5.1 导数的概念（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

5．1导数的概念 课程标准 学习目标 (1)能结合具体问题情境，计算平均变化率，能通过观察平均变化率的变化趋势，得出瞬时变化率;能用自己的语言解释导数的意义，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. (2)能解释导数的几何意义，初步体会以直代曲的重要思想;能通过求函数在某点的导数，得出函数图象在对应点的切线斜率，会求切线的方程. (3)能通过实例分析，直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限;能结合导数的概念和几何意义，知道函数在一点处的导数是一个特殊的极限值和确定的数;会求简单函数在一点处的导数. (1)通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. (2)体会极限思想. (3)通过函数图象直观理解导数的几何意义. 知识点01 平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【即学即练1】（2024·北京房山·高二统考期末）函数在上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 知识点02 导数的概念 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 2、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 也可称为三步法求导数． 【即学即练2】（2024·河北沧州·高二统考期中）若，则可导函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 知识点03 导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线． 【即学即练3】（2024·北京·高二北京八十中校考期中）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（　　） A．-2 B．3 C．2 D．-3 题型一：函数的平均变化率 【典例1-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量． （3）得平均变化率． 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-3】（2024·高二·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式1-4】（2024·高二·北京海淀·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．2 B． C． D．0 题型二：求瞬时速度 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量． （2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）汽车在笔直公路上行驶，如果表示t时刻的速度，则当d趋近于0时，的意义是（    ） A．表示当时汽车的瞬时加速度 B．表示当时汽车的瞬时速度 C．表示当时汽车的路程变化率 D．表示当时汽车与起点的距离 【变式2-3】（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，则当d趋近于0时，表示（    ） A．时做的功 B．时的速度 C．时的位移 D．时的功率 题型三：求函数在某点处的导数 【典例3-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）利用导数的定义求函数在处的导数． 【方法技巧与总结】 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量． （2）求平均变化率． （3）求极限． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知． (1)求在处的导数； (2)求在处的导数． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数求此函数在和处的导数. 【变式3-3】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）（1）求函数在处的导数； （2）求函数（a、b为常数）的导数． 【变式3-4】（2024·高三·全国·课后作业）利用导数的定义求函数在点x＝2022处的导数． 题型四：求切线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【典例4-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【方法技巧与总结】 求曲线在某点处的切线方程的步骤 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）求曲线上点处的切线方程． 【变式4-3】（2024·高二·全国·随堂练习）求函数在处的切线方程． 【变式4-4】（2024·高二·上海·课后作业）已知，求曲线在点处的切线方程． 题型五：求切点坐标 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 【方法技巧与总结】 求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ． 题型六：利用图象理解导数的几何意义 【典例6-1】（2024·山东日照·高二校联考期末）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【典例6-2】（2024·福建宁德·高二福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式6-1】（2024·北京市第一六一中学高二期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（    ） A．B． C． D． 【变式6-3】（2024·甘肃武威·高二期中）已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：过某点的曲线的切线 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【典例7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【方法技巧与总结】 （1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． （2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 （1）设切点． （2）建立方程． （3）解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式7-1】（2024·高二·全国·课后作业）曲线过点的切线方程是 ． 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知曲线，则曲线C在处的切线方程为 ；曲线C过点的切线方程为 . 【变式7-3】（2024·高二·全国·专题练习）过点作曲线的切线方程为 ． 【变式7-4】（2024·高二·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的条数为 ．直线方程是 ． 题型八：利用定义求导函数 【典例8-1】（2024·高二·上海·课后作业）求下列幂函数的导数，其中： (1)； (2)； (3)； 【典例8-2】（2024·高二·上海·课后作业）用导数的定义求函数的导数． 【方法技巧与总结】 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 【变式8-1】（2024·高二·上海·课后作业）求常数函数的导数． 【变式8-2】（2024·高二·全国·课后作业）用定义求函数的导数． 【变式8-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）若函数， (1)用定义求； (2)求其图象在与轴交点处的切线方程． 【变式8-4】（2024·高二·全国·随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 题型九：导数的几种形式 【典例9-1】（2024·高二·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【典例9-2】（2024·高二·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【方法技巧与总结】 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【变式9-1】（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）已知函数在处的导数为4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式9-2】（2024·高二·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式9-3】（2024·高二·湖北·期中）已知函数在处的导数为6，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式9-4】（2024·高二·天津·期中）已知函数在处的导数为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 1．（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·高二·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（2024·高二·北京·期中）某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·高二·湖北·期中）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·高二·四川成都·阶段练习）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 6．（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 7．（2024·高二·福建莆田·期末）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高二·辽宁·阶段练习）午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 10．（多选题）（2024·高二·江西赣州·期中）如图，直线与曲线，，，均相交，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数，，则函数在上平均变化率的取值可能为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·全国·课后作业）质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 13．（2024·高二·上海·期中）若则 14．（2024·高二·全国·专题练习）曲线过点的切线方程为 . 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 16．（2024·高二·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1导数的概念 课程标准 学习目标 (1)能结合具体问题情境，计算平均变化率，能通过观察平均变化率的变化趋势，得出瞬时变化率;能用自己的语言解释导数的意义，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. (2)能解释导数的几何意义，初步体会以直代曲的重要思想;能通过求函数在某点的导数，得出函数图象在对应点的切线斜率，会求切线的方程. (3)能通过实例分析，直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限;能结合导数的概念和几何意义，知道函数在一点处的导数是一个特殊的极限值和确定的数;会求简单函数在一点处的导数. (1)通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. (2)体会极限思想. (3)通过函数图象直观理解导数的几何意义. 知识点01 平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【即学即练1】（2024·北京房山·高二统考期末）函数在上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得平均变化率为， 故选：C. 知识点02 导数的概念 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 2、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 也可称为三步法求导数． 【即学即练2】（2024·河北沧州·高二统考期中）若，则可导函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由已知可得，， 所以，. 根据导数的概念可知，在处的导数. 故选：A. 知识点03 导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线． 【即学即练3】（2024·北京·高二北京八十中校考期中）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（　　） A．-2 B．3 C．2 D．-3 【答案】B 【解析】因为函数的图像在点P处的切线方程是， 所以， 所以， 故选：B. 题型一：函数的平均变化率 【典例1-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】平均变化率为. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线，AB，BC的斜率分别为，，， 则，，， 由题中图象知，即． 故选：B. 【方法技巧与总结】 求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量． （3）得平均变化率． 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【解析】，则， 即列车运行10秒的平均速度为米/秒. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】当时，， 当时，， 所以函数值的改变量为. 故选：B. 【变式1-3】（2024·高二·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 【变式1-4】（2024·高二·北京海淀·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【解析】因为， 所以. 故选：A. 题型二：求瞬时速度 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题可知时该质点的瞬时速度为 ． 故选：A. 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设在时，气球的半径为，则，则气球的表面积， 因为， 因此时，该气球表面积的增长速度为． 故选：A. 【方法技巧与总结】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量． （2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【解析】由题意可知，， 由导数的物理意义可知， 在4秒末的瞬时速度等于米/秒. 故选：A 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）汽车在笔直公路上行驶，如果表示t时刻的速度，则当d趋近于0时，的意义是（    ） A．表示当时汽车的瞬时加速度 B．表示当时汽车的瞬时速度 C．表示当时汽车的路程变化率 D．表示当时汽车与起点的距离 【答案】A 【解析】由于表示t时刻的速度，由题意可知， 当d趋近于0时， 表示当时汽车的瞬时加速度． 故选：A. 【变式2-3】（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，则当d趋近于0时，表示（    ） A．时做的功 B．时的速度 C．时的位移 D．时的功率 【答案】D 【解析】由题意知当d趋近于0时，表示时的功率． 故选：D. 题型三：求函数在某点处的导数 【典例3-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【解析】（1） ； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则，. 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）利用导数的定义求函数在处的导数． 【解析】由， 则， 则， 所以． 【方法技巧与总结】 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量． （2）求平均变化率． （3）求极限． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知． (1)求在处的导数； (2)求在处的导数． 【解析】（1）因为， 所以，． 故在处的导数等于，即． （2）因为， 所以，． 故在处的导数等于，即． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数求此函数在和处的导数. 【解析】当时，，⒈ 所以. 所以. 所以. 当时，， 所以. 所以. 所以. 【变式3-3】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）（1）求函数在处的导数； （2）求函数（a、b为常数）的导数． 【解析】（1）由题意可知，, 所以， 所以，　　 所以． （2）由题意可知，， 所以． 所以 所以. 【变式3-4】（2024·高三·全国·课后作业）利用导数的定义求函数在点x＝2022处的导数． 【解析】因为， 所以， 所以， 所以. 题型四：求切线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 【典例4-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【解析】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. 【方法技巧与总结】 求曲线在某点处的切线方程的步骤 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 【解析】（1）因为， 所以； （2）点满足曲线，即为直线的切点， 直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则， 因为，所以，解得，所以， 即切点为，切线的斜率为， 故的方程为，即． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）求曲线上点处的切线方程． 【解析】由P在曲线上可得，解得或. 由导数的定义得 . 所以， 故在点处的切线方程为，即. 在点处的切线方程为，即. 【变式4-3】（2024·高二·全国·随堂练习）求函数在处的切线方程． 【解析】因为，所以， 而，则， 所以在处的斜率为， 所以在处的切线方程为，即. 【变式4-4】（2024·高二·上海·课后作业）已知，求曲线在点处的切线方程． 【解析】根据题意，先由导函数定义求曲线在点处切线的斜率： 当时，，从而当h趋近于0时，． 因此，曲线在点处切线的斜率为0． 根据直线的点斜式方程为，即； 于是，所求切线方程为． 题型五：求切点坐标 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 【答案】 【解析】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 【答案】 【解析】， 设曲线与直线相切的切点为， 结合已知条件，得，解得， ∴切点的坐标为. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【解析】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设， 因为， 当时，， 所以，则点P的坐标为或． 故答案为：或. 题型六：利用图象理解导数的几何意义 【典例6-1】（2024·山东日照·高二校联考期末）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【解析】因为切线方程为：，故，且，故 故选：A 【典例6-2】（2024·福建宁德·高二福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图像在点处的切线方程是， 所以，， 得，， 所以， 故选：C 【方法技巧与总结】 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式6-1】（2024·北京市第一六一中学高二期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知， 即. 故选：D 【变式6-2】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢； 当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢． 由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确． 故选：D． 【变式6-3】（2024·甘肃武威·高二期中）已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由导数的几何意义判断斜率大小，可知 故选：C 题型七：过某点的曲线的切线 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【典例7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】 【解析】因为， 又点在曲线上， 所以，∴所求切线的斜率， 故所求切线的方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． （2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 （1）设切点． （2）建立方程． （3）解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式7-1】（2024·高二·全国·课后作业）曲线过点的切线方程是 ． 【答案】或 【解析】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，故， 解得， 所以所求的切线方程为或． 故答案为：或. 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知曲线，则曲线C在处的切线方程为 ；曲线C过点的切线方程为 . 【答案】 或 【解析】将代入曲线C的方程得，所以切点 又，所以 则曲线在点处的切线方程为，即. 设切点为，则，由题意可知 又，则切线方程为，将点代入，得 即，解得或 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即，所以切线方程为或. 【变式7-3】（2024·高二·全国·专题练习）过点作曲线的切线方程为 ． 【答案】或 【解析】， ∵点不在曲线上， ∴点P不是切点．设切点为，则. ∴切线的斜率为. 又∵切线过和两点， 所以. 解得或. ∴过的切线的斜率为或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 【变式7-4】（2024·高二·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的条数为 ．直线方程是 ． 【答案】 2 或 【解析】设的切点的坐标为． 根据导数定义可知，， 因此该切线的斜率，所以该切线的方程为． 又因为该切线过点，所以有， 即，解得或．因此过点 且与曲线相切的直线的条数为2． 将，分别代入曲线的切线方程中，得到切线方程为或． 故答案为：2；或． 题型八：利用定义求导函数 【典例8-1】（2024·高二·上海·课后作业）求下列幂函数的导数，其中： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）当时，， 因此，当h趋近于0时，． （2）当时，， 因此，当h趋近于0时，． （3）当时，， 因此，当h趋近于0时，． 【典例8-2】（2024·高二·上海·课后作业）用导数的定义求函数的导数． 【解析】设， 则， 得， 即函数的导数为. 【方法技巧与总结】 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 【变式8-1】（2024·高二·上海·课后作业）求常数函数的导数． 【解析】记．当时，． 因此当h趋近于0时，． 【变式8-2】（2024·高二·全国·课后作业）用定义求函数的导数． 【解析】函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 【变式8-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）若函数， (1)用定义求； (2)求其图象在与轴交点处的切线方程． 【解析】（1）由导数定义可得， （2）函数的图象与轴有两个交点， 交点坐标分别为，， ∴， ∴在处的切线方程为； 同理，在处的切线方程为． 【变式8-4】（2024·高二·全国·随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 【解析】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. （4）由题意. （5）由题意. （6）由题意. 题型九：导数的几种形式 【典例9-1】（2024·高二·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 故选：B 【典例9-2】（2024·高二·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【解析】. 故选：B. 【方法技巧与总结】 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【变式9-1】（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）已知函数在处的导数为4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】由函数在处的导数为4， 则 . 故选：A. 【变式9-2】（2024·高二·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】由于，则. 故选：C. 【变式9-3】（2024·高二·湖北·期中）已知函数在处的导数为6，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解析】因为函数在处的导数为6， 所以 因此， 故选：A 【变式9-4】（2024·高二·天津·期中）已知函数在处的导数为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【解析】因为， 又函数在处的导数为，所以， 故选：A. 1．（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 2．（2024·高二·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A. 3．（2024·高二·北京·期中）某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大， 结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大， 结合图象可知，故B正确， 故选：B. 4．（2024·高二·湖北·期中）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上为递增函数， 由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率， 所以， 又由斜率的定义可以，表示割线的斜率， 所以， 故选：A. 5．（2024·高二·四川成都·阶段练习）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【解析】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以斜率， 所以. 故选：C 6．（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【解析】因为函数在处的导数为2， 所以， 所以， 故选：D. 7．（2024·高二·福建莆田·期末）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 8．（2024·高二·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 9．（多选题）（2024·高二·辽宁·阶段练习）午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 【答案】AC 【解析】由题意可知；，，， 由图像可知，，即，因此，， 所以，因此，此时，故A正确； 由，可化为，故，故B不正确； 由图像可知，直线与曲线的交点为，，故存在，使得，即当时，，故C正确； 时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由图象可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，速度最快，故D不正确. 故选：AC. 10．（多选题）（2024·高二·江西赣州·期中）如图，直线与曲线，，，均相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】， ， 由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭， 曲线在处比曲线更陡峭， 所以， 所以A，B，D选项正确，C错误， 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数，，则函数在上平均变化率的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由在上平均变化率为， 故表示在上任意一点与连线的斜率， 图象如下： 最大为与连线的斜率，即为； 最小为在处的切线斜率，即； 所以. 故选：BD 12．（2024·高二·全国·课后作业）质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【解析】因为质点在时， ， 则当d趋近于0时，趋近于， 所以质点在时的瞬时速度为． 故答案为：. 13．（2024·高二·上海·期中）若则 【答案】 【解析】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 14．（2024·高二·全国·专题练习）曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 【解析】设，由导函数的定义，可知 ， 不妨设，则点处的切线斜率，切线方程为， 由得， 即，解得或， 所以的横坐标为，所以点处的切线斜率为， 故为定值． 16．（2024·高二·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 【解析】（1）易知，所以割线的斜率， 点处的切线斜率， 所以． （2）点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为，即， 其在轴和轴的截距分别为和， 所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$