27.5 圆与圆的位置关系(4大题型提分练)（题型专练）数学沪教版五四制九年级下册

27.5 圆和圆的位置关系 知识点一 圆和圆的位置关系 ★1、两圆的位置关系有五种情况：外离，外切、相交、内切、内含，两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或内切时，也可以叫做两圆相切。 ★2、相关概念 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。 内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。当两个圆的圆心重合时，它们为同心圆。 【注意】半径相等的两个圆不可能内切，也不可能内含。 知识点二 圆和圆的位置关系相关概念 圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距。 公共弦：连接相交两圆的两个交点的线段叫做公共弦。 【注意】在解决两圆相交的问题中公共弦是我们常添的铺助线。 知识点三 圆和圆的位置关系符号表示 ★1、如果两圆的半径分别为和 (<)，圆心距为，那么两圆的位置关系可用，和d之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离⇔>+⇔0 两圆外切⇔=+⇔1 两圆相交⇔<<+⇔2 两圆内切⇔⇔1 两圆内含⇔⇔0 位置关系⇔数量关系⇔公共点个数 【注意】当两圆内切时，两圆的半径长不可能相等，因此必然有>。 知识点四 两圆连心线的性质 ★1、连心线的概念：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 连心线的性质：两圆的连心线是这两个圆所成图形的对称轴。 【注意】圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴. ★2、相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 已知：⊙和相交于点A和点B, 求证：直线垂直平分公共弦AB。 证明：分别联结，，， 点在线段的垂直平分线上。 同理，点在线段的垂直平分线上。 所以，直线是线段AB的垂直平分线，即直线垂直平分公共弦AB。 ★3、相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。 【注意】因为直线是两圆的公共对称轴，所以两圆相切时，切点一定在直线上，否则，根据图形关于直线成轴对称，就会出现这两圆有两个公共点的错误。 题型一 判断圆和圆的位置关系 解题技巧提炼 通过比较两圆半径 （不妨设）和圆心距 d的大小来确定，具体判断条件如下： 两圆外离⇔>+；两圆外切⇔=+；两圆相交⇔<<+ ；两圆内切⇔；两圆内含⇔ 1、如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（ ） A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交 【答案】C 【解析】相邻两圆之间均有两个以上（含两个）交点，故存在相交关系；图中不相邻的两个圆之间没有交点，故存在相离关系；图中任意两个圆之间没有出现一个交点的情况，故不存在相切关系。 2、两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】B 【解析】解：两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，， 由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和， 两圆外切．故选：B 3、中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 【答案】D 【解析】解：根据题意作图如下： 圆与圆外切，圆与圆外离，圆与圆相交，故选：． 4、若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 【答案】B 【解析】解：∵， ， 解得：， ∵两圆的半径分别是方程的两个根， ∴两圆的半径和为4， ∵两圆的圆心距为5， ∴两圆的位置关系是：外离．故选：B． 5、如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解析】解：∵分别以、为直径作圆， ∴两圆的圆心分别是、的中点， ∴两圆心的连线是梯形的中位线． ∵，， ∴两圆的圆心距为， ∵，， ∴两圆的半径分别为3和2， ∵， ∴两圆外离，故选：D． 6、已知的半径为的半径为2，两圆的圆心距，则两圆的位置关系是 ． 【答案】内含 【解析】解：的半径为的半径为2，两圆的圆心距， ∴两圆内含． 故答案为：内含 题型二 己知两圆的位置关系求半径/参数 解题技巧提炼 1 将两圆的方程化为标准方程； 2 找到两圆的圆心坐标和半径及圆心距； ③据两圆的位置关系找出与||,的大小关系，列出不等式（方程）； ④解不等式（方程），求出参数。 1、如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接交于，如图，    在 中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 2、相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】解：如图1，∵是两圆的公共弦， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∴， 如图2， 同理可得， ∴， 故选：C． 3、若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为 ． 【答案】 【解析】解：大圆圆心到公共弦的距离为：， 小圆圆心到公共弦的距离为：， ∵两圆相交， ∴两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的两侧， ∴两圆的圆心在公共弦的同侧时，两圆圆心距长为， 两圆的圆心在公共弦的两侧时，两圆圆心距长为， 故答案为：。 4、如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 【答案】1.5或4.5 【解析】解：设半径是，根据题意， 分两种情况： 如图1，，， ， ， 解得； 如图2，，， ， ， 解得． 故答案为1.5或4.5． 5、已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：连接， 四边形为矩形， 由勾股定理得，， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 题型三 己知两圆的交点个数求半径/参数 解题技巧提炼 1、两圆的位置关系与数量关系的对应 外离：两圆没有公共点，圆心距>+（、分别为两圆半径）； 外切：两圆有一个公共点，圆心距=+； 相交：两圆有两个公共点，<<+； 内切：两圆有一个公共点，圆心距； 内含：两圆没有公共点，圆心距. 2、根据交点个数确定位置关系 若已知两圆有两个交点，那么两圆的位置关系是相交，应满足<< +；若只有一个交点，可能是外切或内切，对应不同的等式关系。 3、确定两圆位置关系后，根据已知圆心距以及两圆半径的关系列出不等式（等式）。 特别提醒：有时候题目中还会给出其他条件，如两圆的周长关系、面积关系等，需要将这些条件与通过位置关系得到的不等式（等式）联立起来求解。 1、已知的半径，的半径为，圆心距，如果与有交点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，的圆心在的内部 如果与有交点，则有如图所示的两个临界位置 因此有，即 解得，故选：D． 2、如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（   ） A．1、10 B．5、8 C．25、40 D．20、30 【答案】D 【解析】∵两圆有两个交点， ∴两圆相交， ∵圆心距为13 ∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13． A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，，故符合题意；故选D． 3、如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（　　） A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB 【答案】D 【解析】分析：根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断； 解析：如图， ∵直线l是公切线 ∴∠1=∠B，∠2=∠A， ∵∠1=∠2， ∴∠A=∠B， ∴AC∥BD， ∴∠C=∠D， ∵PA=10，PC=9， ∴PA＞PC， ∴∠C＞∠A， ∴∠D＞∠B． 故选D． 4、设两圆的半径为a，b，圆心距为d，若两圆有公共点，则a，b，d满足的数量关系是 【答案】 【解析】解：由于两圆有公共点， 故圆相交或相切， 故， 故答案为：． 5、已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是 【答案】或． 【解析】解：两圆相离有两种情况： 内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，故； 外离时圆心距大于半径之和，故， 所以d的取值范围是或． 故答案为：或． 6、如图，在中，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是上的一个点，以P为圆心，为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：当圆P与圆C外切时，如图，作，垂足为， 设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，，， 由勾股定理得， 解得，即， 当圆P与圆C内切时，如图，此时， ∴圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是． 故答案为：． 题型四 两圆位置关系中动点问题的计算 解题技巧提炼 解题技巧提炼 1、分析两圆位置关系的变化； 2、利用几何性质和定理构建直角三角形等几何图形； 3、构建函数关系，对建立的函数进行分析，求出函数的最值或取值范围，从而得到问题的答案。 1、如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或．故答案为：或． 2、如图，矩形中，，，分别以、为圆心，1为半径画圆，、分别是、上的一动点，是边上的一动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【解析】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，则就是的最小值； ∵矩形中，，，圆、的半径为1， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，故答案为：3． 3、如图所示，点A、B在直线上，，、的半径均为，以每秒的速度自右向左运动，与此同时，的半径不断增大，其半径r（）与时间t（秒）之间的关系为（），则当点出发后 秒两圆相切． 【答案】，，， 【解析】①当首次外切时，如图， 有， 解得：； ②当首次内切时，如图， 有， 解得：； ③当再次内切时，如图， 有， 解得：； ④当再次外切时，如图， 有， 解得：； ∴当点B出发后秒、秒、秒和秒时，两圆相切. 故答案为：，，，． 5、如图所示，点在直线上，的半径为的半径为以每秒的速度从A点运动到点，当点A出发后 秒两圆相切．    【答案】4或5 【解析】解：设点A出发后t秒两圆相切， ①当两圆外切时，如图（1）所示，    则， ， ， ②当两圆内切时，如图（2）所示，    则， ， ， 综上，当点A出发后4秒或5秒两圆相切， 故答案为：4或5． 6、如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为 个单位），的半径为 的半径为，要使与静止的相切，那么由图示位置需向右平移 个单位．    【答案】 或 【解析】∵的半径为 的半径为，， ∴要使与静止的相切， 当内切时，； 即由图示位置需向右平移的单位长为4或6个单位长度， 当外切时，， 即由图示位置需向右平移的单位长为2或8个单位长度， ∴由图示位置需向右平移的单位长为或个单位长度， 故答案为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.5 圆和圆的位置关系 知识点一 圆和圆的位置关系 ★1、两圆的位置关系有五种情况：外离，外切、相交、内切、内含，两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或内切时，也可以叫做两圆相切。 ★2、相关概念 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。 内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。当两个圆的圆心重合时，它们为同心圆。 【注意】半径相等的两个圆不可能内切，也不可能内含。 知识点二 圆和圆的位置关系相关概念 圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距。 公共弦：连接相交两圆的两个交点的线段叫做公共弦。 【注意】在解决两圆相交的问题中公共弦是我们常添的铺助线。 知识点三 圆和圆的位置关系符号表示 ★1、如果两圆的半径分别为和 (<)，圆心距为，那么两圆的位置关系可用，和d之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离⇔>+⇔0 两圆外切⇔=+⇔1 两圆相交⇔<<+⇔2 两圆内切⇔⇔1 两圆内含⇔⇔0 位置关系⇔数量关系⇔公共点个数 【注意】当两圆内切时，两圆的半径长不可能相等，因此必然有>。 知识点四 两圆连心线的性质 ★1、连心线的概念：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 连心线的性质：两圆的连心线是这两个圆所成图形的对称轴。 【注意】圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴. ★2、相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 已知：⊙和相交于点A和点B, 求证：直线垂直平分公共弦AB。 证明：分别联结，，， 点在线段的垂直平分线上。 同理，点在线段的垂直平分线上。 所以，直线是线段AB的垂直平分线，即直线垂直平分公共弦AB。 ★3、相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。 【注意】因为直线是两圆的公共对称轴，所以两圆相切时，切点一定在直线上，否则，根据图形关于直线成轴对称，就会出现这两圆有两个公共点的错误。 题型一 判断圆和圆的位置关系 解题技巧提炼 通过比较两圆半径 （不妨设）和圆心距 d的大小来确定，具体判断条件如下： 两圆外离⇔>+；两圆外切⇔=+； 两圆相交⇔<<+； 两圆内切⇔；两圆内含⇔ 1、如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（ ） A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交 2、两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 3、中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 4、若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 5、如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 6、已知的半径为的半径为2，两圆的圆心距，则两圆的位置关系是 ． 题型二 己知两圆的位置关系求半径/参数 解题技巧提炼 1 将两圆的方程化为标准方程； 2 找到两圆的圆心坐标和半径及圆心距； ③据两圆的位置关系找出与||,的大小关系，列出不等式（方程）； ④解不等式（方程），求出参数。 1、如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 2、相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（　　） A． B． C．或 D． 3、若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为 ． 4、如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 5、已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 题型三 己知两圆的交点个数求半径/参数 解题技巧提炼 1、两圆的位置关系与数量关系的对应 外离：两圆没有公共点，圆心距>+（、分别为两圆半径）； 外切：两圆有一个公共点，圆心距=+； 相交：两圆有两个公共点，<<+； 内切：两圆有一个公共点，圆心距； 内含：两圆没有公共点，圆心距. 2、根据交点个数确定位置关系 若已知两圆有两个交点，那么两圆的位置关系是相交，应满足<< +；若只有一个交点，可能是外切或内切，对应不同的等式关系。 3、确定两圆位置关系后，根据已知圆心距以及两圆半径的关系列出不等式（等式）。 特别提醒：有时候题目中还会给出其他条件，如两圆的周长关系、面积关系等，需要将这些条件与通过位置关系得到的不等式（等式）联立起来求解。 1、已知的半径，的半径为，圆心距，如果与有交点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（   ） A．1、10 B．5、8 C．25、40 D．20、30 3、如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（　　） A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB 4、设两圆的半径为a，b，圆心距为d，若两圆有公共点，则a，b，d满足的数量关系是 5、已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是 6、如图，在中，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是上的一个点，以P为圆心，为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是 ． 题型四 两圆位置关系中动点问题的计算 解题技巧提炼 1、分析两圆位置关系的变化； 2、利用几何性质和定理构建直角三角形等几何图形； 3、构建函数关系，对建立的函数进行分析，求出函数的最值或取值范围，从而得到问题的答案。 1、如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 2、如图，矩形中，，，分别以、为圆心，1为半径画圆，、分别是、上的一动点，是边上的一动点，则的最小值是 ． 3、如图所示，点A、B在直线上，，、的半径均为，以每秒的速度自右向左运动，与此同时，的半径不断增大，其半径r（）与时间t（秒）之间的关系为（），则当点出发后 秒两圆相切． 5、如图所示，点在直线上，的半径为的半径为以每秒的速度从A点运动到点，当点A出发后 秒两圆相切．    6、如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为 个单位），的半径为 的半径为，要使与静止的相切，那么由图示位置需向右平移 个单位．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$