第1部分 专题3 高考新动向(3) 带电粒子在立体空间中的运动（word教参）-【创新教程】2025年高考物理大二轮专题增分方案

对应学生用书　P57 带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解． 常见粒子在立体空间的运动轨迹特点，粒子的运动为一个轴方向的直线运动和垂直轴的平面中的曲线运动，或粒子从一个平面的曲线运动变换到另一个平面的曲线运动． [例1]　(2024·山东泰安市统考二模)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场．现从空间中坐标为(－d,0,0)的M点发射一质量为m，电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧．其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足＝，不计粒子的重力．求： (1)在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R1； (2)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小v； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标； (4)粒子第2、第3两次经过yOz平面的位置间的距离． [解析]　(1)根据几何关系有R1sin 60°＝d，解得R1＝d. (2)根据运动的合成有v＝，v1＝a，qE＝ma， 根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m，T＝＝，联立解得v＝2v0， (3)在yOz平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍然为R1，粒子第2次经过yOz平面时的坐标[0，－，2R1]， Δy＝a2， 由于＝，解得Δy＝πd， 粒子第2次经过yOz平面时的坐标 [0，－，d]． (4)粒子再次进入yOz平面左侧，其速度大小变为2v0，与y轴负方向夹角30°，开始在z＝d的平面内匀速圆周运动，有q×2v0B＝m，R2＝2R1， 根据几何关系，粒子第2次、第3次经过yOz平面的交点间的距离为l＝2R2cos 60°＝2R1，解得l＝d. [答案]　(1)d　(2)2v0 (3)[0，－，d]　(4)d [例2]　(2024·湖南卷，15)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左、右端面圆心O′、O处各开有一小孔．以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立O­xyz坐标系．在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向．一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0.已知电子的质量为m、电荷量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力．求： (1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； (2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； (3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移． [解析]　(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L＝v0t， 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知Bevy＝m，可得R＝，且T＝＝， 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 t＝nT(n＝1,2,3，…)， 联立得B＝，当n＝1时，B有最小值，可得Bmin＝. (2)如图所示，tan θ＝， 当tan θ有最大值时，vy最大，R最大，此时R＝r， 又B＝，R＝， 联立可得vym＝，tan θ＝， (3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，根据匀变速直线运动规律有ym＝，由牛顿第二定律知a＝， 又vym＝，联立得ym＝. [答案]　(1)　(2)　(3) 1．(2024·福建泉州市模拟)如图所示的空间直角坐标系O­xyz中，有一棱长为L的立方体区域，该区域内(含边界)分布有沿y轴负方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以初速度v0从a点沿x轴正方向进入电场区域，恰能从d′点离开． (1)求电场强度的大小E； (2)若在该区域再加一个沿y轴正方向的匀强磁场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域，之后从Ob′之间某点离开，求磁感应强度的大小B和离开该区域时的速度大小v1. 解析：(1)设粒子在电场中运动的加速度大小为a，运动时间为t1，则L＝v0t1，L＝at，Eq＝ma， 解得E＝. (2)粒子在复合场中的运动，可分解为沿y轴负方向的匀加速直线运动和沿平行于xOz平面的匀速圆周运动，由“粒子从Ob′之间某点离开”可知，粒子在平行xOz平面内的运动轨迹为二分之一圆周，由运动的等时性，其运动时间仍为 t1＝，t1＝，T＝，解得B＝， 根据动能定理可得qEL＝mv－mv， 解得v1＝v0. 答案：(1)　(2)　v0 2．(2024·山东青岛市三模)如图，在空间建立O­xyz三维直角坐标系，其中x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外，在x＝a处平行于yOz平面固定一足够大荧光屏M，在yOz平面左侧空间有方向竖直向下、电场强度为E1的匀强电场；x轴上的A点(－2a,0,0)有一粒子源，粒子源在xOy平面内沿与x轴成一定角度射出带电粒子，粒子的速度大小为v0，质量为m，带电荷量为＋q.经过一段时间，粒子从y轴上C点(0,3a,0)垂直y轴进入yOz平面与荧光屏之间的空间，该空间内有方向沿z轴正方向、磁感应强度大小为B＝的匀强磁场(图中未画出)，不计粒子重力． (1)求yOz平面左侧匀强电场的电场强度大小E1； (2)求粒子从A点射出到打到荧光屏上所经历的时间t； (3)若在yOz平面与荧光屏之间的空间再加上一沿z轴正方向、电场强度大小为E0的匀强电场，求粒子最终打在荧光屏上的P点时的位置坐标． 解析：(1)将粒子的速度v0分解为沿x轴方向的分速度v0x和沿y轴方向的分速度 v0y，根据题意可得，在沿x轴方向上有v0xt1＝2a， 沿y轴方向上有v0yt1＝3a， 则＝＝tan θ，即θ＝60°， 可得v0y＝v0， 又由qE1＝ma1得a1＝，又有v＝2a1·3a， 联立可得E1＝； (2)粒子沿x轴方向的分速度为v0x＝v0， 在沿x轴方向有2a＝v0xt1，解得t1＝， 粒子带正电，由左手定则可知，粒子沿y轴负方向偏转，设偏转角为α， 由qv0xB＝可得r＝2a， 由几何关系可得sin α＝＝，则α＝30°， 粒子在磁场中运动时间t2＝T， 又由T＝＝，解得t2＝＝， 粒子从A点射出到打到荧光屏上所经历的时间 t＝t1＋t2＝＋＝； (3)在y轴方向上由几何关系可得y轴坐标为 y＝3a－(2a－a)＝(1＋)a 在沿z轴正方向上的位移大小 z＝×t＝ 故粒子打到屏上的位置坐标是(a，(1＋)a，)． 答案：(1)　(2) (3)(a，(1＋)a，) 3．(2024·天津市市区重点中学二模)如图所示，一些质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从一线状粒子源射出(初速度可视为0)经过电压为U的电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS段垂直射出(S为MF中点)，进入棱长为L的正方体电磁修正区内(内部有垂直面MPRG的方向如图、大小未知的匀强磁场与匀强电场)．距离正方体底部 L处有一与RNAG平行的足够大平板．现以正方体底面中心O在平板的垂直投影点为原点，在平板内建立直角坐标系(其中x轴与GR平行)．所有带电粒子都从正方体底面离开，且从M点进入正方体的粒子在正方体中运动的时间为.不计粒子重力． (1)求粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时速度的大小； (2)粒子射出正方体电磁修正区后到达平板所需时间； (3)若满足关系式E＝，求从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标．(结果用L表示) 解析：(1)设粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时的速度的大小为v， 根据动能定理有qU＝mv2，解得v＝ ； (2)在正方体中，粒子在平行于MPRG平面方向的分运动为匀速圆周运动，在垂直于MPRG平面方向的分运动为匀加速直线运动，设粒子圆周分运动的周期为T，根据牛顿第二定律有qvB＝m， 又T＝，解得T＝＝； 从M点进入正方体的粒子在正方体中运动的时间为t1＝＝，所以粒子圆周分运动转过的圆心角为120°，根据几何关系可知粒子离开正方体时的速度在垂直于平板方向的分量大小为v2＝vcos 30°， 离开正方体后粒子做匀速直线运动，到达平板所需时间为t2＝，联立解得t2＝2L ； (3)设粒子在正方体中圆周分运动的半径为R，根据几何关系有R＋Rcos 60°＝L，解得R＝L， 粒子在正方体中做匀加速直线分运动的加速度大小为a＝＝ ， 粒子在正方体中在y方向的位移大小为 y1＝at， 粒子离开正方体时的速度在y方向的分速度大小为vy＝at1， 从M点入射的粒子最后打到平板上的位置的纵坐标为y＝y1＋vyt2－，联立解得y＝L， 根据几何关系可知粒子在正方体中在x方向的位移大小为x1＝Rcos 30°＝L， 粒子离开正方体时的速度在－x方向的分速度大小为v1＝vsin 30°， 从M点入射的粒子最后打到平板上的位置的横坐标为x＝x1－v1t2－， 联立解得x＝－L， 综上所述可知从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标为. 答案：(1) 　(2)2L (3) 4．(2024·山东济南市一模)如图甲所示，在三维坐标系O­xyz中，0<x<d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，x>d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场，荧光屏垂直x轴放置，其中心C位于x轴上并且荧光屏可以沿x轴水平移动．从粒子源不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v0沿x轴正方向经过O点，经电场进磁场后打在荧光屏上．已知粒子刚进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角θ＝60°，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力． (1)求匀强电场的电场强度的大小E； (2)当粒子打到荧光屏后，沿x轴缓慢移动荧光屏，沿x轴正方向看去，观察到荧光屏上出现如图乙所示的荧光轨迹(箭头方向为荧光移动方向)，轨迹最高点P的y轴坐标值为，求匀强磁场磁感应强度的大小B1以及荧光屏中心C初始位置可能的x轴坐标； (3)若将荧光屏中心C固定于x轴上x＝d＋处，在x>d的空间内附加一沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝，求附加匀强磁场B2后进入磁场的粒子打在荧光屏上的位置坐标． 解析：(1)粒子在电场中运动时，有 d＝v0t，qE＝ma，vy＝v0＝at， 解得匀强电场电场强度的大小E＝. (2)在电场中的偏转距离y1＝t＝d， 在磁场中运动的半径R1＝y2－y1＝d， 根据qB1vy＝m，解得B1＝， 周期T＝＝， t＝nT＝(n＝0,1,2,3…)， 则荧光屏中心C初始位置可能的x轴坐标 x＝d＋v0t＝d＋(n＝0,1,2,3…)． (3)由题意可知B＝＝， 设粒子进入磁场速度为v，v＝2v0， B与速度v方向垂直；则R2＝＝d， 由x＝d＋， 故圆轨迹与荧光屏相切；则 y＝y1＋R2sin 60°＝d， z＝－R2＝－d， 粒子打在荧光屏上的位置坐标为 . 答案：(1)　(2)　d＋(n＝0,1,2,3…)　(3) 学科网（北京）股份有限公司 $$