专题03 利用相似测高及相似的性质应用6大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题03 利用相似测高及相似的性质应用6大题型 题型一 利用相似测高 1．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 4．（23-24九年级上·河南商丘·期末）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 5．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 6．（19-20九年级上·河南郑州·期末）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h． （1）若点P在一边BC上，如图①，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内，如图②，以及点P在△ABC外，如图③，这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由． 7．（19-20九年级下·河南焦作·期末）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 8．（18-19九年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 题型二 相似三角形的应用举例 9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 10．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 11．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）宝严寺塔（图1），俗称“东关塔”，位于西平县城东关，故名．该塔造型古朴，2006年6月被批准为国家级文物保护单位．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量宝严寺塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与宝严寺塔顶点在同一直线上，已知米，米，目测点与地面的距离米，到宝严寺塔的水平距离米，求宝严寺塔的高度．      图1                   图2 12．（23-24九年级上·河南安阳·期末）二七纪念塔位于河南省郑州市二七广场，是郑州市的地标性建筑之一．某数学活动小组欲测量其高度，如图，在距纪念塔水平距离为的点B处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点E，直杆顶点A和塔顶点N在同一条直线上．若，，，求塔高． 13．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 14．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）阅读下面材料，完成学习任务． 数学活动：测量树的高度． 在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离，小华的眼睛到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离； ③计算树的高度：设，． ，， ． 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 15．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    16．（19-20九年级上·河南郑州·期末）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 17．（21-22九年级上·河南商丘·期末）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南……”九·1班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为h米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为a米，雕塑的影长为b米；利用小镜测量时，小永离镜子的距离为c米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为d米．请你帮助小永选择其中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示）， 18．（21-22九年级上·河南许昌·期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB． 题型三 利用相似三角形的性质求解 19．（23-24九年级上·河南安阳·期末）在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：    (1)用含t的代数式表示 ， ； (2)当t为多少时，的长度等于？ (3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 20．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，点在一条直线上，与相交于点    (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)＝　 　，＝　 　； (2)连接，若点E为x轴负半轴上的点，若与相似，则此时点E的坐标． 22．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE． (1)求证：△ABD∽△CAE； (2)若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长． 23．（21-22九年级上·河南南阳·期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画，使，相似比为，且顶点都在格点上． （2）的面积是______． 24．（19-20九年级上·河南南阳·期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、． （1）当为的中点，且、时，如图1，_______： （2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______； （3）若改变点到图3的位置，且时，求的值． 25．（19-20九年级上·河南信阳·期末）将一副直角三角板按右图叠放． (1)证明：△AOB∽△COD； (2)求△AOB与△DOC的面积之比． 26．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）已知，如图，A（0．8），B（4，0），D是AB的中点，过D点作直线与△AOB的一边交于点E，直线DE截△ABO得到的小三角形与△ABO相似，求满足题意的所有E点的坐标． 题型四 在网格中画与已知三角形相似的三角形 27．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）． (1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由； (2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积． 28．（21-22九年级上·河南南阳·期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画，使，相似比为，且顶点都在格点上． （2）的面积是______． 29．（20-21九年级上·河南商丘·期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点、顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．求面积最大的三角形的斜边长． 30．（23-24九年级·河南安阳·期末）如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形． 要求： （1）所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等． （2）图②和图③中新画的三角形不全等． 题型五 相似三角形中的动点问题 31．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 32．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 33．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ． 34．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 35．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时开始运动，当点P运动到终点B时，点Q也停止运动．在运动过程中，若以B，P，Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为 ． 36．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．    (1)若与相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 37．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象． (1)_______，________； (2)当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？ 38．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 39．（2024·河南洛阳·一模）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形的边长为1cm，，，设正方形移动的时间为x秒，且．    (1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）； (2)若以G、D、C为顶点的三角形同相似，求x的值； (3)连接，过点A作交于点P，连接．若的面积记为，的面积记为，则的值会发生变化吗？请说明理由． 40．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图,在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发,沿向点B运动,同时动点N以的速度从点D出发,沿DA向点A运动，设运动的时间为秒（）． (1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在某一时刻,使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由． 题型六 相似三角形的综合问题 41．（19-20九年级上·河南南阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为 ． 42．（22-23九年级上·河南郑州·期末）在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 43．（20-21九年级上·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，AD平分∠BAC，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE． （1）求的值； （2）求射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数； （3）题设其它条件不变，若点D是∠BAC平分线上的一个动点，且AB=1，∠DBC=15°，直接写出线段CE的长． 44．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）问题发现： （1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________； 类比探究： （2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值； 拓展延伸： （3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值． 45．（20-21九年级上·河南南阳·期末）如图1，中，，点分别在边上, , 将绕点逆时针旋转（），直线相交于点． （1）若，将绕点逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是______，位置关系是_______． （2）若，将绕点逆时针旋转． ①（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由． ②若, 是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长． 46．（20-21九年级上·河南郑州·期末）在中，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为（），得到． （1）如图①，当时，设与相交于点．求证：是等边三角形．         图① （2）如图②，连接、，在旋转的过程中，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由．        图② （3）如图③，设中点为，中点为，，连接，当______时，长度最大，最大值为______．         图③ 47．（19-20九年级上·河南周口·期末）在中，，是平面内不与点重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接是的中点，是的中点． （1）问题发现： 如图1，当时，的值是_________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． （2）类比探究： 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，当时，若是的中点，点在直线上，且点在同一条直线上，请直接写出的值． 48．（19-20九年级上·河南周口·期末）（1）问题发现： 如图①，在中，，，点是边上一点，，交于． 填空：直线的数量关系是： ，直线的位置关系是 ． （2）类比探究： 如图②，将绕点逆时针旋转，旋转角为，（），连接．（1）中的结论还成立吗？若成立，请根据图②给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸： 将绕点逆时针旋转，旋转角为，直线交于点． ①若，当，且时，则 ． ②若，，当，长的最大值为 ． 49．（19-20九年级上·河南洛阳·期末）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图①． （1）求证：AD•CD＝BD•DE； （2）若BD是边AC的中线，如图②，求的值． 50．（23-24九年级·河南信阳·期末）类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝. (1)尝试探究：在图1中，由DP∥BQ，得△ADP___△ABQ(填“≌”或“∽”)，则＝___，同理可得＝，从而＝； (2)类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，若AB＝AC＝1，则MN的长为_____； (3)拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，AB＜AC，求证：MN2＝DM·EN. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 利用相似测高及相似的性质应用6大题型 题型一 利用相似测高 1．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH． 【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线， ∴AM＝BM， ∴∠B＝∠BAM，①正确； ②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH， ∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误； ③∵∠BAC＝90°，AH是高， ∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°， ∴∠B＝∠CAH，③正确． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，，    ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 4．（23-24九年级上·河南商丘·期末）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是． 故答案为：24． 6．（19-20九年级上·河南郑州·期末）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h． （1）若点P在一边BC上，如图①，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内，如图②，以及点P在△ABC外，如图③，这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）点P在△ABC内时成立，点P在△ABC外时不成立，理由见解析. 【分析】(1)连接AP,将△ABC面积分成△ABP和△APC的面积,利用面积公式代入即可证明. (2)连接AP、BP、CP,将△ABC的面积分裂成几个小三角形的面积之和,代入面积公式计算即可. 【详解】（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC ∴BC•AM＝AB•PD+AC•PF 即BC•h＝AB•h1+AC•h2 又∵△ABC是等边三角形 ∴BC＝AB＝AC， ∴h＝h1+h2； （2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下： 如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC•AM＝AB•PD+AC•PF+BC•PE 即BC•h＝AB•h1+AC•h2+BC•h3 又∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AC． ∴h＝h1+h2+h3； 点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3． 理由如下：如图3，连接PB，PC，PA 由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC， 即BC•AM＝AB•PD+AC•PE﹣BC•PF， ∵AB＝BC＝AC， ∴h1+h2﹣h3＝h， 即h1+h2﹣h3＝h． 7．（19-20九年级下·河南焦作·期末）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 8．（18-19九年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 【答案】这棵树高． 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高． 【详解】过点作交于点 则， ，即 答：这棵树高． 题型二 相似三角形的应用举例 9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 10．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．首先利用勾股定理计算出长，再证明，由相似三角形的性质可得，求出长，进而可得答案． 【详解】解：在中，，即， ， 由题意得：，， ， ， ，，， ， 解得， ， 11．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）宝严寺塔（图1），俗称“东关塔”，位于西平县城东关，故名．该塔造型古朴，2006年6月被批准为国家级文物保护单位．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量宝严寺塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与宝严寺塔顶点在同一直线上，已知米，米，目测点与地面的距离米，到宝严寺塔的水平距离米，求宝严寺塔的高度．      图1                   图2 【答案】塔的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，利用相似三角形的性质得到是解题的关键．证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得：， ∵ ∴． 答：塔的高度为． 12．（23-24九年级上·河南安阳·期末）二七纪念塔位于河南省郑州市二七广场，是郑州市的地标性建筑之一．某数学活动小组欲测量其高度，如图，在距纪念塔水平距离为的点B处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点E，直杆顶点A和塔顶点N在同一条直线上．若，，，求塔高． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，构造相似三角形建立模型解决问题． 根据题意得出，利用相似三角形的性质求出，进而得出． 【详解】解：，， ∴， ∵， ， ． 由题意知，，，， ， ， 解得：， ， 即二七纪念塔的高度为． 13．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 【答案】该古建筑的高度为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得：，，，从而得到，进而得到，，由相似三角形的性质可得，，由得出，求出的长，即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 该古建筑的高度为米． 14．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）阅读下面材料，完成学习任务． 数学活动：测量树的高度． 在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离，小华的眼睛到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离； ③计算树的高度：设，． ，， ． 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】米，见解析 【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， 解得． 把代入， 得， 解得． 答：树的高度为． 15．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 16．（19-20九年级上·河南郑州·期末）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】城楼的高度为米 【分析】过点作于点，交于点，构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】过点作于点，交于点， 由题意可得：，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故城楼的高度为：（米， 答：城楼的高度为米． 17．（21-22九年级上·河南商丘·期末）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南……”九·1班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为h米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为a米，雕塑的影长为b米；利用小镜测量时，小永离镜子的距离为c米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为d米．请你帮助小永选择其中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示）， 【答案】 ；图像见解析． 【分析】根据同一时刻，用物体与影子构成相似三角形，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】图像如下： 如图分别为雕塑与小永的实物与影子图 两物与地面垂直 都在同一时间点的阳光照射下， ~ 则雕塑高为 18．（21-22九年级上·河南许昌·期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB． 【答案】15.6米 【分析】证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：树高15.6m． 题型三 利用相似三角形的性质求解 19．（23-24九年级上·河南安阳·期末）在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：    (1)用含t的代数式表示 ， ； (2)当t为多少时，的长度等于？ (3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)， (2)为0．2或3秒 (3)为2或 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）利用勾股定理求解即可． （3）分情况讨论，和，代入求解即可． 【详解】（1）解：用含的代数式表示，； 故答案为，． （2）解：在中，根据勾股定理得，， ， 解得：或， 当为0．2或3秒时，的长度等于． （3）解：以点为顶点的三角形与相似，且， ①， ， ， ， ②， ， ， ， 即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似． 20．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，点在一条直线上，与相交于点    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明出，根据相似三角形的性质定理得到，即可证明； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵==， ∴； ∴， ∴，即； （2）∵， ∴． ∵，， ∴． 21．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)＝　 　，＝　 　； (2)连接，若点E为x轴负半轴上的点，若与相似，则此时点E的坐标． 【答案】(1)8，6 (2)或 【分析】 （1）解一元二次方程即可求解； （2）分类讨论，根据不同的对应关系列出比例式，求出坐标即可． 【详解】（1）解：因为的长是关于x的一元二次方程的两个根， 解方程得，， 因为， 所以， 故答案为：8，6； （2） 解：设点E的坐标为， 则， 因为， 所以， 因为四边形是菱形， 所以 当时， ∴＝， ∴， ∴， ∴， ∵点E为x轴负半轴上的点， ∴点E的坐标为：； 当时， ∴＝， ∴， ∴， ∴， ∵点E为x轴负半轴上的点， ∴点E的坐标为：； 综上，点E的坐标为：或． 22．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE． (1)求证：△ABD∽△CAE； (2)若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】(1)根据已知条件可得，∠DAC =∠B，即可证明△ABD~△CAE； (2)根据△ABD~△CAE，对应边成比例即可求出A E的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）由（1）得， ∴， ，，， ∴ ． 23．（21-22九年级上·河南南阳·期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画，使，相似比为，且顶点都在格点上． （2）的面积是______． 【答案】（1）答案见解析；（2）12 【分析】（1）根据相似比为先确定对应点的位置，再连接即可得到答案； （2）先求出根据△ABC的面积，然后根据相似三角形的性质得到的面积． 【详解】（1）如图，为所求作图形；（答案不唯一） （2）由题意得， ，相似比为 故答案为：12． 24．（19-20九年级上·河南南阳·期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、． （1）当为的中点，且、时，如图1，_______： （2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______； （3）若改变点到图3的位置，且时，求的值． 【答案】（1）2；（2）2；（3） 【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案； （2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案； （3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案． 【详解】解：（1）为的中点， 故答案为： （2）如图，过作于 过作于 由（1）同理可得 ： 故答案为： （3）过点分别作于点，于点， ∵，∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 同理可得：． ∴． 25．（19-20九年级上·河南信阳·期末）将一副直角三角板按右图叠放． (1)证明：△AOB∽△COD； (2)求△AOB与△DOC的面积之比． 【答案】(1)见解析；(2)1：3 【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD； （2）设BC=a，则AB=a，BD=2a，由勾股定理知：CD=a，得AB：CD=1：，根据相似三角形性质可得面积比. 【详解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90° ∴AB∥CD， ∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO， ∴△AOB∽△COD (2)设BC=a，则AB=a，BD=2a 由勾股定理知：CD=a ∴AB：CD=1：   ∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3． 26．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）已知，如图，A（0．8），B（4，0），D是AB的中点，过D点作直线与△AOB的一边交于点E，直线DE截△ABO得到的小三角形与△ABO相似，求满足题意的所有E点的坐标． 【答案】（0，4），（2，0），（0，3）． 【详解】试题分析：分别从①当DE∥OB时，△AED∽△AOB，②当DE∥OA时，△BDE∽△BAD，③过D作DE⊥AB交OA于E，去分析求解即可求得答案． 试题解析：（1）当DE∥OB时，△AED∽△AOB 此时E（0，4）， （2）当DE∥OA时，△BDE∽△BAD 此时E（2，0），   （3）过D作DE⊥AB交OA于E，则△ADE∽△AOB 则 ∵ ∴8AE= ∴AE=5 ∴E（0，3）       综上可得：E点的坐标为：（0，4），（2，0），（0，3）． 题型四 在网格中画与已知三角形相似的三角形 27．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）． (1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由； (2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积． 【答案】(1)相似，见解析 (2)图见解析，面积为5 【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可． 【详解】（1）△ABC∽△DEF，理由如下： 在△ABC中，AB=2，BC=，AC=， 在△DEF中，DE=，EF=2，DF=， ∴， ∴△ABC∽△DEF； （2）如图，△MNP即为所求， ． 28．（21-22九年级上·河南南阳·期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画，使，相似比为，且顶点都在格点上． （2）的面积是______． 【答案】（1）答案见解析；（2）12 【分析】（1）根据相似比为先确定对应点的位置，再连接即可得到答案； （2）先求出根据△ABC的面积，然后根据相似三角形的性质得到的面积． 【详解】（1）如图，为所求作图形；（答案不唯一） （2）由题意得， ，相似比为 故答案为：12． 29．（20-21九年级上·河南商丘·期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点、顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．求面积最大的三角形的斜边长． 【答案】5 【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2， ∴AB＝，AC：BC＝1∶2， ∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2， 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形， ∵＝＝＝， ∴△ACB∽△DEF， ∴∠DEF＝∠C＝90°， ∴此时△DEF的面积为：×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为5． 30．（23-24九年级·河南安阳·期末）如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形． 要求： （1）所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等． （2）图②和图③中新画的三角形不全等． 【答案】作图见解析. 【分析】将原三角形的三边分别扩大和2倍即可得． 【详解】如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作三角形． 题型五 相似三角形中的动点问题 31．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意，得：， ∴， 当时：则，即， 解得：； 当时：则，即， 解得：； 综上：或； 故选B． 32．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 33．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论并列式即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意得：设、两点的运动时间是s， ∴，， ∴， ∵， ①当时，， ∵，， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积是：； ②当时，， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积是：； 故答案为∶ 或． 34．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可计算出的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点在上时；当点在上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， 在中，，，则， ①如图所示，当点在上时，当时， ∴，则， ∴； ②如图所示，当点在上时，当时，    连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形， ∴根据上述证明可得，点是的中点，且， ∴当时，点关于点对称， ∴， ∴点为的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 35．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时开始运动，当点P运动到终点B时，点Q也停止运动．在运动过程中，若以B，P，Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为 ． 【答案】或 【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可． 【详解】解：设点P运动的时间为，则， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得． 综上所述，运动时间为或． 故答案为：或． 36．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．    (1)若与相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点，找到相似三角形是解题的关键． （1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间； （2）当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间； （3）若若为的中位线，则，则，求出，此时，，故，故不能为的中位线． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得 设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； ①当，即时， ； ，即， ． ②当，即时， ， ，即， ． 和都符合，   当动点运动秒或秒时，与相似； （2）解：如图，过点E作于F，    设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． （3）解：不能，理由如下： 如图，    若为的中位线，则， 则， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴不可能为的中位线． 37．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象． (1)_______，________； (2)当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质；会从函数图象中获取信息；会根据勾股定理和相似比进行几何计算；提高运用分类讨论的思想解决数学问题的能力． （1）根据函数图象得到当点运动到点时，的面积为18，利用三角形面积公式可计算出，则，当时，，点在点，作于，在中根据勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，然后根据三角形面积公式得到，即； （2）分类讨论：当，点在点，，若得到，利用相似比得值；当，，当时，，利用相似比得值；当时，，利用相似比得值； 【详解】（1）解：当点运动到点时，的面积为18， ∴， 解得， ， 当时，，点在点，点在上，如图1，作于， 在中，， ， ∵， ， ∴，即， 解得， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：点在边上， 当，点在点，， 若， ∴，即， 解得； 当，则， 当时，，如图2， ∵， ∴，即，解得，不合题意舍去； 当时，，如图3， ∵， ∴，即， 解得， 综上所述，当为或时，与为相似． 38．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 39．（2024·河南洛阳·一模）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形的边长为1cm，，，设正方形移动的时间为x秒，且．    (1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）； (2)若以G、D、C为顶点的三角形同相似，求x的值； (3)连接，过点A作交于点P，连接．若的面积记为，的面积记为，则的值会发生变化吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： （1）根据，正方形的边长为1cm，结合题意，列出式子即可； （2）分两种情况讨论：当时和当时，根据相似三角形的性质计算即可； （3）证明，推出，分别求得和，即可得出结论． 【详解】（1）解：，正方形的边长为1cm，正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合． ， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：， 当或时，以、、为顶点的三角形同相似． （3）解：结论：的值不会发生变化． 理由如下： ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 的值不会发生变化． 40．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图,在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发,沿向点B运动,同时动点N以的速度从点D出发,沿DA向点A运动，设运动的时间为秒（）． (1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在某一时刻,使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得或 （2）与相似，分为两种情况讨论即可得到或 【详解】（1）由题意可知:， ∴ ∵的面积等于矩形面积的 ∴ 解之得:， ∴或时，的面积等于矩形面积的 （2）存在．理由如下： ∵与相似 ∴分为两种情况： ①当时 ∴，即 解得： ②当时 ∴，即 解得：         综上所述,当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似 题型六 相似三角形的综合问题 41．（19-20九年级上·河南南阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为 ． 【答案】2或或． 【分析】由勾股定理求出AB，设AE=x，则EF=x，BF=10﹣2x；分三种情况讨论： ①当BF=BC时，列出方程，解方程即可； ②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可； ③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，则BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可． 【详解】由翻折变换的性质得：AE=EF． ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB10． 设AE=x，则EF=x，BF=10﹣2x． 分三种情况讨论： ①当BF=BC时，10﹣2x=6， 解得：x=2， ∴AE=2； ②当BF=CF时． ∵BF=CF， ∴∠B=∠FCB． ∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°， ∴∠A=∠FCA， ∴AF= FC． ∵BF=FC， ∴AF=BF， ∴x+x=10﹣2x， 解得：x， ∴AE； ③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，如图所示： 则BG=FGBF． 根据射影定理得：BC2=BG•AB， ∴BG， 即(10﹣2x)， 解得：x， ∴AE； 综上所述：当△BCF为等腰三角形时，AE的长为：2或或． 故答案为：2或或． 42．（22-23九年级上·河南郑州·期末）在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值，最小值． 【分析】（1）观察猜想 由直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半再结合30°直角三角形三边比即可证明； （2）类比探究 先证明△BCD∽△ACE，再证明△ACG∽△BCF，可得结论； （3）问题解决 延长BC至H，使BC=CH=1，连接DG，由三角形中位线定理结合三角形面积公式可求△CFG的面积=，求出DH最小值即可． 【详解】（1）观察猜想 ∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=， ∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°， ∴BC=1，AB=2， ∵点F，G分别是BD，AE的中点， ∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF， ∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°， ∴∠FCG=90°， ∴CF⊥CG， 故答案为：CG=CF，CF⊥CG； （2）类比探究 仍然成立， 理由如下： ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=， ∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD， ∴， ∴△BCD∽△ACE， ∴ ，∠CAE=∠CBD， ∵点F，G分别是BD，AE的中点， ∴BF=BD，AG=AE， ∴ ∴△ACG∽△BCF， ∴，∠BCF=∠ACG， ∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°， ∴CF⊥CG； （3）问题解决 如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH， ∵点F是BD中点，BC=CH=1， ∴CF=DH， 由（2）可知，CF⊥CG， ∴△CFG的面积=×CF×CG=CF2， ∴△CFG的面积=， ∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值， ∵CD=， ∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上， ∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1， ∴△CFG的面积最大值=， ∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小-1， ∴△CFG的面积最小值=． 43．（20-21九年级上·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，AD平分∠BAC，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE． （1）求的值； （2）求射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数； （3）题设其它条件不变，若点D是∠BAC平分线上的一个动点，且AB=1，∠DBC=15°，直接写出线段CE的长． 【答案】（1）；（2）射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数为45°；（3）CE的长为或 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，证△ABD∽△CBE，求相似比即可； （2）延长AD、CE相交于点F，由相似可知∠BCF=∠BAD=45°，再根据角平分线和三角形内角和求∠F即可； （3）作DF⊥AB，垂足为F，根据D点在三角形内和外分类讨论，利用30°角的直角三角形性质和等腰直角三角形的性质以及（1）的结论可求EC． 【详解】解：（1）由题意知ΔABC和ΔBDE均为等腰直角三角形． ∴，．∠ABC=∠DBE=45°． ∴， ∵∠ABC=∠DBE=45°． ∴∠ABD=∠CBE． ∴△ABD∽△CBE． ∴． （2）延长AD、CE相交于点F， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAF=∠BAC=45°． ∵△ABD∽△CBE． ∴∠BCF=∠BAD=45°． ∠F=180°-∠BCF-∠ACB -∠CAF=45°． 射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数为45°． （3）如图1，作DF⊥AB，垂足为F， ∵∠DBC=15°，∠ABC=45°， ∴∠DBA=30°， ∴设DF为x，BD为2x， ∴BF=， ∵∠BAD=45°， ∴DF=AF=x，AD= ∵AB=1， ∴， 解得，， AD=， ∵， ∴CE=， 如图2，作DF⊥AB，垂足为F， ∵∠DBC=15°，∠ABC=45°， ∴∠DBA=60°，∠BDF=30°， ∴设BF为x，BD为2x， ∴DF=， ∵∠BAD=45°， ∴DF=AF=，AD= ∵AB=1， ∴， 解得，， AD=， ∵， ∴CE=， CE的长为或． 44．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）问题发现： （1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________； 类比探究： （2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值； 拓展延伸： （3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）在中，由勾股定理求出，由，可得，由，截线段成比例，由，分比，即即可 （2）由旋转性质可知：，，，由，，可得，由性质，，可证，利用性质； （3）如图4，连接，，由点是（）的中点，和同为等边三角形，可知，可推得，由，，可证，可得，可求，，由三边关系可得，，当、、三点共线时（如图5），存在最大值为即可求出． 【详解】解：（1），； 解答如下：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； （2）由旋转性质可知：，，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）的最大值为；提示如下： 如图4，连接，， ∵点是（）的中点，和同为等边三角形， 由三线合一性质可知， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，由三边关系可得，， 当、、三点共线时（如图5），存在最大值为， ∵， ∴当存在最大值时，的最大值． 45．（20-21九年级上·河南南阳·期末）如图1，中，，点分别在边上, , 将绕点逆时针旋转（），直线相交于点． （1）若，将绕点逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是______，位置关系是_______． （2）若，将绕点逆时针旋转． ①（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由． ②若, 是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①结论不成立．正确结论：；理由见解析；②CP的长或. 【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，由∠CBP+∠ACE+∠ACB=，得到∠BPC=，即BD⊥CE； (2)①根据DE∥BC，得到，，根据∠BAD=∠CAE，，证明，得到，利用，得到，证得； ②根据，，，求得AB=，BC=2AB=2，根据是的中点，DE∥BC，得到AE=，，根据题意画出图形，利用矩形的性质及勾股定理计算得出CP的长． 【详解】(1)在中，，， ∴∠ACB=， ∴AB=AC， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， 由旋转得：∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE，∠ABD=∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB=， ∴∠CBP+∠ACE+∠ACB=， ∴∠BPC=，即BD⊥CE； 故答案为：BD=CE，BD⊥CE； (2)结论不成立.结论: 如图，∵DE∥BC， ∴， ∴，， 如图3，∠BAD=∠CAE， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴AB=，BC=2AB=2， ∵是的中点，DE∥BC， ∴AE=，， 如图1，当四边形ADPE是矩形时，则∠ADB=∠ADP=， ∵， ∴BD=， ∵PD=AE=， ∴BP=3， ∴CP=； 如图2，当四边形ADPE是矩形时，则∠AEP=∠AEC=， ∵AE=， ∴∠ACE=∠ACB=， ∴点E在线段BC上，此时点P与点B重合， ∴CP=CB=， 综上，CP的长为或． ． 46．（20-21九年级上·河南郑州·期末）在中，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为（），得到． （1）如图①，当时，设与相交于点．求证：是等边三角形．         图① （2）如图②，连接、，在旋转的过程中，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由．        图② （3）如图③，设中点为，中点为，，连接，当______时，长度最大，最大值为______．         图③ 【答案】（1）见解析；（2）的值不变，恒为，理由见解析；（3），． 【分析】（1）画出示意图，根据两直线平行，内错角相等，可得，再根据旋转的性质得到，继而由三角形内角和180°解得，最后根据等边三角形的判定方法解题； （2）由旋转的性质可知，，解得继而证明，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可； （3）由含30°角直角三角形的性质，解得，由中点的性质，解得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得，接着由三角形三边关系得，由此可知当，此时最大，据此解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）的值不变，恒为．理由如下： ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴；      （3）连接，如图， 是的中点， 绕顶点顺时针旋转，旋转角为， 点为的中点 ， 只有当点在的延长线上时，，此时最大，如图， 即的最大值为， 点为的中点 此时， 故答案为：，． 47．（19-20九年级上·河南周口·期末）在中，，是平面内不与点重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接是的中点，是的中点． （1）问题发现： 如图1，当时，的值是_________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． （2）类比探究： 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，当时，若是的中点，点在直线上，且点在同一条直线上，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）的值是或 【分析】（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．证明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题． （2）如图2，设MN交AC于F，延长MN交PC于E．证明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得结论； （3）分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：（1）， 如图1，连接并延长交于点，交于点， ， 均是等边三角形， ， ， 在△PAC和△DAB中， ， ， ， 是的中点，是的中点，是的中位线， ， ， ， ， 与相交所成的较小角的度数是， ， 与相交所成的较小角的度数是； （2），直线与直线相交所成的较小角的度数是， 理由：如图2，设交于点，延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即直线与直线相交所成的较小角的度数是； （3）或 设，由（2）易知，， ， 是的中位线，， 是线段的中垂线， ， 是的中位线， ， 如图3-1，当点在线段上时，， ， 如3-2图，当点在直线上但不在线段上时， ； 综上，的值是或. 48．（19-20九年级上·河南周口·期末）（1）问题发现： 如图①，在中，，，点是边上一点，，交于． 填空：直线的数量关系是： ，直线的位置关系是 ． （2）类比探究： 如图②，将绕点逆时针旋转，旋转角为，（），连接．（1）中的结论还成立吗？若成立，请根据图②给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸： 将绕点逆时针旋转，旋转角为，直线交于点． ①若，当，且时，则 ． ②若，，当，长的最大值为 ． 【答案】（1），；（2）成立；（3）①2；②3． 【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，由已知条件即可得；由即可得出； （2）通过证明，可得，即可得；再证出，即可得出； （3）①由相似三角形的性质可得，即可证，由直角三角形的性质和勾股定理可求的值； ②由旋转可知，D点在以A为圆心，以AD长为半径的圆上，故根据点到圆上一点的距离最大值即可求解. 【详解】（1）问题发现： 解：， ， ， ， ， ， ； 故答案为：；； （2）类比探究： 解：（1）中的结论还成立，理由如下： 延长交于，如图②所示： 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ，， ； ， ， ； （3）拓展延伸： 解：①由旋转的性质可知： ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 当时，如图3-1所示： 在中，，， ， 在中，，， ； ②由①可知：当，时，，， 如图③所示：∵， ∴当D在BA延长线上时，BD最大，最大值=. 故答案为：①；②． 49．（19-20九年级上·河南洛阳·期末）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图①． （1）求证：AD•CD＝BD•DE； （2）若BD是边AC的中线，如图②，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由CE⊥BD得∠CED=90°=∠A，由对顶角相等可得∠ADB=∠EDC，可证△ABD∽△ECD，利用相似三角形的性质即可证明； （2）设CD=AD=a，则AB=AC=2a，由勾股定理求得BD，再根据△ABD∽△ECD，利用相似三角形的性质解答即可； 【详解】解：（1）证明：∵CE⊥BD ∴∠CED＝90°＝∠A ∵∠ADB＝∠EDC ∴△ABD∽△ECD ∴ ∴AD•CD＝BD•DE； （2）如图②，设CD＝AD＝a，则AB＝AC＝2a 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝a ∵△ABD∽△ECD ∴ ∴ ∴CE＝ ∴． 50．（23-24九年级·河南信阳·期末）类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝. (1)尝试探究：在图1中，由DP∥BQ，得△ADP___△ABQ(填“≌”或“∽”)，则＝___，同理可得＝，从而＝； (2)类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，若AB＝AC＝1，则MN的长为_____； (3)拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，AB＜AC，求证：MN2＝DM·EN. 【答案】（1）∽；；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而根据等比代换，得出 （2）根据三角形的面积公式求出BC边上的高,根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长,根据等于高之比，即可求出MN； （3）可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得,再根据（1），从而得出答案． 【详解】（1）如图1， ∵DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ， ∴ 同理可得△ACQ∽△APE， ∴ ∴ 故答案为∽；； （2）如图2所示， 作AQ⊥BC于点Q． ∵BC边上的高 且△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点 ∴DE=DG=GF=EF=BG=CF， ∴DE：BC=1：3， 又∵DE∥BC， ∴AD：AB=1：3， ∴ ∵DE边上的高为， ∴ ∴MN=. （3）证明：      ∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°， ∴∠B＝∠CEF. 又∵∠BGD＝∠EFC＝90°， ∴△BGD∽△EFC. ∴，即DG·EF＝CF·BG. 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG. 由(1)易得 ∴ ∴ ∵GF2＝CF·BG， ∴MN2＝DM·EN. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$