专题01 三角形中的边角关系重难点题型专训（16大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 三角形中的边角关系重难点题型专训（16大题型+18道拓展培优） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的分类 题型三 三角形的稳定性 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定第三边的取值范围与应用 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 根据三角形中线求长度 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 三角形的内角和定理 题型十 直角三角形的两个锐角互余 题型十一 三角形的外角的定义及性质 题型十二 三角形角平分线的定义与应用 题型十三 利用网格求三角形面积 题型十四 三角形边角关系中分类讨论问题 题型十五 三角形边角关系中的动点问题 题型十六 三角形边角关系的综合 知识点1：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 知识点2：三角形的分类 按边分类：三角形 按角分类：三角形 知识点3：三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 知识点4：三角形的高、中线与角平分线 (1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点5:三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中. 知识点6：三角形的内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． （2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形． （2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 知识点7：三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． （2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【经典例题二 三角形的分类】 【例2】（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）适合条件的是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 3．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断的形状． 【经典例题三 三角形的稳定性】 【例3】（23-24七年级下·四川眉山·期末）小刚在学习“三角形的基本性质”后，在知识积累本上写了以下四条认识，其中错误的一项为（　　） A．三角形具有稳定性 B．三角形外角和为360° C．三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 D．三角形的一个外角等于两个内角之和 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上 根木条． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【经典例题四 构成三角形的条件】 【例4】（24-25八年级上·天津河西·期中）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期中）现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整． 问题提出： 在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在1~5这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在1~6这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法． 请继续探究并直接填写答案： （3）在1~7这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有_________种取法． （4）在1~8这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有_________种取法． …… 经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案： ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？ 根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有________________种取法． ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论． 新知运用： 某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为1~20分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有________________种． 问题拓展： 各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案． 【经典例题五 确定第三边的取值范围与应用】 【例5】（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．” 小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．” 【问题解决】 (1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程． (2)请你用含c的代数式表示b，________． (3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，是的角平分线，是的高，，，为边上一点．当为直角三角形时，的度数为 ． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【经典例题七 根据三角形中线求长度】 【例7】（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，在中，既是的高，也是的中线，且，若点P在边上移动，则的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，点在边上． (1)若， ，求的度数； (2)若，为的中线，的周长与的周长之比为，求的周长． 【经典例题八 根据三角形中线求面积】 【例8】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，已知D，E，F分别为，，的中点．若的面积是8，则的面积是（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【经典例题九 三角形的内角和定理】 【例9】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）在中，，，平分交于，，交于，则的大小是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为______ (2)在平面内，点E是平面内一点，连接． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【经典例题十 直角三角形的两个锐角互余】 【例10】（2023春·山东聊城·七年级统考期末）如图，已知，的两个顶点，分别在直线，上，，交于点，若平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）如下图，用一块含角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则∠1的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，已知，，，，， ．    3．（2023秋·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，． （1）则的度数为 ； （2）若中有两个角相等，则 ．    4．（2023秋·全国·八年级课堂例题）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【经典例题十一 三角形的外角的定义及性质】 【例11】（2023春·河南洛阳·七年级统考阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，平分．若，则（　　）    A． B． C． D． 1．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，的角平分线，交于点F，，，且于点G，则有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，在中，．与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线相交于点，得．    （1）与之间的数量关系为 ． （2）若的度数为整数，则n的值最大为 ． 3．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）已知：如图，的两个外角的平分线交于点P，如果，则 ．    4．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图1，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样图形叫做“规形图”，    (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2；把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，，则____°； ②如图3，平分平分，若，请用含α和β的式子表示的度数． 【经典例题十二 三角形角平分线的定义与应用】 【例12】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    3．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，已知，、两点分别是边、上的两动点，、分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，作的角平分线交射线于点，求的度数；    (3)如图，、为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与、的关系．    【经典例题十三 利用网格求三角形面积】 【例13】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（    ）个      A．1 B．2 C．4 D．6 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      3．（2023春·九年级单元测试）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，则CE的长为 ． 4．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．    (1)画出向右平移4个单位后得到的； (2)连接，，则这两条线的关系是______； (3)画出的边上的中线，并求的面积． 【经典例题十四 三角形边角关系中分类讨论问题】 【例14】（24-25八年级上·福建莆田·期中）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．完成以下问题：    (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； ②若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； (2)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请求出的度数． 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． (1)如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； (2)是“友好三角形”，，求的度数； (3)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1)________． (2)若，求证：为“智慧三角形”． (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【经典例题十五 三角形边角关系中的动点问题】 【例15】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，设，，． (1)如图1，若点在线段上，且，求的度数； (2)若点在线段延长线上，请借助图2，探究，与之间的关系，并说明理由． 1．（23-24七年级下·全国·期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点是折线的“折中点”的一种情形，请解答以下问题： 基本要求 (1)当时，点在线段 上； (2)若为线段中点，，，求的长度．分两种情形 若在上，则 若在上，则 (3)能力提升 若，，若，有一动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，设运动时间是； 求当为何值，三角形的面积为？ 若动点从点出发的同时，动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，当一点到达终点时另一点同时停止，是否存在的值，使得． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【经典例题十六 三角形边角关系的综合】 【例16】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 2．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和是，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)初步应用：如图2，在纸片中剪去得到四边形ABDE，，则________． (3)如图3，在中，分别平分外角，，则与有何数量关系？ (4)如图4，在四边形中，分别平分外角，则∠P与，有何数量关系？（直接写出，不需说明理由．） 3．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·三模）两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图所示，在△中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 7．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）已知中，为边上的高，，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，分别是，，的对边，将这三条边上的高依次记为，，． （1）当，，时， ． （2）当，时，的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习） 如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数； (2)证明：． 12．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的角平分线时，若，求的度数． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 14．（23-24七年级下·山西太原·期末）综合与实践 问题背景： 活动课上，小彬利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究．他先在笔记本的平行格线上画了一条直线分别交两条粗一点的格线于点A，B，点C在格线上且在点B的右侧，D是直线上的动点，且不与点A，B重合，直线与格线的一个夹角为． 初步感知： （1）如图1，当点D在线段上，若，时，则的度数为_______． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，的度数为_______（用含的代数式表示）． 探索发现： （3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，求α与的数量关系． 拓展延伸： （4）如图4，分别作和的平分线相交于点E，求的度数（用含的代数式表示）． 15．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F右侧时，若，求β的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的边角关系重难点题型专训（16大题型+18道拓展培优） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的分类 题型三 三角形的稳定性 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定第三边的取值范围与应用 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 根据三角形中线求长度 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 三角形的内角和定理 题型十 直角三角形的两个锐角互余 题型十一 三角形的外角的定义及性质 题型十二 三角形角平分线的定义与应用 题型十三 利用网格求三角形面积 题型十四 三角形边角关系中分类讨论问题 题型十五 三角形边角关系中的动点问题 题型十六 三角形边角关系的综合 知识点1：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 知识点2：三角形的分类 按边分类：三角形 按角分类：三角形 知识点3：三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 知识点4：三角形的高、中线与角平分线 (1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点5:三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中. 知识点6：三角形的内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． （2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形． （2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 知识点7：三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． （2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【详解】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 【经典例题二 三角形的分类】 【例2】（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）适合条件的是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和为．此题隐含的条件是三角形的内角和为，列方程，根据题中角的关系求解，再判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴为直角三角形. 故选：B. 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的定义，根据已知条件，熟练运用三角形内角和定理进行求解判定是解题的关键．根据已知条件，结合三角形内角和定理，如果有一个角是，则可确定为直角三角形． 【详解】解：①∵ ， ∴， ∵， ∴，故可确定为直角三角形； ②∵，， ∴， 解得： ， 则，故不能确定为直角三角形； ③， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ④∵，， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 故不能确定为直角三角形． 综上，能确定为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 2．（23-24八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①②为等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三角关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵三角形的周长为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 【经典例题三 三角形的稳定性】 【例3】（23-24七年级下·四川眉山·期末）小刚在学习“三角形的基本性质”后，在知识积累本上写了以下四条认识，其中错误的一项为（　　） A．三角形具有稳定性 B．三角形外角和为360° C．三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 D．三角形的一个外角等于两个内角之和 【答案】D 【分析】根据三角形的性质逐一作答即可． 【详解】A、因为三角形具有稳定性，所以此说法正确，不符合题意； B、三角形外角和为360°，所以此说法正确，不符合题意； C、三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，此说法正确，不符合题意； D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查三角形的特点、特性及三角形的内角定理及其外角的性质，解题关键在于掌握各性质定义. 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上 根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 3．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【经典例题四 构成三角形的条件】 【例4】（24-25八年级上·天津河西·期中）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键． 根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、∵，∴，，能构成三角形； B、∵，∴，，能构成三角形； C、∵，∴，，能构成三角形； D、∵，∴，，不能构成三角形． 故选：D． 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期中）现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，先设第三根木棒长为，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长度为， 由题意得：， 即， 只有A选项不在范围内， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边的关系，小豫只能锯木条，因为组成三角形的任意两边之和大于第三边,分别锯成,或者,或者,或者． 【详解】解：填表如下： 三角形 a边 b边 c边 1 6 6 8 2 7 5 8 3 8 4 8 4 9 3 8 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整． 问题提出： 在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在1~5这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在1~6这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法． 请继续探究并直接填写答案： （3）在1~7这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有_________种取法． （4）在1~8这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有_________种取法． …… 经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案： ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？ 根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有________________种取法． ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论． 新知运用： 某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为1~20分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有________________种． 问题拓展： 各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案． 【答案】（3）12 （4）16 ①；② 新知运用：100 问题拓展：42 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，三角形的三边的数量关系，理解题目中数数量关系，找出规律是解题的关键． （3）根据材料提示的方法进行列举即可求解； （4）根据材料提示的方法进行列举即可求解； ①由上述材料总结可得当为奇数时，取法有； ②由上述材料总结可得当为偶数时，取法有； 新知运用：把代入即可求解； 问题拓展：把代入，结合三角形三边数量关系分类讨论即可求解． 【详解】解：（3）∵（1）中从这个自然中，每次取两个数，两数之和大于的取法有种，（2）中从这个自然数中，每次取两个数，两数之和大于的取法有种， ∴从这个自然中，每次取两个，两数之和大于的取法有：，，，，，，共12种， 故答案为：； （4）从这个自然数中，每次取两个数，两数之和大于的取法有：，，共16中， 故答案为：； ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n， 取法为：， ∴共有种取法； ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n， 取法有：， ∴共有种取法； 新知运用： 一共有20个小题，即为偶数， ∴可能性共有种； 问题拓展： 第一种情，当不是等腰三角形时，三角形各边都是整数，最大边为12，即从这12个自然数中，取两个数，根据三角形三角形三边数量关系，取出的两个数的和要大于12，即为偶数， ∴共有种； 第二种情况，当是等腰三角形时，取法有：，共6种； ∴（种）， ∴各边长都是整数，最大边为12的三角形有42种． 【经典例题五 确定第三边的取值范围与应用】 【例5】（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边长为，然后再利用三边关系列出不等式组，进而可得答案． 【详解】解：∵，，是某三角形的三边长， ∴， 即：， ∴可取的最大整数为 故选：C． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组．先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可得到答案． 【详解】解：由点在数轴上的位置得：， ∵线段能围成三角形， ∴由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：， 由不等式③得：， ∴不等式组的解集是， 观察四个选项，只有C选项符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为 ． 【答案】4或6 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解题时还要注意题目的要求，要按题意解题． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．又因为c为偶数，从而可得答案． 【详解】解：∵如果三条线段、、，可组成三角形，且，， ∴， 又∵c为偶数， ∴c的值为4或6． 故答案为：4或6． 3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．” 小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．” 【问题解决】 (1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程． (2)请你用含c的代数式表示b，________． (3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及非负数的性质、一元一次不等式的应用等知识，根据三角形三边关系得出不等式是解题关键． (1)利用偶次方以及绝对值的性质化简求出即可； (2)利用进而求出即可； (3)利用三角形三边关系分别得出即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：， ． （3）解：由三角形的三边关系，得， ． ， 解得． 又， ，即． 解得． ． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的角平分线、高，由平分，可得，由，，可求得的度数，在中利用三角形内角和可求得答案．求得的度数是解题的关键． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 故选：B． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，是的角平分线，是的高，，，为边上一点．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图，当时，    同理可得， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 【经典例题七 根据三角形中线求长度】 【例7】（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，在中，既是的高，也是的中线，且，若点P在边上移动，则的最小值是 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握垂线段最短，面积法求三角形的高，是解决问题的关键． 根据垂线段最短，得到时，最小．利用面积法即可求出此时的长． 【详解】∵在中，既是的高，也是的中线，且， ∴， 当的值最小时，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，点在边上． (1)若， ，求的度数； (2)若，为的中线，的周长与的周长之比为，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为． 【分析】（）利用外角性质得出，再用三角形的内角和即可求解； （）由，得，再根据三角形中线得性质得出，则，然后代入即可求解； 本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，中线，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的周长为，的周长为， ∵的周长与的周长之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【经典例题八 根据三角形中线求面积】 【例8】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，已知D，E，F分别为，，的中点．若的面积是8，则的面积是（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的等积变换，由点是的中点，得到由点是的中点，得到，，进一步得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵ 即阴影部分的面积为． 故选：A． 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查图形面积间的等积代换，解答此题的关键是先连接，然后根据三角形面积和线段间比的关系进行分析，进而得出结论． 连接，由，得的面积的面积，的面积的面积．由，得的面积的面积，因此的面积的面积的面积；的面积的面积、进而可求阴影部分面积等于的面积的面积． 【详解】解∶连接， ， 的面积的面积， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积的面积； 的面积的面积， 的面积， 阴影部分面积等于的面积的面积； 故答案为：12． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 【经典例题九 三角形的内角和定理】 【例9】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）在中，，，平分交于，，交于，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的性质．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理求出再分类讨论的直角，最后根据三角形的内角和定理得结论，掌握“三角形的内角和是”，“直角三角形的两个锐角互余”是解决本题的关键. 【详解】解：在中， ∵, , ∴， ∵为直角三角形， （1）当时,如图： ， （2）当时,如图： , ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用角平分线的定义可得，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ． ∵， ，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为______ (2)在平面内，点E是平面内一点，连接． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得的度数； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得： ， 解得， 的4系补周角的度数为， 故答案为：70； （2）解：①过作，如图1， ， ， ， ∵， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②如图2，当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角， 过点作，过点作，如图2， ， ，， ，，，， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ∵ ，（其中n为常数且）， ， ， ， ， 是的系补周角， 此时，． 【经典例题十 直角三角形的两个锐角互余】 【例10】（2023春·山东聊城·七年级统考期末）如图，已知，的两个顶点，分别在直线，上，，交于点，若平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得，由角平分线的定义知，结合直角三角形中的两个锐角互余求解 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选∶D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补． 1．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）如下图，用一块含角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则∠1的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，再求得，最后根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，已知，，，，， ．    【答案】/度 【分析】根据已知条件，可得，，根据平行线的性质可得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2023秋·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，． （1）则的度数为 ； （2）若中有两个角相等，则 ．    【答案】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 即， 又∵， 故， 解得：， 故答案为：． （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， 当，即， 解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 4．（2023秋·全国·八年级课堂例题）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案； （2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ； （2）由（1）可知，， ∴当时， ∴； （3）∵，而， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【经典例题十一 三角形的外角的定义及性质】 【例11】（2023春·河南洛阳·七年级统考阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，平分．若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，那么．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，，那么．欲求，需求．由三角形内角和定理得．由平分，平分，得，，那么．由，得，从而解决此题． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由题意得：． ∴． ∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】点评：本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键． 1．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，的角平分线，交于点F，，，且于点G，则有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，结合角平分线定义可得，①正确；根据角平分线定义可得，，然后利用三角形外角的性质即可求出，②正确；由于条件不足，无法得出平分，③错误；根据直角三角形两锐角互余可得，根据平行线的性质可得，即，结合角平分线的定义可得，④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，①正确； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，②正确； ③∵，而与不一定相等， ∴不一定平分，③错误； ④∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∵，且， ∴，即， ∴，④正确． 综上，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、角平分线定义、平行线的性质、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解答此题的关键． 2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，在中，．与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线相交于点，得．    （1）与之间的数量关系为 ． （2）若的度数为整数，则n的值最大为 ． 【答案】 6 【分析】（1）根据三角形的外角的性和角平分线的定义得到同理可得，……，即可得到； （2）由的度数为整数，，，即可得到n的值最大． 【详解】（1）由三角形的外角性质得，， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； 同理可得， 即， …… 则可得到， 故答案为： （2）∵ ∴， ∵的度数为整数，， ∴n的值最大为6， 故答案为：6 【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 3．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）已知：如图，的两个外角的平分线交于点P，如果，则 ．    【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】， ， ， 、是的外角平分线， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 4．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图1，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样图形叫做“规形图”，    (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2；把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，，则____°； ②如图3，平分平分，若，请用含α和β的式子表示的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①36；② 【分析】（1）连接并延长，用两次三角形的外角定理即可． （2）①依据（1）中的结论即可解决问题． ②依据（1）中的结论，结合整体思想即可解决问题． 【详解】（1）解：． 连接并延长到点E，    ∵是的外角， ∴． 同理，， 则． 又， ∴． （2）①由（1）中的结论可知：． 又， ∴． 故答案为：36．    ②由（1）中的结论可知：， 则． 又平分平分， ∴． 则． 又， ∴． 即． 又， 所以．    【点睛】本题考查三角形内角和定理，巧妙的利用三角形和外角定理及整体思想是解题的关键． 【经典例题十二 三角形角平分线的定义与应用】 【例12】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中线的性质可得，由角平分线的定义可得；由是的高，可得． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A说法正确； ∵是角平分线， ∴，故B说法正确； ∵是的高， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∴ ，故C说法正确； ∵，， 且BD≠CD， ∴，故D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握以上性质是解题的关键． 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据角平分线的定义可知，，，再根据三角形外角的性质可得，，从而可得，再进行求解即可． 【详解】解：如图，设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴，即, ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 2．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 3．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴；故②正确， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确， 综上正确的有：①②④． 【点睛】此题考查了三角形内角和性质和外角和的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，已知，、两点分别是边、上的两动点，、分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，作的角平分线交射线于点，求的度数；    (3)如图，、为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与、的关系．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设,根据是的外角可得；又因为是的外角得到即可解答； （2）根据均为的外角，可得,再由平分的角平分线，所以即可求解； （3）设，由内角和定理，则；同理，得到，从而；根据三角形内角和定理和折叠的性质以及邻补角的定义可得，由内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：设, ∵分别平分， ∴, ∵是的外角， ∴， ∵,即, ∴, 又∵是的外角， ∴，即， ∴, ∴当时，． （2）解：∵均为的外角， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵平分的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的定义等知识点，理解题意、灵活运用相关知识是解答本题的关键． 【经典例题十三 利用网格求三角形面积】 【例13】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（    ）个      A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式画出使，，然后过点作的平行线可确定满足条件的点个数． 【详解】解：如图，满足条件的点有6个．      故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高． 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形的面积求出点C到的距离，再判断出点C的位置即可． 【详解】解：∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 故选：C．    【点睛】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到的距离为2是解题的关键． 2．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      【答案】21 【分析】利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了在方格中求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握格点的特点，注意运用割补法． 3．（2023春·九年级单元测试）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，则CE的长为 ． 【答案】/ 【分析】取网格点M、N，先利用割补法求得，再根据，即可求解． 【详解】取网格点M、N，如图， 结合网格，利用割补法，可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求解网格图中线段长度的问题，利用割补法求出，并得到，是解答本题的关键． 4．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．    (1)画出向右平移4个单位后得到的； (2)连接，，则这两条线的关系是______； (3)画出的边上的中线，并求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)4，见解析 【分析】（1）将点三点分别向右平移4个单位，得,顺次连接得即为所求； （2）由平移知， （3）如图，连接格点，交于点D，由网格图知，点D即为中点，可求，于是． 【详解】（1）解：将点三点分别向右平移4个单位，得,顺次连接得即为所求；    （2）解：由平移知，且    （3）解：如图，连接格点，交于点D，则点D即为中点，连接, ∴．    【点睛】本题考查图形平移，网格图中面积求解；运用网格图的特点确定中点是解题的关键. 【经典例题十四 三角形边角关系中分类讨论问题】 【例14】（24-25八年级上·福建莆田·期中）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．完成以下问题：    (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； ②若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； (2)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)①；②或 (2)或或 【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； ②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解； （3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案． 【详解】（1）①∵是“奇妙互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； （2）解：当P在线段上时，如图：   ，，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图：    ∵， ∴． 当时， ∵， ∴； 当时， ∵，则， ∴． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P的位置是解题的关键． （1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间路程速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）当P在上时，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵的周长为， ∵把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴当时，把的周长分成相等的两部分， 故答案为：； （2）当把的面积分成相等的两部分时， 点P为的中点， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当时，把的面积分成相等的两部分时； （3）当P在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． (1)如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； (2)是“友好三角形”，，求的度数； (3)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理求出，，再利用“友好三角形”的定义解答即可； （2）根据“友好三角形”的定义分为和两种情况讨论，根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意推出，根据“友好三角形”的定义分为六种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是“友好三角形”， 与互为“友好角”，， ， ， ， ， ，， 于， ， 在中，， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 在中，， ， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 和都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”，， 与(或)互为“友好角”， 若，则， ， ， ， ， 若，则， ， ； 综上所述，的度数为或； （3）点在边上，不与点，重合， ， ， ， 是“友好三角形”， ①当时， ， ， ； ②当时，（不合题意舍去）， ③当时，， （不合题意舍去）； ④当时，，（不合题意舍去）； ⑤当时，，，符合题意， ； ⑥当时，， ， （不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1)________． (2)若，求证：为“智慧三角形”． (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或或或 【分析】（）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）求出的度数，得到，据此即可求证； （）由可得，再分、、、、和六种情况解答即可求解； 本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）证明：∵，， ， ， 为“智慧三角形”； （3）解：∵， ， ∵为“智慧三角形”， ①、当时，， ； ②、当时，， ∵， ∴此种情况不存在； ③、当时， 则， ， ； ④、当时，， ， ； ⑤、当时，， ； ⑥、当时， 则， ， ∴此种情况不存在； 综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 【经典例题十五 三角形边角关系中的动点问题】 【例15】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，设，，． (1)如图1，若点在线段上，且，求的度数； (2)若点在线段延长线上，请借助图2，探究，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和定理得到，根据平角的概念得到，进而利用代入求解即可； （2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：由图2得，，理由如下： 如图2，设交于点， ∵，， ∴． 1．（23-24七年级下·全国·期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点是折线的“折中点”的一种情形，请解答以下问题： 基本要求 (1)当时，点在线段 上； (2)若为线段中点，，，求的长度．分两种情形 若在上，则 若在上，则 (3)能力提升 若，，若，有一动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，设运动时间是； 求当为何值，三角形的面积为？ 若动点从点出发的同时，动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，当一点到达终点时另一点同时停止，是否存在的值，使得． 【答案】(1) (2)①；② (3)①5或14；②存在；或 【分析】（1）根据图形以及阅读材料所给的信息直接填空即可； （2）①根据为线段中点，，得出，根据折中点的定义得出，最后求出结果即可； ②根据为线段中点，，得出，求出，根据折中点的定义得出，最后求出结果即可； （3）①分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别列出关于t 方程，解方程即可； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别根据，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据线段可知：当时，点在线段上； （2）解：①当点在上时，如图所示： ∵为线段中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为“折中点”， ∴， ∴； ②当点在上时，如图所示： ∵为线段中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为“折中点”， ∴， ∴； （3）解：当点在上运动时，如图所示： 根据题意得：， ∵， ∴， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：； 当点在上运动时，如图所示： ， 此时，， ∴， ∴， 解得：； 故当的值为或时，三角形的面积为； ， 当时，，， 由题意得：， 解得： 当时，，， 由题意得：， 解得：不合题意，舍去； 当时，，， 由题意得：， 解得：； 故当为或时，使得 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，三角形面积的计算，线段的和差计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】本题考查三角形中的动点问题，三角形的中线，通过点P运动到不同位置所满足的条件，确定点P的位置，然后计算出运动的时间t，其中，分析周长平分以及的面积为具体的数值时点P所处的位置特点是解题的关键． （1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求得t； （2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴的周长， 当把的周长分成相等的两部分时， 点P运动的路程的周长， 即， 解得， ∴当秒时，把的周长分成相等的两部分； （2）∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半， 当点为边的中点时，即， 则， ∴点P的运动的路程， 即， 解得， 当点P是中点时，此时，； 综上所述，满足条件的t的值为或2． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点P在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， 图1， ， ，． ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点P在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 【经典例题十六 三角形边角关系的综合】 【例16】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）当两种情况画图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与相交于点G， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴； 如图，设直线交于点G， ， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 【答案】（1），理由见解析；（2）图见解析，或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （2）画出符合条件的图形，根据图形和（1）的结论解答即可． 【详解】解：（1）结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （2）如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 2．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和是，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)初步应用：如图2，在纸片中剪去得到四边形ABDE，，则________． (3)如图3，在中，分别平分外角，，则与有何数量关系？ (4)如图4，在四边形中，分别平分外角，则∠P与，有何数量关系？（直接写出，不需说明理由．） 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理计算； （2）根据三角形内角和定理计算； （3）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （4）延长线段、线段交于点，根据（2）、（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：数量关系：， 理由： 与 分别为 的两个外角， ．， ， 三角形的内角和为， ， ； （2）解：由（1）得，， ， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， 、分别平分外角、， ，， ； （4）数量关系：， 理由：如图4，延长线段、线段交于点， 由（3）可知，， ， 由（1）可知，， ， ． 3．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得的值，进而结合三角形角平分线的定义可知，根据是的高，可知，进而解得的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高，即， ∴， ∴． 故答案为：C． 3．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及平行公理的应用，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．过点作，可得，可得，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：． 4．（2024·安徽合肥·三模）两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，根据平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角的性质得到．掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的大小为． 故选：B． 5．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④；⑤由④得，，由平行线的性质得，继而得到，可判断结论⑤，即可得解． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤由④得，， ∵， ∴， ∴，故结论⑤不正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平角的定义，解题的关键是三角形外角性质的应用． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图所示，在△中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：12． 7．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）已知中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．分两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论， ①如图1， ∵，，， ∴， ∴； ②如图2， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，分别是，，的对边，将这三条边上的高依次记为，，． （1）当，，时， ． （2）当，时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的三边关系； （1）根据等面积法即可求解； （2）根据三角形的三边关系得出两个不等式，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； 故答案为：． （2）∵，设， ∴ 即 ∵， ∴，即， ∵，同理可得 ∴，即 ∴ 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用角平分线的定义可得，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ． ∵， ，， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，根据三角形外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可； （）根据三角形内角和先得到，再根据角平分线的定义得到，再根据内角和定理以及对顶角的性质求出，继而利用直角三角形两锐角互余即可证得结论； 本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习） 如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的角平分线时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质． （1）利用三角形中线定义及三角形面积求出长； （2）利用三角形内角和先求，再用外角性质和直角三角形性质求出． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 14．（23-24七年级下·山西太原·期末）综合与实践 问题背景： 活动课上，小彬利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究．他先在笔记本的平行格线上画了一条直线分别交两条粗一点的格线于点A，B，点C在格线上且在点B的右侧，D是直线上的动点，且不与点A，B重合，直线与格线的一个夹角为． 初步感知： （1）如图1，当点D在线段上，若，时，则的度数为_______． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，的度数为_______（用含的代数式表示）． 探索发现： （3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，求α与的数量关系． 拓展延伸： （4）如图4，分别作和的平分线相交于点E，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质； （1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （3）证明，再利用三角形的外角的性质可得结论； （4）证明，求解，结合角平分线与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵，， ∴； （4）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 15．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F右侧时，若，求β的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或，证明见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义： （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题．②根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下：   ∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴； （2）解：①如图2中，    ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②猜想：或，证明如下： 当点G在F的右侧时，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当点G在F的左侧时，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$