第一章 重点题型强化（一）数列通项公式的求法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

[学习目标] 1．了解求数列通项公式的常见方法．　2.掌握利用递推公式求通项公式的方法．　3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法． 技法一　累加、累乘法求通项公式 例1　 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式； (2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an. 解：(1)因为an＋1＝an＋n＋1， 所以an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n， 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2)． 当n＝1时，也满足上式， 所以通项公式为an＝，n∈N＋. (2)由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1， 代入上式得(n－1)个等式累乘， 即···…·＝×××…×(n≥2)， 所以＝(n≥2)， 又因为a1＝，所以an＝(n≥2)． 又当n＝1时，a1＝满足上式，所以an＝，n∈N＋. 累加、累乘法的应用模型 1．累加法：形如an＋1－an＝f(n)型． 2．累乘法：形如＝f(n)型． 对点练1.(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________． (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an＝________． 答案：(1)4－　(2)en－1 解析：(1)原递推公式可化为an＋1－an＝－，则a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－1－an－2＝－，an－an－1＝－，逐项相加得an－a1＝1－，故an＝4－，经验证a1，a2也符合． (2)因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2)．所以an＝··…··a1 ＝·1＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N＋. 技法二　构造法求通项公式 模型1　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推关系求通项公式 例2　已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.求数列{an}的通项公式． 解：令an＋1＋t＝2(an＋t)，所以an＋1＝2an＋t， 又因为an＋1＝2an＋4，所以t＝4， 所以an＋1＋4＝2(an＋4)， 所以＝2， 因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 所以{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4. 用待定系数法解决此类问题的一般步骤 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式． 注意：形如an＋1＝pan＋qn＋r的模型，可以利用待定系数法构造等比数列求解． 对点练2.(1)(2024·江苏宿迁高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4.则数列{an}的通项公式为________． (2)(2024·江苏南通高二阶段测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n－1.证明数列{an＋2n＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 答案：(1)an＝3n－2 解析：(1)令an＋1＋t＝3(an＋t)，所以an＋1＝3an＋2t，又因为an＋1＝3an＋4，所以2t＝4, 即t＝2，所以an＋1＋2＝3(an＋2)，所以＝3，因为a1＝1，所以a1＋2＝3.所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. (2)因为an＋1＝2an＋2n－1，所以an＋1＋2(n＋1)＋1＝2(an＋2n＋1)， 即＝2，所以数列{an＋2n＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝4×2n－1，所以an＝2n＋1－2n－1. 学生用书↓第42页 模型2　形如an＝pan－1＋tqn(p≠1)的递推关系求通项公式 例3　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－4an＝2n＋1，n∈N＋.求{an}的通项公式． 解：法一：因为an＋1＝2n＋1＋4an，所以an＋1＋2n＋1＝4an＋2n＋2＝4， 因为a1＋2＝4，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－2n. 法二：因为an＋1＝2n＋1＋4an，所以＝2·＋1， 两边再同时加1，得＋1＝2， 所以数列成等比数列，且首项为2，公比为2，则＋1＝2n，所以an＝4n－2n. 用同除法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同除以qn，不管这一项是qn－1或qn＋1，都同除以qn，为的是数列的下标和q的指数对应起来； 第二步：写出数列an与qn构造的式子； 第三步：写出数列{an}的通项公式． 注意：形如an＋1＝pan＋qan＋1an的模型，可以利用同除法构造等比数列求解． 对点练3.(2024·海南三亚高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝4n－3n 解析：因为an＋1＝3an＋4n，等式两边同时除以4n，得＝3＋1，即－1＝(－1)，所以数列是首项为－，公比为的等比数列，即－1＝(－)·()n－1＝－()n，所以an＝4n－3n. 模型3　形如an＋1＝(p，q，r≠0)的递推关系求通项公式 例4　在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝，n∈N＋，求{an}的通项公式． 解：对递推式an＋1＝的两边同时取倒数， 得＝，即＝2·＋3， 因此＋3＝2(＋3)，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1，可得an＝，n∈N＋. 用取倒数法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同时取倒数； 第二步：变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数)； 第三步：利用待定系数法求出原数列的通项． 对点练4.(多选题)(2024·湖南邵东高二期中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则(　　) A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D．的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4 答案：ABD 解析：因为a1＝1，an＋1＝，所以＝＝＋3，所以＋3＝2.又＋3＝4，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝，故B正确；an＋1－an＝－＝＝，因为n≥1，所以2n＋2－3>0，2n＋1－3>0，2n＋1>0，所以an＋1－an<0，所以{an}为递减数列，故C错误；＝2n＋1－3，则Tn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－3n＝－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确．故选ABD. 技法三　由Sn与an的关系求通项公式 例5　数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求an的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，得a1＝， 当n≥2时，由an＝5Sn－3， 得an－1＝5Sn－1－3， 两式作差得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an， 所以an＝－an－1， 所以数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝－的等比数列， 所以an＝a1·qn－1＝×. 学生用书↓第43页 若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用先求出a1，若计算出的an中a1适合时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解． 对点练5.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1) (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)因为Sn＝n(n＋1)， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n， 经检验a1＝2满足an＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)因为an＝＋＋＋…＋ (n≥1)， 所以an＋1＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得＝an＋1－an＝2， 则bn＋1＝2 (3n＋1＋1)，故bn＝2(3n＋1) (n≥2)， 而a1＝＝2，即b1＝8，满足bn＝2(3n＋1)， 故bn＝2(3n＋1) (n∈N*). 课时测评13　数列通项公式的求法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知数列{an}的首项为2，且an＋1－an＝2n＋1，则an＝(　　 ) A．2n B．2n－1＋1 C．2n－2 D．2n＋1－2 答案：D 解析：由已知得an＋1－an＝2n＋1，a1＝2，则当n≥2时，有an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝2n＋2n－1＋…＋22，an＝2n＋2n－1＋…＋22＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋2＝＝2n＋1－2，经检验当n＝1时也符合该式．所以an＝2n＋1－2. 故选D. 2．(2024·重庆高二月考)已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是an＝(　　 ) A．n B．n＋1 C．2n D． 答案：C 解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，则n≥2时，＝，＝，＝，…，＝，由累乘法可得＝n，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，a1＝2也适合上式，所以an＝2n.故选C. 3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式是(　　 ) A．an＝(－2)n－1 B．an＝3×(－2)n－1 C．an＝3×(－3)n－1 D．an＝(－2)n＋1 答案：B 解析：令n＝1，则a1＝a1＋1，解得a1＝3；当n≥2时，Sn－1＝an－1＋1，则an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，即an＝－2an－1，n≥2，所以数列{an}是以3为首项，－2为公比的等比数列，所以an＝3×(－2)n－1.故选B. 4．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an等于(　　 ) A．22n＋1＋2 B．22n＋1－2 C．22n－1＋2 D．22n－1－2 答案：C 解析：因为an＋1＝4an－6，所以an＋1－2＝4(an－2)，所以＝4，又a1－2＝2，所以数列{an－2}是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以an－2＝2×4n－1，所以an＝22n－1＋2.故选C. 5．(多选题)已知无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，则下列结论正确的是(　　 ) A．若{an}是等比数列，则an＝2n B．若{an}满足an＋3＝an，则a2 024＝4 C．若{an}满足an＋3＝an，则a2 024＝8 D．若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝n2－n＋2 答案：ABD 解析：无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，若{an}是等比数列，则首项为2，公比为2，所以an＝2n，故A正确；若{an}满足an＋3＝an，则该数列是最小正周期为3的周期数列，a2 024＝a3×674＋2＝a2＝4，故B正确，C错误；若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，得an＝(2n－2)＋(2n－4)＋(2n－6)＋…＋4＋2＋2＝n2－n＋2，故D正确．故选ABD. 6. (数学文化)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”. “三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，以此类推. 设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则(　　) A．a4＝10 B．an＋1－an＝n＋1 C．a10＝54 D．＝ 答案：ABD 解析：由题意得，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，故an＋1－an＝n＋1，故B正确；以上n个式子累加可得an＝1＋2＋…＋n＝(n≥2)，又a1＝1满足上式，所以an＝，则a4＝10，a10＝55，故A正确，C错误；由＝＝2，得＋＋…＋＝2＝2＝，故D正确．故选ABD. 7．在数列{an}中，已知前n项和Sn＝3＋2an，则数列的通项公式an＝________． 答案：－3×2n－1 解析：令n＝1，得a1＝S1＝3＋2a1，解得a1＝－3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2an－3－2an－1，整理得an＝2an－1，所以数列{an}是以－3为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－3×2n－1. 8．已知数列{an}满足a1＝1，＝(n∈N＋)，则an＝________． 答案： 解析：由＝，得－＝2，因为a1＝1，所以＝＋＋…＋＋＝2＋1＝2＋1＝，所以an＝. 9．已知数列{an}满足a1＝1，若an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________；若an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________． 答案：　 解析：当an＋1＝时，得＝＋，又a1＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝(n＋1)，所以数列{an}的通项公式an＝.当an＋1＝时，得＝＋1，所以＋1＝2.又a1＝1，所以＋1＝2，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2×2n－1＝2n，所以数列{an}的通项公式an＝. 10．(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝(2n＋1)an＋1. (1)求a1，a2；(4分) (2)求数列{an}的通项公式．(6分) 解：(1)依题意有4a1＝4S1＝3a1＋1，得a1＝1， 又4(a1＋a2)＝4S2＝5a2＋1，得a2＝3. (2)因为4Sn＝(2n＋1)an＋1， 所以当n≥2时，4Sn－1＝(2n－1)an－1＋1， 两式相减得4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1， 化简得＝(n≥2)， 所以an＝··…··a1＝··…××1＝2n－1(n≥2)， 又a1＝1满足上式，所以an＝2n－1. (11－13每小题5分，共15分) 11．(新定义)定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝(　　 ) A．4×2 0222－1 B．4×2 0222 C．4×2 0212－1 D．4×2 0212 答案：A 解析：由已知可得，当n＝1时，有－＝2，所以d＝2.所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以＝2×2 022－1，则有a2 023＝(2×2 022－1)a2 022，＝2×2 023－1＝4 045＝2×2 022＋1，则有a2 024＝(2×2 022＋1)a2 023，所以a2 024＝(2×2 022＋1)×(2×2 022－1)a2 022＝a2 022＝(4×2 0222－1)a2 022.所以＝4×2 0222－1.故选A. 12．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝2且an＋1－an＝2n，数列{bn}满足bn＝2log2an－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则下列说法正确的是(　　 ) A．an＝2n B．bn＝2n＋1 C．Tn＝n2＋n D．数列的前n项和为 答案：AD 解析：因为an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－1－an－2＝2n－2，an－an－1＝2n－1(n≥2)，累加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－1－an－2)＋(an－an－1)＝21＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝21＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－2＝(n≥2)，所以an－2＝2n－2，对n＝1也成立，所以an＝2n，故A正确；bn＝2log22n－1＝2n－1，故B错误；因为数列{bn}为等差数列，所以Tn＝＝n2，故C错误；由 bn＝2n－1可得 ＝，则数列的前n项和为＝ ＝，故D正确．故选AD. 13．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝4n－2，n∈N＋　 解析：由题意得－＝，n∈N＋，n≥2，所以{}是首项为＝＝，公差为的等差数列．所以＝n，所以Sn＝2n2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n∈N＋，n≥2，a1＝2也适合上式．所以an＝4n－2，n∈N＋. 14．(10分)设数列{an}满足an＋1＝2an＋n－1，a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：已知an＋1＝2an＋n－1， 设an＋1＋An＋B＝2[an＋A(n－1)＋B]， 整理得an＋1＝2an＋An－2A＋B. 与已知an＋1＝2an＋n－1比较， 得解得 将其代入所设等式， 得an＋1＋n＋1＝2[an＋(n－1)＋1]， 所以数列{an＋(n－1)＋1}为等比数列，公比为q＝2，首项为a1＋(1－1)＋1＝2， 所以an＋(n－1)＋1＝2·2n－1， 整理得an＝2n－n. 15．(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足＝＋1，已知n，m∈N＋，n>m，则Sn－Sm的最小值为(　　 ) A．－ B．－ C．－14 D．－28 答案：C 解析：因为＝＋1，且＝＝－5，所以数列是以－5为首项，1为公差的等差数列，则＝－5＋(n－1)＝n－6，即an＝(2n－5)(n－6)，令an≤0，得≤n≤6，又因为n∈N＋，所以n＝3，4，5，6，则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14. 16．(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝4an＋1. (1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列；(3分) (2)求证：数列是等差数列；(5分) (3)求数列的前n项和Tn.(7分) 解：(1)证明：因为Sn＋1＝4an＋1， 所以当n≥2时，Sn＝4an－1＋1， 两式作差得an＋1＝4an－4an－1， 所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 又n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1＋1， 得a2＝4，a2－2a1＝2≠0， 所以an＋1－2an≠0，即＝2(n≥2)， 所以数列{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝2，公比为2的等比数列． (2)证明：由(1)可知an＋1－2an＝2n， 即－＝， 所以数列是首项为＝，公差为的等差数列． (3)由(2)可知＝＋(n－1)×＝， 即an＝n·2n－1， 所以·an＝·n·2n－1＝(n＋1)·2n－1， 则Tn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n·2n－2＋(n＋1)×2n－1， 所以2Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1＋(n＋1)×2n， 两式相减得－Tn＝2×20＋(21＋22＋…＋2n－1)－(n＋1)×2n ＝2＋－(n＋1)×2n， 即－Tn＝－n·2n， 所以Tn＝n·2n. 学科网（北京）股份有限公司 $$