3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1椭圆 第三章 圆锥曲线的方程 课时1 椭圆及其标准方程 新知探究 探究一：椭圆的定义 情境设置 问题1：生活中的椭圆有哪些？ 开普勒：德国杰出的天文学家、物理学家、数学家。行星围绕太阳运行的轨迹为椭圆形 2 新知探究 探究一：椭圆的定义 情境设置 问题1：生活中的椭圆有哪些？ 国家大剧院 3 新知探究 探究一：椭圆的定义 情境设置 问题2：什么是圆锥曲线，圆锥曲线是怎么产生的？ 椭圆 抛物线 双曲线 圆 4 新知探究 探究一：椭圆的定义 情境设置 问题3：椭圆的定义？ [1]取一条定长的细绳； [2]把它的两端固定在板上的同一点处； [3]用笔尖(M)把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形。 F1 F2 M 5 新知生成 知识点一 椭圆的定义 椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点， 叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 符号表示： 注意: (1)当时，(绳长等于两定点间距离)， 点M的轨迹为线段. (2)当时，(绳长小于两定点间距离), 点M无轨迹 6 新知探究 探究二：椭圆的标准方程 情境设置 探究：设是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为,那么焦点的坐标分别为.根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于. 由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集 因为 所以 为了化简方程(1),我们将其左边的一个根式移到右边,得 对方程(2)两边平方,得 7 新知探究 探究二：椭圆的标准方程 情境设置 整理,得 对方程(3)两边平方,得 整理,得 将方程(4)两边同除以,得 由椭圆的定义可知,,即,所以. 8 新知生成 知识点二 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 焦点坐标 与 与 ，， 的关系 9 椭圆辨析 判断 求符合下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？写出焦点坐标. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 10 一、椭圆的标准方程 例题1 求符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在𝑦轴上，且经过两点(0,2)和(1,0) ； (2) 两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点， ； (3) 经过点， . 【解析】(1) 因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为 .又椭圆经过点和 ,所以即所以所求的椭圆的标准方程为. (2) 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 .由椭圆的定义知，，即 .又，所以 .故所求的椭圆的标准方程为 . (3) 设椭圆的方程为，，且 ，因为点，在椭圆上，所以 解得所以椭圆的标准方程为 . 11 反思感悟 方法总结 (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤： ①先确定焦点位置； ②设出方程； ③寻求𝑎，𝑏，𝑐的等量关系； ④求𝑎，𝑏 的值，代入所设方程. (2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为.因为它有焦点在轴上或焦点在𝑦 轴上(𝑚>𝑛) 两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算. 12 新知运用 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) ，，焦点在𝑦 轴上； (2) 与椭圆有相同的焦点，且经过点， ； (3) 经过点和， . 【解析】(1) 由，，得 . 焦点在轴上， 其标准方程为 ． (2)椭圆的焦点坐标为， ，设所求椭圆的标准方程为 ， 所求椭圆过点， ， ， .， ， 所求椭圆的标准方程为 ． (3) 设椭圆的标准方程为 ， 椭圆经过点和， ， 将和，代入 ，得 椭圆的标准方程为 . 13 二、椭圆的定义 例题2 设,为椭圆的两个焦点，点在，则 ( ) . A.1 B.2 C.4 D.5 【解析】因为，所以 ， 所以 . 因为，所以 ， 即,所以 ，故选B. B 14 反思感悟 方法总结 椭圆定义的应用技巧： (1)椭圆的定义具有双向作用,若,则点的轨迹是椭圆；反之,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和必为2𝑎. (2)椭圆上一点与椭圆的两个焦点,构成的 称为焦点三角形. 解决关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合完全平方公式、正弦定理、余弦定理等知识求解. (3)设,则(推导). 15 新知运用 跟踪训练2 在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点，的距离的和等 于4，且 ，则的面积为____. 【解析】由题意知， . 在中，由余弦定理得 ， 即 . ① 又 ， ② 联立①②可得 ， 所以 . 16 三、椭圆方程的应用 例题3 求如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( ) . A. B. C.， D. 【解析】由方程，可得 ， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得 ， 所以实数的取值范围是 .故选D. D 17 反思感悟 方法总结 方程表示椭圆的充要条件是表示焦点在轴上的椭圆的充要条 件是表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是 18 新知运用 跟踪训练3 求适合下列“”是“方程表示椭圆”的( ) . A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由方程表示的曲线是椭圆，可得 且 . 又且 ， 而且 ， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. B 19 新知生成 知识点三 与椭圆有关的轨迹问题 1.与椭圆有关的轨迹方程的求法：直接法、定义法和代入法(相关点法)． 2.对定义法求轨迹方程的认识 若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的求轨迹方程的方法． 3.代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点𝑃(𝑥,𝑦)与另一个已知曲线𝐶：𝐹(𝑥,𝑦)=0上的动点存在着某种联系，可以把点𝑄的坐标用点𝑃的坐标表示出来，然后代入已知曲线𝐶 的方程𝐹(𝑥,𝑦)=0 ，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)． 20 四、椭圆有关的轨迹问题 课本P108例2 在圆上任取一点,过点作轴的垂线段为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么?为什么? 【解析】设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为.由点是线段的中点,得 因为点在圆上,所以 把代人方程(1),得 即 所以点的轨迹是椭圆. 21 四、椭圆有关的轨迹问题 课本P108例3 设两点的坐标分别为,.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程. 【解析】设点的坐标为,因为点的坐标是,所以直线的斜率 同理,直线的斜率 由已知,有 化简,得点的轨迹方程为 点的轨迹是除去两点的椭圆. 22 四、椭圆有关的轨迹问题 例题4 (1)已知𝐵，𝐶是两个定点，|𝐵𝐶|=8，且△𝐴𝐵𝐶 的周长等于18，求这个三角形的顶点𝐴 的轨迹方程； (2)已知𝑃是椭圆上一动点，𝑂为坐标原点，求线段𝑂𝑃的中点𝑄 的轨迹方程． 【解析】(1)以过𝐵，𝐶两点的直线为𝑥轴，线段𝐵𝐶 的垂直平分线为𝑦轴，建立平面直角坐标系𝑂𝑥𝑦 ，如图所示．由|𝐵𝐶|=8，可知点𝐵(−4,0)，𝐶(4,0) ． 由|𝐴𝐵|+|𝐴𝐶|+|𝐵𝐶|=18，|𝐵𝐶|=8，得|𝐴𝐵|+|𝐴𝐶|=10 ．因此，点𝐴的轨迹是以𝐵，𝐶 为焦点的椭圆，，，但点不在 轴上．由，，得，所以点的轨迹方程为 ． (2) 设，，由是线段的中点知，， ， 又，所以，即， 所以点的轨迹方程为 ． 23 反思感悟 方法总结 本例(1)所用的方法为定义法，利用椭圆定义求轨迹方程，要注意椭圆定义满足 的条件. 本例(2)为代入法，代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系． 24 新知运用 跟踪训练4 (1)已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求线段的轨迹方程． 【解析】(1) 设中点的坐标为，点的坐标为 ．利用中点坐标公式，得 点在椭圆上， ， 将，代入上式，得 ．故所求 的中点的轨迹方程是 ． 25 新知运用 跟踪训练4 (2) 在中， ，，，曲线过点，动点在曲线上运动，且是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程． 【解析】(2) 以的中点为坐标原点，所在直线为轴，𝐴𝐵 的中垂 线为𝑦轴，建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，曲线𝐸 是 以𝐴，𝐵为焦点，且过点𝐶 的椭圆，由题意可得 . 设曲线的方程为，则 ， ，所以，，所以， 所以曲线的方程为 ． 26 随堂检测 1. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离是6，则点到另一个焦点的距 离为( ) . A.2 B.3 C.4 D.5 2. 已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上， 则点𝑀 的纵坐标为_____． C 27 随堂检测 3. 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值.求动点 的轨迹方程． 【解析】设动点，则， ， 由题意得，整理得 ， 又因为动点不能与定点，重合， 所以 ．综上，动点的轨迹方程为 ． 28 课堂小结 1.知识清单： (1)椭圆的定义； (2)椭圆的标准方程； (3)与椭圆有关的轨迹问题. 29 $$