14.2.1 平方差公式导学案2024-2025学年人教版数学八年级上册

§14.2.1 平方差公式 【学习目标】 1.理解平方差公式,能运用公式进行计算． 2.在探索平方差公式的过程中,感悟从具体到抽象地研究问题的方法,在验证平方差公式的过程中,感知数形结合思想． 【学习重点】平方差公式. 【本节内容解析】认真阅读课本第107至108页的内容, 本课是在学习了多项式乘法与合并同类项知识的基础上,对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公式——平方差公式,平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础,在代数中具有广泛的应用. 一、复习引入 1.多项式与多项式相乘法则:（a+b）(p+q)= 2.计算.(1)（x+2）(x-2) (2) （3y+4）(3y-4) 二、合作探究 【探究】根据所学知识,计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)（x+1）(x-1)= (2)（m+2）(m-2)= (3)（2x+1）(2x-1)= 【思考】 1.上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点? 2.相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系? 3.你能将发现的规律用式子表示出来吗？ 1.平方差公式：（a+b）(a-b)= . 也就是说,两个数的 与这两个数的 的积,等于这两数的 .这个公式叫做(乘法的)平方差公式. 【思考】你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗? 【练一练】 1. 填一填 2.口答下列各题： (l) (-a+b)(a+b)=_____ _ ___； (2) (a-b)(b+a)= __ _； (3) (-a-b)(-a+b)= __ ____； (4) (a-b)(-a-b)= _____ ____. 三、例题精讲 例1: 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x-2)； (2) (-x+2y)(-x-2y)． 【练-练】3.下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正? (1) (2x+3a)(2x-3a)=(2x)2-(3a)2 ; (2) (2a-3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2 ； (3) (x+2)(x-2)=x2-2 ； (4) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 ． 从例题1和练习1中,你认为运用公式解决问题时应注意什么? 例2: 计算： (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (2) 102×98 【练-练】4.运用平方差公式计算： (1)(a+3b)(a-3b)； (2)(3+2a)(-3+2a)； (3) 51×49； (4)(3x+4)(3x-4)- (2x+3)(3x-2)． 四、本节小结 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.平方差公式的结构特征是什么？ 3.应用平方差公式时要注意什么？ 五、作业 教科书习题14.2第1题． 拓展练习 1.先化简,再求值:(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x),其中x＝1, y＝2. 2.对于任意的正整数n,整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 3.计算：20172 － 2016×2018. 4.利用平方差公式计算： (1)(a-2)(a+2)(a2+4) ； (2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4) 8.已知x≠1,计算:(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3, (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4. (1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________ (3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝________； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$