专题5.7 求二次函数解析式11种类型（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.5 求二次函数解析式11种类型（知识梳理与方法分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】定义型...................................................................1； 【题型2】开放型...................................................................1； 【题型3】平移型...................................................................2； 【题型4】一般式...................................................................2； 【题型5】顶点式...................................................................3； 【题型6】两根式...................................................................3； 【题型7】折叠（对称）型...........................................................3； 【题型8】旋转型...................................................................4； 【题型9】数形结合型...............................................................4; 【题型10】直通中考................................................................5； 【题型11】拓展延伸................................................................6. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】定义型 【例1】（20-21九年级上·安徽滁州·期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求： （1）A，B两点的坐标； （2）抛物线的解析式． 【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（22-23九年级上·北京西城·期中）已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为 ． 【题型2】开放型 【例2】（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 李明：对称轴是直线； 赵鑫：函数的最大值为2； 张强：此函数的图象经过点关于y轴的对称点． 请你根据以上内容写出满足条件的二次函数解析式． 【变式1】（2023·江苏南通·一模）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【题型3】平移型 【例3】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【题型4】一般式 【例4】（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式． 【变式1】（2024九年级下·云南·专题练习）抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【题型5】顶点式 【例5】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 【变式2】（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 【题型6】两根式 【例6】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点为P，若，则a的值是 ． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点； （2）已知二次函数的图象经过点，，． 【题型7】折叠（对称）型 【例7】将抛物线向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ． 【变式1】（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型8】旋转型 【例8】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，，由绕点A顺时针旋转90°而得． （1）直接写出点C的坐标 ； （2）求过A、B、C三点的抛物线解析式． 【变式1】（2020九年级·湖北孝感·学业考试）将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）将抛物线绕原点O旋转，则所得抛物线的解析式为 ． 【题型9】数形结合型 【例9】（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向右平移（）个单位得到另一抛物线，两抛物线相交于点，记的顶点为，作点关于轴的对称点．若四边形是正方形，则经过、、三点的抛物线的解析式是 ． 【变式1】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为 ． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边的中点，连接，点E在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．          第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ． …… …… …… …… 【题型11】拓展延伸 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 【例2】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 求二次函数解析式11种类型（知识梳理与方法分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】定义型...................................................................1； 【题型2】开放型...................................................................3； 【题型3】平移型...................................................................4； 【题型4】一般式...................................................................6； 【题型5】顶点式...................................................................7； 【题型6】两根式...................................................................9； 【题型7】折叠（对称）型..........................................................11； 【题型8】旋转型..................................................................12； 【题型9】数形结合型..............................................................15； 【题型10】直通中考...............................................................19； 【题型11】拓展延伸...............................................................20. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】定义型 【例1】（20-21九年级上·安徽滁州·期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求： （1）A，B两点的坐标； （2）抛物线的解析式． 【答案】（1）A(﹣2，0)，B(2，0)；（2）y＝x2﹣4 【分析】（1）通过解方程mx²﹣4m＝0可得A、B点的坐标； （2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式． 解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(2，0)； （2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m， ∴C（0，﹣4m）， ∵OA＝2， ∴OC＝2OA＝4， ∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1， ∵m＞0， ∴m＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得． 解：∵y关于x的二次函数解析式为， ∴ 解得，， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算． 【变式2】（22-23九年级上·北京西城·期中）已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由函数是二次函数，可得且，从而可得答案． 解：∵函数是二次函数， ∴且， 当时， 解得：，， 综上：， ∴函数解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关键． 【题型2】开放型 【例2】（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 李明：对称轴是直线； 赵鑫：函数的最大值为2； 张强：此函数的图象经过点关于y轴的对称点． 请你根据以上内容写出满足条件的二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的顶点式的运用是解题的关键． 根据题意，可得顶点坐标是，设二次函数的解析式为，运用待定系数法即可求解． 解：∵该二次函数的对称轴是直线，函数的最大值为2， ∴该函数的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， 点关于y轴的对称点是， 将代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 【变式1】（2023·江苏南通·一模）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可； 解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B； ③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A； 对于，其对称轴为：， ∴在，y随x的增大而增大，故排除C； 对于，其对称轴为：， ∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合； 故选：D． 【点拨】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 解：根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： （答案不唯一）． 【题型3】平移型 【例3】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 解：， 将其向左平移3个单位得到： ， 再将向下平移2个单位得到： ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，由题意得出该定弦抛物线过点，，待定系数法求出二次函数解析式为，再根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴该定弦抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为 ， 故选：B． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 【题型4】一般式 【例4】（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，将、、三点代入，得到三元一次方程组，解这个方程组得、、的值，得到抛物线的解析式． 解：由题意得， 解得． 所以这个抛物线的表达式为． 【变式1】（2024九年级下·云南·专题练习）抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和点的坐标代入抛物线解析式，得到关于，的二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法即可得出，的值，进而得出抛物线解析式． 解：将点，代入， 得 解得： 抛物线的解析式为． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 【题型5】顶点式 【例5】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把二次函数解析式设为顶点式，再把代入解析式中求解即可． 解：设该抛物线的解析式为， 把代入中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【变式2】（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用顶点式设，再根据抛物线与 的图象开口大小相同得，代入即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：设这条抛物线解析式为， ∵抛物线与 的图象开口大小相同， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】两根式 【例6】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，将点代入，即可求解． 解：依题意，设二次函数解析式为，将点代入，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点为P，若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 如图，过作于，则，由勾股定理得，，设，则，，则抛物线的交点式为，将代入得，，计算求解即可． 解：如图，过作于，由题意可知， ∴， 由勾股定理得，， 设，则，， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点； （2）已知二次函数的图象经过点，，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式： （1）设所求函数表达式，把代入，即可求解； （2）设所求函数表达式为，把代入，即可求解． （1）解：设所求函数表达式． 根据题意，当时，． ∴．解得． ∴所求表达式为． （2）解：设所求函数表达式为． 根据题意，当时，． ∴． 解得． ∴所求表达式为． 【题型7】折叠（对称）型 【例7】将抛物线向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】先确定抛物线y＝x2﹣2的二次项系数a= 1，顶点坐标为（0，﹣2），向上平移一个单位后（0，﹣1），翻折后二次项系数a= -1，顶点坐标变为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式． 解：抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（0，1）， 因为新抛物线的开口向下， 所以新抛物线的解析式为y＝﹣x2+1． 故答案为：y＝﹣x2+1． 【点拨】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折口开口方向改变，但是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键． 【变式1】（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 解：根据题意，得 翻折后抛物线的解析式的解析式为：． 即． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故选：B． 【题型8】旋转型 【例8】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，，由绕点A顺时针旋转90°而得． （1）直接写出点C的坐标 ； （2）求过A、B、C三点的抛物线解析式． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定： （1）过点C作轴于D，由旋转的性质得到，证明得到，则，即可得到， （2）利用待定系数法求解即可． （1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 由题意得， 解得 ∴抛物线解析式为． 【变式1】（2020九年级·湖北孝感·学业考试）将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求出旋转后的抛物线的解析式，再根据二次函数的图象平移的规律即可得． 解：将抛物线的顶点式为 则其与x轴的交点坐标为，顶点坐标为 点绕坐标原点旋转的坐标变换规律：横、纵坐标均变为相反数 则绕坐标原点旋转后，所得抛物线与x轴的交点坐标为，顶点坐标为 设旋转后所得抛物线为 将点代入得：，解得 即旋转后所得抛物线为 则再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为 即 故选：C． 【点拨】本题考查了点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象平移的规律，熟练掌握坐标旋转变换规律和二次函数的图象平移规律是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）将抛物线绕原点O旋转，则所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】先求得抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质得到旋转后的抛物线的顶点坐标，写出新的抛物线的解析式．掌握旋转只改变图像的位置、不改变图像的形状是解答本题的关键． 解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线绕原点O旋转后的顶点坐标为，且开口方向向上， ∴抛物线绕原点O旋转后的解析式为． 故答案为． 【题型9】数形结合型 【例9】（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向右平移（）个单位得到另一抛物线，两抛物线相交于点，记的顶点为，作点关于轴的对称点．若四边形是正方形，则经过、、三点的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数相似，二次函数的平移，正方形的性质；根据题意得出，代入，进而可得，，求得待定系数法求解析式，即可求解． 解：如图所示，过点作轴于点， 依题意，， ∵四边形是正方形， ∴，则 ∵在上， ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∵点关于轴的对称点为． ∴， 设经过、、三点的抛物线的解析式为，将代入， 解得： ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 【变式1】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】y= 【分析】由正方形的边长为2，求得对角线AC=2，则C点坐标为（，），设此抛物线的解析式为y=ax2，代入点C求得答案即可． 解：∵正方形的边长为2， ∴对角线AC=2， ∴C点坐标为（，）， 设此抛物线的解析式为y=ax2， 则=2a， a=， 抛物线的解析式为y=x2． 故答案为y=x2． 【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，求得点C或A坐标是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边的中点，连接，点E在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．          【答案】 【分析】设抛物线的解析式为，先求出，过点E作轴于点F，证明，得到，求出，利用待定系数法求出二次函数解析式即可． 解：∵为抛物线的对称轴， ∴设抛物线的解析式为， ∵正方形边长为2 ∴， ∵经过和E两点， 过点E作轴于点F，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴和两点代入， 得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识点，数形结合是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ． …… …… …… …… 【答案】 【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案． 解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点代入函数关系式，得： 解得：， ∴函数的表达式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法． 【题型11】拓展延伸 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识；设直线交y轴于点M，过F作轴于N；由可求得与x轴的两个交点坐标，由为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线解析式，联立直线解析式与解析式可求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得的解析式． 解：如图，设直线交y轴于点M，过F作轴于N； 令，解得：， 即， ∴； ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，把A、M的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 联立直线解析式与解析式得， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点F的坐标为， ∴，， ∴点E的坐标为； ∵抛物线由抛物线向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变， ∴， 把点E坐标代入得：， 解得：，， 即或； 当时，，， 即点F不在图像上，不符合题意， ∴， 即． 故答案为：． 【例2】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，先找到抛物线的顶点，然后求得点能到达的最左边的位置点，进而待定系数法求解析式，根据题意新抛物线的开口最大宽度增加了，结合图形，即可求解． 解：当与轴重合时， ∵，， ∴， 设抛物线解析式为 当重合时，则，如图所示，过点作轴于点    又∵的纵坐标为，则， ∴ ∴ 代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 如图所示，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了， 设 ∴，， ∴ 解得：， ∴新的抛物线的顶点坐标为 设新抛物线解析式为， 将点代入， 解得： ∴新的抛物线解析式为 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$