精品解析：吉林省吉黑十校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第四章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 2. 若，，则（ ） A. p是全称量词命题，且是真命题 B. p是全称量词命题，且是假命题 C. p是存在量词命题，且是真命题 D. p是存在量词命题，且是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的定义结合一元二次不等式与二次函数、二次方程的关系判定命题真假即可. 【详解】因为， 所以，，则p是全称量词命题，且是真命题. 故选：A 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量的范围代入相应函数即可求得结果. 【详解】由题意可得， 则， 故选：C. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式与不等式的性质及作差法可求得结果 【详解】对于A：当时，，选项A错误； 对于B：因为，令，则，选项B错误； 对于C：，因为，，若，则，选项C错误； 对于D：由，得，则，选项D正确， 故选：D. 5. 幂函数是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得的值，再分别检验函数的奇偶性即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，即，解得或， 当时，可化为， 易知的定义域为，关于原点对称，且， 所以是偶函数，满足题意； 当时，可化为， 显然，故不是偶函数，不满足题意； 综上：. 故选：C. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】不等式等价于不等式，即不等式， 即不等式，解得或. 故选：B 7. 已知函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解. 【详解】. 因为，， 所以. 故选：C. 8. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件等式得，通过变形配凑，利用基本不等式结合一元二次不等式计算即可. 【详解】因为，所以. 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 即，解得或. 因为，，所以，即的最小值是4. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由存在量词命题为真求出的范围，再利用必要不充分条件的定义求得答案. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 由命题“，”是真命题，得， 显然，，，ABC是； ， D不是. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用对勾函数与指数函数的定义、性质结合复合函数的性质计算即可判定B，C，D. 【详解】因为，所以， 所以不是奇函数，则A错误. 由题意可得的定义域是，则B正确. 因为在R上单调递增，而函数在和上单调递增， 在上单调递减， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又当时，，所以； 当时，，所以. 则的值域是，则C、D正确. 故选：BCD 11. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数性质和已知等式得出，然后计算判断A，然后根据对称性的概念及性质判断BCD． 【详解】因为，所以.因为是奇函数，所以， 则，所以，则A正确. 因为，即，所以的图象不关于直线对称，则B错误. 因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称， 即是偶函数，则C正确. 因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称， 因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点中心对称，则D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 13. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解集得到系数之间的关系，即可求得结果. 【详解】由题意可得，则，， 所以不等式， 即不等式， 因为，所以不等式， 即不等式，解得或， 故答案为：. 14. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的两段都是增函数且分界处左小右大（可相等）得不等式组，解之即得． 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用交集的定义直接求解. （2）利用补集的定义，结合交集的结果求出的范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，显然，由， 得，解得， 所以a的取值范围是. 16. 已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 【答案】（1） 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 17. 已知函数 （1）求； （2）判断的单调性并用单调性的定义证明你的判断； （3）若不等式，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）在R上单调递增，证明：设，则 . 因为，所以， 所以，所以，即， 则在R上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式求函数值即可； （2）利用单调性的定义结合指数函数的性质计算即可； （3）根据及函数的单调性去函数符号解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由解析式可知：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知等价于，即. 由（2）可知在R上单调递增，则，即， 即，解得或， 即t的取值范围为. 18. 某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的 （1）求每年捕捞的鱼的数量的百分比. （2）到今年为止，该水库已捕捞了多少年? （3）今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年? 【答案】（1） （2）3年. （3）9年. 【解析】 【分析】（1）设每年捕捞的鱼的数量的百分比为x，根据题意建立等量关系计算即可； （2）设到今年为止该水库已捕捞t年，根据题意建立方程，解指数方程即可； （3）设今年之后，最多还能捕捞n年，根据题意建立不等式，由指数函数的性质解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可得，即，解得， 则每年捕捞的鱼的数量的百分比为. 【小问2详解】 设到今年为止该水库已捕捞t年，则，所以， 所以，解得， 即到今年为止，该水库已捕捞了3年. 【小问3详解】 设今年之后，最多还能捕捞n年， 则n年后，水库里鱼的剩余数量为. 题意可得，则， 所以，解得， 故今年之后，最多还能捕捞9年. 19. 如图，在等腰梯形中，，.点P沿移动，点Q沿移动.已知P，Q同时从点A出发，P每秒移动1个单位长度，Q每秒移动2个单位长度，P，Q重合时，停止移动.记它们移动的时间为x秒，梯形的面积与的面积之差为. （1）求的解析式； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分四种情况，即点在上，点在上，点在上且点在上，均在上，讨论分析即可； （2）根据分段函数的单调性及基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 如图1，作，垂足为E， 由题意可得，，则，， 故梯形的面积， 当时，P在线段上，Q在线段上，且，， 如图1，作，垂足为F， 因为，所以， 所以的面积， 则， 当时，P在线段上，Q在线段上，且， 则的面积， 故， 当时，P在线段上，Q在线段上，且，， 如图2，作，垂足为H， 因为，所以， 所以的面积， 故； 当时，P，Q均在线段上，且，， 如图3，作，垂足为M，作，垂足为，则， 因为，所以， 所以的面积， 则， 综上，； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时， 易证函数在上单调递减，则； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 则； 当时， 易证函数在上单调递增，则 又 且，所以，所以， 则的最小值是. 【点睛】易错点睛：本题主要考查了物理运动与分段函数的综合问题，属于难题，解决该问题应该注意的事项： （1）根据点不同的运动，要分情况讨论，一共可分为四种情况； （2）得到对应的函数，写成分段函数的性质，注意自变量的取值范围； （3）用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，最后要比较不同段函数求出最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第四章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. p是全称量词命题，且是真命题 B. p是全称量词命题，且是假命题 C. p是存在量词命题，且是真命题 D. p是存在量词命题，且是假命题 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 11 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 在上单调递增 11. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______. 14. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 16. 已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 17. 已知函数 （1）求； （2）判断的单调性并用单调性的定义证明你的判断； （3）若不等式，求t的取值范围. 18. 某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的 （1）求每年捕捞的鱼的数量的百分比. （2）到今年为止，该水库已捕捞了多少年? （3）今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年? 19. 如图，在等腰梯形中，，.点P沿移动，点Q沿移动.已知P，Q同时从点A出发，P每秒移动1个单位长度，Q每秒移动2个单位长度，P，Q重合时，停止移动.记它们移动的时间为x秒，梯形的面积与的面积之差为. （1）求的解析式； （2）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $