精品解析：江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期高二数学期中试卷 出卷人：苏航赟 审卷人：李双双 2024.11 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据共轭复数求出z，再根据复数除法运算即可. 【详解】因为，所以, 所以. 故选：B. 2. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 3. 在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】设，则，， 又，解得：. 即. 故选：A. 4. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【详解】，又为中点， 故选：C 5. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，判断出两圆的位置关系，即可得到结果. 【详解】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条． 故选：B 6. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用中点公式得，根据在上，在上列式求得点，再利用点斜式即可得解. 【详解】设直线夹在直线之间的线段是，（在上，在上）， 设，因为被点平分， 所以，于是， 由于在上，在上， 所以，解得， 即的坐标是，而， 则，由点斜式得，即. 所以直线的方程是：. 故选：D. 8. 已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为. 【详解】由、， 有，故， 对有，故过定点， 对有，故过定点， 则中点为，即， ，则， 故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为， 又在原，该圆圆心为，半径为， 又，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若是关于x的实系数方程的根，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断. 【详解】对于A，圆心到直线的距离为， 当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确； 对于B，因为直线，即，所以直线过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确； 对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误； 对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为， 所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点的轨迹长度为 C. 不存在点，使得平面 D. 四面体DEFG体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可. 【详解】对于A，如图，连接、， 依题意，，而平面平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值， 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确； 对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面的法向量，则故 令，故为平面的一个法向量， 设，故， 若平面，则， 则，解得，但， 所以不存在点点，使得平面，故C正确； 对于D，因为为等腰三角形，故， 而点到平面的距离， 令，则， 则，其中， 则四面体体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果，则实数的值为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题意得到为实数，再计算的值即可. 【详解】由题知：为实数， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的定义，属于简单题. 13. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再平方即可求解. 【详解】, 所以, 所以. 故答案为： 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 16. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以. 因为，，即，所以， 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）由面面垂直性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AC中点，连接DO，OE 因为为正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为O，E分别为AC，AB中点，则. 又因为，所以. 以为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 故，，. 设平面的法向量为，直线BD与平面所成角为， 则，即，取. 则， 所以BD与平面所成角的正弦值为. 18. 已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B． （1）求证：为定值 （2）设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程． （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1）证明：由题意可得圆的方程为， 整理得， 令得或， 令得或，可得， 所以； （2） （3）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而得点的坐标可得答案； （2）由已知可得原点在线段的垂直平分线上，利用直线垂直求出可得答案； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若，则原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则三点共线， 的斜率，所以， 解得，可得圆的方程为； 【小问3详解】 由（2）得圆，其半径为，， 设点关于直线对称点为， 则的中点坐标为， 且，解得，所以， 则， 又点到圆上点的最短距离为 ， 则的最小值为， 此时直线的方程为即， 此时点即为直线与直线的交点， 由解得， 即点． 【点睛】方法点睛：动点到定点与到圆上点的距离之和的最值问题，一是利用对称性，把定点转化为关于直线的对称点，二是把圆外的点转化为到圆心的距离加减半径得最大值和最小值． 19. 如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与轴重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）. （1）求圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列出方程求得的值，即可求得圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求得的面积为，舍去；设直线的方程为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得弦长，进而求得到直线的距离为，根据题意列出方程，求得的值，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，由为等腰直角三角形，求得；设直线的方程为，联立方程组，求得，过作轴过作轴，得到，化简得到，进而求得折叠后的范围. 【小问1详解】 解：由题意，设圆心，半径为 因为圆经过点和，可得， 即，解得，所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时的面积为，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即， 可得圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得， 又由，设到直线的距离为， 所以的面积为， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为. 【小问3详解】 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时为等腰直角三角形，可得； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，且， 过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 则 ， 因为，所以，所以， 综上可得，折叠后的范围. 【点睛】方法策略：解答直线与圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆的性质或圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆或圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二数学期中试卷 出卷人：苏航赟 审卷人：李双双 2024.11 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若是关于x的实系数方程的根，则 D. 若，则的最小值为1 10. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 11. 已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点的轨迹长度为 C. 不存在点，使得平面 D. 四面体DEFG体积的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果，则实数的值为____________. 13. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则____________. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 17. 如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值. 18. 已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B． （1）求证：为定值 （2）设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程． （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 19. 如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与轴重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）. （1）求圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $