江·七年级期中）已知关于的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程的解，则；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①将代入，得到方程组，求解即可做出判断；②解方程组得：，把，代入，即可做出判断；③解方程组得：，根据为整数即可作出判断． 【解答】解：当时，方程组为，此时方程组无解；故①正确； 解方程组得：， 把，代入，方程左右两边相等，故②正确； 解方程组得：， 又为整数，若是整数，则，，2，，1，此时不是整数， 、不能均为整数，故③正确． 故选：D． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 2．（2023春·七年级课时练习）若方程组有无穷多组解，则的值为 【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程． 【解答】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式， ，解得， ， 故答案为5． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键． 3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？ 【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可． 【解答】解： 可得：，化简可得： （1）当时，即，方程有唯一解，即方程组有唯一解； （2）当，时，即，，方程无解，即方程组无解； （3）当，时，即，，方程有无数解，即方程组有无数解； 综上，当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解． 【点评】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法． 题型六 同解方程组中求字母的值 解题技巧提炼 当两个二元一次方程组同解时，意味着这两个方程组中的方程的解是相同的，所以可以将两个方程组中不含字母参数的两个方程组成新的方程组，求出未知数的值，再将这些值代入含有字母参数的方程组成的方程组中求出字母参数的值． 1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组和有相同的解，则p，q的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意解方程组，把求得的解代入方程组中，即可求得结果． 【解答】解：解方程组，得：， 把代入中，得， 解得：； 故选：D． 【点评】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是本题的关键与难点． 2．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得，分别代入含参数方程，求得参数． 【解答】解：由题意，得 求解得，， 代入得，， 解得， 代入得，， 解得， ∴． 故答案为：0． 【点评】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键． 3．（2023•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解， 求（﹣a）b值． 【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为 ， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8． 【点评】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题． 4．（2023秋•甘州区校级期末）已知方程组和方程组的解相同， 求（2a+b）2024的值． 【分析】由题意可得，解得x，y的值后分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得到关于a，b的方程组，解得a，b的值后代入（2a+b）2024中计算即可． 【解答】解：由题意可得， 解得：， 将分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得， 解得：， 则（2a+b）2024＝（2×1﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1． 【点评】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件列得并求得它的解是解题的关键． 5．（2024春•鲤城区校级月考）若方程组和方程组有相同的解． （1）求方程组正确的解． （2）求a，b的值． 【分析】（1）由题意得，解方程组即可解答． （2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一共关于a、b的方程组求解即可． 【解答】解：（1）∵方程组和方程组有相同的解， ∴， ①+②得3x﹣y+2x+y＝7+8，解得x＝3， 将x＝3代入①得y＝2， ∴方程组的解为． （2）∵方程组和方程组有相同的解， ∴可得新方程组， 解得：， 把，代入，得， 解得． 故a的值是，b的值是． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系． 6．（2023秋•亳州月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求m，n的值； （3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值． 【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3，再化简，即可求出a的值． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得； （2）将代入含有m，n的方程得， 解得； （3）将代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3， 得（3﹣a）×3+（2a+1）×（﹣1）＝3， 解得：a＝1． 【点评】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键． 题型七 二元一次方程组的解的应用 解题技巧提炼 求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤： ①把字母参数看作已知数并解方程组； ②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程； ③解方程组求得字母参数. 1．（2023秋•南海区期末）已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值 是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案． 【解答】解：将方程两式相加得， 4x﹣4y＝8， ∴x﹣y＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题的关键． 2．（2024•沙坪坝区校级开学）已知：|3x﹣y﹣13|+（x+y﹣3）2＝0，则yx的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|3x﹣y﹣13|+（x+y﹣3）2＝0， ∴， ∴x＝4，y＝﹣1， ∴yx＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 3．（2023秋•和平区校级期末）已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值 是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4 【分析】根据②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，再根据5x﹣y＝4，可得4k﹣4＝4，进一步求解即可． 【解答】解：， ②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4， ∵5x﹣y＝4， ∴4k﹣4＝4， 解得k＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是关键． 4．（2024春•鄞州区期中）若是方程x﹣3y＝﹣5的一组解，则2m﹣6n+2024＝　 　． 【分析】将代入x﹣3y＝﹣5可得m﹣3n＝﹣5，从而利用2m﹣6n＝2（m﹣3n）求解即可． 【解答】解：∵是方程x﹣3y＝﹣5的一组解， ∴m﹣3n＝﹣5， ∴2m﹣6n+2024＝2（m﹣3n）+2024＝2×（﹣5）+2024＝2014， 故答案为：2014． 【点评】本题考查二元一次方程的解与整体代换法，理解二元一次方程的解的定义与掌握整体代换法是解题的关键． 5．（2023春·陕西咸阳期中）已知关于的方程和的公共解满足，则 ． 【分析】先将两个二元一次方程组成一个二元一次方程组，用含k的代数式表示x，y的值，然后将x，y的值代入x-y=3得到一个关于k的一元一次方程，解这个方程即可得出k的值. 【解答】解：由题意，得 解得 ∵ ∴(-2k-9)-(-4k-14)=3 解得k=-1 故答案为-1. 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次方程的解法.解题的关键是解二元一次方程组时将k看作一个常数. 6．（2023秋•金牛区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则4x+y的值为 　 　． 【分析】将两方程相加并计算即可． 【解答】解：， ①+②得：4x+y＝4﹣1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 7．（2023春•乐亭县期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了m，得：，则原方程组中a的值为 　 ． 【分析】把李明和王超计算结果代入方程ax+by＝2，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【解答】解：把和代入ax+by＝2得： ， ①﹣②得：5b＝0， 解得b＝0， 把b＝0代入①得：﹣2a＝2， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8．（2024春•新华区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+3y＝1，求m的值． 【分析】把关于x，y的二元一次方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得4x+6y＝5﹣3m，再根据2x+3y＝1，求出m的值即可． 【解答】解：， ①+②得4x+6y＝5﹣3m， 即2（2x+3y）＝5﹣3m， ∵2x+3y＝1， ∴2×1＝5﹣3m， 解得m＝1． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是注意观察所给的方程组的两个方程与2x+3y＝1之间的关系． 9．（2023春•宜丰县校级期中）已知关于x，y的方程组的解为试求的值． 【分析】将代入，得，解二元一次方程组，进一步求解即可． 【解答】解：将代入， 得， 解得， ∴． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，算术平方根，熟练掌握二元一次方程组的解的含义是解题的关键． 10．（2024春•顺河区校级期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为． （1）求出方程组正确的解； （2）计算的值． 【分析】（1）根据题意得到，进而求得m、n值，然后代入原方程组中解方程组即可； （2）将求得的m、n代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得， ∴原方程组为， ①+②得 x＝14， 将x＝14代入①中，得， ∴原方程组的解为； （2）将代入中， ＝1﹣（﹣1）2023 ＝1+1 ＝2． 【点评】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解方程的解满足方程是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$