3.1.3 椭圆简单几何性质的应用　课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.1椭圆 第三章 圆锥曲线的方程 课时3 椭圆简单几何性质的应用 新知探究 探究一：椭圆的第二定义 情境设置 问题：平面内动点到定点的距离和到定直线： 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆. 证明： 令 O x y M F H d l 2 新知生成 知识点一 椭圆的第二定义 平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常的点的轨迹是椭圆.我们将定直线称为椭圆的准线. 右焦点 左焦点 右准线 左准线 3 新知生成 知识点一 椭圆的第二定义 通过准线的定义可得， 1、椭圆上的一点到两焦点的距离分别为或， 我们将该距离称为椭圆的焦半径. 2.椭圆上一点到两焦点的距离最大值是，最小值为 4 一、椭圆的第二定义 P113例题6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数,求动的轨迹. 【解析】设是点到直线的距离, 根据题意,动点的轨迹就是集合   由此得 将上式两边平方,并化简,得 即 所以,点的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆. 5 新知运用 跟踪训练1 若为椭圆在第一象限的点，且为等腰三角形，求点的坐标. 【解析】由椭圆的标准方程，得： ∴， 又∵为第一象限内的点，且为等腰三角形 ∴ ∴ ＝即：＝3 将＝3代入椭圆方程，得： ∴的坐标为：. 6 新知探究 探究二：点与椭圆的位置关系 情境设置 问题1：点在椭圆 上吗？ 问题2：如何判断点与椭圆的位置关系？ 7 新知生成 知识点二 点与椭圆的位置关系 点与椭圆 的位置关系： 点在椭圆上 ； 点在椭圆内部 ； 点在椭圆外部 . 8 二、点与椭圆的位置关系 例题2 若直线恒过点，且点位于焦点在轴上的椭圆的内部 (含边界)，求的取值范围. 【解析】由题意知直线过定点.由题意知，点在椭圆内或椭 圆上，，.又椭圆焦点在轴上，，故的取值范围为 . 9 反思感悟 方法总结 判断点与椭圆的位置关系，可将点的坐标代入椭圆方程，然后判断； 已知关键点的位置求参数范围，可根据点的位置建立不等式求解. 10 新知运用 跟踪训练2 若直线恒过点，则点与椭圆的位置关系是( ) . A.在椭圆外 B.在椭圆内 C.在椭圆上 D.无法判断 【解析】因为直线恒过点，将点代入椭圆方程，得 ，所以点在椭圆内部. B 11 新知探究 探究三：直线与椭圆的位置关系 情境设置 问题1：如图所示，移动直线𝑙，观察直线𝑙 与椭圆有几种位置关系． 问题2：直线与椭圆 有怎样的位置关系？ 12 新知生成 知识点三 直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系的判断方法： 由消去（或）得到一个关于（或 ）的一元二次方程． 1、相交：两个解，; 2、相切：一个解， ； 3、相离：无解， . 13 三、直线与椭圆的位置关系 例题3 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，直线与交于，两点，若的面积是的面积的2倍，则 ( ) . A. B. C. D. 【解析】由题意得，，的面积是 的面积的2倍， 所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，即 ， 解得或，易知，当时，直线 与椭圆无交点， ，故选C. C 14 反思感悟 方法总结 判断直线与椭圆的位置关系的方法： 15 新知运用 课本P114 已知直线和椭圆为何值时,直线与椭圆 (1)有两个公共点? (2)有且只有一个公共点? (3)没有公共点? 【解析】设由方程组消去,得 方程(1)的根的判别式 由,得.此时方程(1)有两个不相等的实数根,直线与椭圆有两个不同的公共点. 由,得.此时方程(1)有两个相等的实数根,直线与椭圆有且只有一个公共点. 由,得,或.此时方程(1)没有实数根,直线与椭圆没有公共点. 16 新知探究 探究四：弦长与中点弦问题 情境设置 回顾：如何求直线与圆相交的弦长？ 问题：能用此法求直线与椭圆相交的弦长吗？ 17 新知生成 知识点四 弦长与中点弦 1.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程，构成方程组，消去一个未知数， 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程， 然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知， 是椭 圆上的两个不同的点，是线段的中点， 则 由，得， 变形得 ，即 ． 18 新知生成 知识点四 弦长与中点弦 2.求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆两个交点的坐标，用两点间的距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长 公式： ， 或 其中，是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两 根之积后代入公式可求得弦长． 特别提醒：如果直线方程涉及斜率，那么要注意斜率不存在的情况． 19 四、弦长与中点弦问题 例题4 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． 【解析】(1)当直线的斜率不存在时，此弦中点必然在𝑥轴上，与其中点为𝑀(2,1) 矛盾， 故直线斜率存在. 设直线与椭圆的交点为， ． 为的中点，， ． 又，两点在椭圆上，则， ，两式相减得 ， ， ，即 ，过点 ， 所求直线的方程为 ． (2) 由(1)知， ， ． 20 反思感悟 方法总结 (1)求直线与椭圆相交弦长的方法： ①直接利用两点间的距离公式，当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间的距离公式求弦长； ②利用弦长的公式求解． (2)解决椭圆中点弦问题的两种方法： ①利用根与系数的关系，联立直线方程和椭圆方程，构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； ②点差法，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 21 新知运用 跟踪训练4 已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)若线段𝐴𝐵的中点坐标为(1,1)，求直线𝑙 的方程； (2) 若直线过点，且的面积为，求直线 的方程． 【解析】(1) 设， ，则两式作差得 ，整理可得 ，又线段的中点坐标为，则，， ， 直线的方程为，即直线的方程为 ． (2) 当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意，则直线 的斜率不为0，可设直线的方程为 ，由得 ，设，，则 ，解得 ， 直线的方程为或，即直线的方程为 或 ． 22 随堂检测 1. 若点在椭圆的内部，则的取值范围是( ) . A. B.或 C. D. 2. 已知椭圆的右焦点是，过点的直线交椭圆于 ， 两点，若的中点的坐标为，则椭圆的方程为( ) . A. B. C. D. 3. 已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点， 的周长为14，则下列选项正确的有( ) . A.椭圆的方程为 B. C.内切圆的面积的最大值为 D. A ABD B 23 随堂检测 4. 已知直线，椭圆 . (1)求证：直线𝑙与椭圆𝐶 有两个交点. (2)求连接这两个公共点所成线段的长. 【解析】(1) 由消去整理得 ， 因为 ，所以直线与椭圆 有两个交点. (2)设两交点分别为， ，由(1)知， ， 所以 . 24 课堂小结 1.知识清单： (1)椭圆的第二定义； (2)点与椭圆的位置关系； (3)直线与椭圆的位置关系. (4)弦长与中点弦问题. 25 $$